2020高考数学专题3导数及其应用课件

1、专题三 导数及其应用目 录CONTENTS考点一 导数的概念及计算考点二 导数的应用考点一 导数的概念及计算必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力1导数的定义导数的定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数的运算法则与某些导数的公式时，都是以此为依据对导数的定义，我们应注意以下两点：(1)x是自变量x在x0处的增量(或改变量)导数是一个局部概念，它只与函数yf(x)在x0及其附近的函数值有关，与x无关(2)函数yf(x)应在x0的附近有意义，否则函数f(x)在该点的导数不存在若极限 不存在，则称函数f(x)在xx0处不可导考点一 导数的概念及计算必备知识 全面把握2导数的几何意义

2、曲线yf(x)上任意一点(x0，f(x0)处的切线的斜率k是f(x)在x0处的导数，即 利用导数求曲线yf(x)在其上任意一点P(x0，f(x0)处的切线方程，具体求法分两步：(1)求出函数yf(x)在点x0处的导数，即为曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标P(x0，y0)和切线斜率f(x0)的条件下，求得切线方程 y- -y0 =fx0（x-x0）考点一 导数的概念及计算 曲线yf(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别： 曲线yf(x)“在”点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切线斜率存在，则切线斜率为kf(x

3、0)，是唯一的一条切线； 曲线yf(x)“过”点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能不止一条考点一 导数的概念及计算3导数的运算公式(1）基本初等函数的导数公式考点一 导数的概念及计算(2)导数的运算法则 f ( x ) g ( x ) f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；3导数的运算公式考点一 导数的概念及计算方法1 导数的运算1用函数的求导公式求导常见求导函数的形式(1)连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导(2)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导(3)分式形式：先化为整式函数或较为

4、简单的分式函数，再求导(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导(5)对数形式：先化为和、差形式，再求导核心方法 重点突破考点一 导数的概念及计算例1、求下列函数的导数：(1)yx(x1)(x2)；(2)ytan x；【解】(1)yx33x22x，y3x26x2.考点一 导数的概念及计算例1、求下列函数的导数：(1)yx(x1)(x2)；(2)ytan x；考点一 导数的概念及计算例2、等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f (0)()A26 B29 C212 D215【解析】函数f(x)的展开式含x项的系数为a1a2a8(a1a8)484212

5、，而f (0)a1a2a8212，故选C.【答案】C【反思】若直接用乘积的求导法则运算量太大，要去括号困难重重，所以巧妙地把x(xa1)(xa2) (xa8)看成一个整体，利用代换的思想解决问题考点一 导数的概念及计算方法2 导数几何意义的应用已知函数yf(x)，求曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线方程(1)若点P(x0，y0)是切点，则切线方程为yy0f(x0)(xx0)(2)若点P(x0，y0)不是切点，求解步骤如下：设切点坐标为Q(x1，f(x1)；由切线斜率 求出x1；将x1的值代入yy1f(x1)(xx1)得切线方程考点一 导数的概念及计算例3、云南中央民族大学附属中学2018

6、期中已知曲线方程为yx2，求：(1)在曲线点A(2，4)处的切线方程；(2)过点B(3，5)且与曲线相切的直线方程【解】设yf(x)x2.(1)f(x)2x，f(2)4.又点A(2，4)在曲线yx2上，所求切线的斜率k4.故所求切线的方程为y44(x2)，即4xy40. (2)点B(3，5)不在曲线yx2上，设切点为(x0，x02) 由(1)知f(x)2x，切线的斜率k2x0，切线方程为yx022x0(xx0) 又点B(3，5)在切线上，5x022x0(3x0)， 解得x01或x05，切点为(1，1)，(5，25) 故所求切线方程为y12(x1)或y2510(x5)， 即2xy10或10 xy

7、250.考点一 导数的概念及计算考点一 导数的概念及计算考法1 利用导数的概念和求导法则求相关量的值例1、天津文201810已知函数f(x)exln x，f (x)为f(x)的导函数，则f (1)的值为_【解析】由f(x)exln x可得f(x)exln xex1/xex(ln x1/x)，令x1，得f(1)e.【答案】e考法例析 成就能力考法例析 成就能力考点一 导数的概念及计算考法2 导数几何意义的应用考点一 导数的概念及计算课标全国201514已知函数f(x)ax3x1的图像在点(1，f(1)处的切线过点(2，7)，则a_【解析】f(x)3ax21，f(1)3a1，又f(1)a2，由导数

8、的几何意义，得切线方程为y(a2)(3a1)(x1)，将(2，7)代入切线方程，解得a1.【答案】1考点一 导数的概念及计算山东201610若函数yf(x)的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质下列函数中具有T性质的是()Aysin x Byln x Cyex Dyx3x1【解析】ysin x，ycos x设ysin x具有T性质，则在ysin x的图像上存在两点(x1，sin x1)，(x2，sin x2)，使cos x1cos x21.当x10，x2时成立，ysin x具有T性质yln x的定义域为(0，)，y ，则对定义域上任意两点x1，x2，

9、 yln x不具有T性质同理，yex，yx3不具有T性质故选A. 【答案】Ax1考点一 导数的概念及计算课标全国201714曲线yx2 在点(1，2)处的切线方程为_【解析】设yf(x)x2 ，则f(x)2x .因为f(1)211，所以曲线yx2 在点(1，2)处的切线方程为y2f (1)(x1)，即yx1.【答案】yx1x1x1x121x考点一 导数的概念及计算天津201710已知aR，设函数f(x)axln x的图像在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为_【解析】由f(x)axln x，得f(1)a，f(x)a ，f(1)a1，所以f(x)的图像在点(1，f(1)处的切线方程

10、为ya(a1)(x1)，即y(a1)x1，所以直线l在y轴上的截距为1.【答案】1 x1考点二 导数的应用必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力1函数的单调性当函数yf(x)在某个区间内可导时，如果 ，那么函数yf(x)在这个区间上为增函数；如果 ，那么函数yf(x)在这个区间上为减函数. (1)求函数yf(x)的单调区间的步骤：确定定义域；求导数f(x)；根据f(x)0(或f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是函数f(x)的极大值；(2)f(x0)0，如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是函数f(x)的极小值. (1)极值反映了函数在某一点附近的函数值大小情况

11、，只要在一个小区域内成立即可，刻画的是函数的局部性质(2)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点(3)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上极大值或极小值可以不止一个极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值如图，函数yf(x)的极大值f(x1)小于极小值f(x4)考点二 导数的应用(4)如果函数f(x)在a，b上有极值的话，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点一般地，当函数f(x)在a，b上的图像连续且f(x)有有限个极值点时，函数f(x)在a，b内的极大值点、极小值点是交

12、替出现的考点二 导数的应用3函数的最值考点二 导数的应用闭区间a，b上的连续函数f(x)必有最大值与最小值，其求解步骤如下：(1)求出函数f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值此性质包括两个条件：给定函数的区间必须是闭区间，也就是说函数f(x)在开区间上虽然连续，但不能保证有最大值与最小值例如函数f(x)1/x在(0，)内连续，但没有最大值与最小值在闭区间上的每一点处必须连续，即在闭区间上有间断点亦不能保证f(x)有最大值与最小值例如有最小值0，无最大值.考点二 导数的应用4函数的最值与极值的区别与联系(1)函

13、数的最值是一个整体性的概念，反映的是函数在整个定义域(某个闭子区间)上的情况，是对整个区间上的函数值的比较；函数的极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得，函数有极值时不一定有最值，有最值时也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处取得必定是极值考点二 导数的应用1利用导数研究函数的单调性例1、求下列函数的单调区间：(1)f(x)x42x26；(2)f(x)2x33x212x1.【分析】判断函数的单调

14、性，一般先求函数的定义域，然后求函数的导数并判断其符号【解】(1)f(x)4x34x4x(x1)(x1)，令f(x)0，得1x1，函数f(x)的单调递增区间为(1，0)和(1，)；令f(x)0，得x1或0 xg(x)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，通过F(x)判断函数的单调性与最值，得出F(x)0，从而证明不等关系(2)在既含f(x)又含f (x)的不等式中，构造辅助函数把不等式问题转化为利用导数求解函数单调性或最值问题是解此类题型的关键，常见的构造形式有F(x)xf(x)， ，F(x)f(x)g(x)， 等考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二

15、 导数的应用【解析】构造函数F(x)f(x)g(x)因为当x0时，f (x)g(x)f(x)g(x)0，所以当x0时，F(x)f(x)g(x)0，所以函数F(x)f(x)g(x)在(，0)上单调递增又因为f(x)，g(x)分别是定义在R R上的奇函数和偶函数，所以F(x)f(x)g(x)是奇函数，所以函数F(x)f(x)g(x)在(0，)上单调递增又因为g(3)0，所以g(3)g(3)0，所以F(3)F(3)0，所以不等式f(x)g(x)0的解集是(，3)(0，3)【答案】D考点二 导数的应用方法6 已知函数单调性、极值或最值求参数的值(或取值范围)(1)已知f(x)在区间D上是单调函数，求f

16、(x)中参数的取值范围常用分离参数法：通常将f (x)0(或f (x)0)的参数分离，转化为求最值问题，从而求出参数的取值范围特别地，若f(x)为二次函数，可以由f(x)0(或f(x)0)恒成立求出参数的取值范围(2)已知函数的极值求参数时，通常利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程需注意的是，必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件(3)已知函数的最值求参数时，一般先求出最值，利用待定系数法求解考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用【解】(1)f(x)x22x，xR R，令f(x)0，解得x2或x0，考点二 导数的应用考点二

17、 导数的应用考点二 导数的应用方法7 利用导数求不等式恒成立问题考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用方法8 实际问题中的最优化问题在求有关实际问题的最优化时，要按如下原则进行：(1)设出两个变量，根据题意分析它们的关系，把变量转化成函数关系式；(2)确定函数关系式中自变量的定义区间； (3)所得出的结果要符合问题的实际意义.考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考法例析 成就能力从近五年的考查情况来看，本考点一直是高考的重点和难点一般以基本初等函数为载体

18、，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与解不等式关系最为密切，一般出现在选择题、填空题的后两题以及解答题的第21题中，难度较大考点二 导数的应用考法1 利用导数研究函数的单调性考点二 导数的应用考点二 导数的应用考法2 利用导数判断函数图像2)浙江20177函数yf(x)的导函数yf (x)的图像如图所示，则函数yf(x)的图像可能是()考点二 导数的应用【解析】由导函数yf (x)的图像中函数值的正负可得函数f(x)先减后增，再减再增，结合f(x)图像的单调区间可知应选D.【答案】【答案】D D考法3 利用导数求函数的极值考点二 导数的应用例3 天津201820 设函数f(x)(xt1)(xt2)(xt3)，其中t1，t2，t3R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列(1)若t20，d1，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)若d3，求f(x)的极值；(3)若曲线yf(x)与直线y(xt2)6有三个互异的公共点，求d的取值范围考点二 导数的应用考点二 导数的应用考点二 导数的应用考法4 利用导数求函数的最值考点二 导数的应用考点二 导数的应用考法5 利用导数求函数的零点考点二 导数的应用考点二 导数的应用考法6 利用导数证明不等式考点二 导数的应用考点二 导数的应用考