小学数学变式教学

1、数学变式教学的新视角数学变式教学的新视角及小学案例分析及小学案例分析引子引子1：青浦实验中的变式教学：青浦实验中的变式教学证明等腰三角形的判定定理：证明等腰三角形的判定定理：有两个内角相等的三角形是等有两个内角相等的三角形是等腰三角形腰三角形.ABC第1步：利用情境变式激发探究兴趣A 原題原題已知已知：B = C, 求证：求证：AB = AC.情境性变式情境性变式：小小强想证明下面的问题强想证明下面的问题：“有两个角（图中的有两个角（图中的B 和和 C）相）相等的三角形是等腰三角形等的三角形是等腰三角形”.但他不小但他不小心将图弄脏了，只能看见图中的心将图弄脏了，只能看见图中的C和和边边BC.

2、 请问：他能够把图恢复成原来的请问：他能够把图恢复成原来的样子吗？样子吗？ BC第2步: 学生独立探究问题：你能够证明这样画出的三角形是等腰三角形吗问题：你能够证明这样画出的三角形是等腰三角形吗方法方法1：量出量出 C的的大小大小; 作作 B C;则则B的一条边和的一条边和C的一条边的延长的一条边的延长线交于点线交于点A.方法方法2：作边：作边BC的垂直平分线与的垂直平分线与C的另一边的的另一边的延长线交于点延长线交于点A.方法方法3：如图，：如图，将长方形纸片将长方形纸片对折使点对折使点B和和点点C重合，找重合，找到到 C与折痕与折痕的交点的交点A第3步：证明定理学生自己发现的不同证法：学生

3、自己发现的不同证法：证法证法2：过：过A作作AD垂直垂直于于BC, 证明证明 ABD ACD证法证法5：证明：证明 ABC ACB证法证法4：（反证法反证法）： 假设假设ABAC, 那么那么 C B.证法证法1：作：作A的平的平分线，然后证明：分线，然后证明：ABT ACT錯誤錯誤!证法证法3：过：过A作作BC边上边上的中线，证明：的中线，证明：ABMACM 引子引子2 2：变式铺垫与脚手架：变式铺垫与脚手架 有层次的推进有层次的推进 可以保留在头脑中可以保留在头脑中 脚踏实地脚踏实地 目标驱动目标驱动 途徑途徑单一单一, ,进度不同进度不同 跳来跳去跳来跳去 临时的临时的 风险大风险大 活动

4、驱使活动驱使 多种途徑，多种进度多种途徑，多种进度引子引子3：数学思维的特征：数学思维的特征1. 数学是一门形式的科学，数学对象通常都有多种数学是一门形式的科学，数学对象通常都有多种表达形式；表达形式；2. 基于变式的化归是数学问题解决的基本思路；基于变式的化归是数学问题解决的基本思路；3. 提高练习效率的重要途径：举一反三和反三归一提高练习效率的重要途径：举一反三和反三归一.02 0 1 5220221210 .70 .31 0 0 %2330 . 92lo g11 .2 3 s ins ins inc o slim22222axiaxxie 引子4：变式教学存在的问题1. 变式教学在我国具

5、有广泛的实践经验，但许多老师都是变式教学在我国具有广泛的实践经验，但许多老师都是在不自觉地运用变式教学的思想。在不自觉地运用变式教学的思想。需要把变式教学变成一个自觉的行为需要把变式教学变成一个自觉的行为2.变式教学的目的是让学生学得聪明一点，但很多时候变变式教学的目的是让学生学得聪明一点，但很多时候变成了单纯的变式训练。成了单纯的变式训练。应该通过变式教学，拓展学生的思维应该通过变式教学，拓展学生的思维4.许多老师觉得，变式教学挺好，但不容易设计有效的变许多老师觉得，变式教学挺好，但不容易设计有效的变式问题。式问题。寻找变式教学设计的有效工具寻找变式教学设计的有效工具3.变式教学的目的是针对

6、最近发展区构建教学支架，但有变式教学的目的是针对最近发展区构建教学支架，但有的变式活动成为的变式活动成为“脚踩西瓜皮，滑到哪里是哪里脚踩西瓜皮，滑到哪里是哪里”应该通过变式教学，聚焦核心概念和思想方法应该通过变式教学，聚焦核心概念和思想方法一、中国的变式教学与西方的一、中国的变式教学与西方的变易理论变易理论中国中国 数学变式教学中的各种变式数学变式教学中的各种变式 概念性变式概念性变式 过程性变式过程性变式 概念变式概念变式 非概念变式非概念变式 标准变式标准变式 非标准变式非标准变式 问题解决的变式化归问题解决的变式化归 解题三部曲解题三部曲 铺垫教学铺垫教学 精致练习精致练习 马顿的变易理

7、论马顿的变易理论为了认识某个事物，就必须注意到这个事为了认识某个事物，就必须注意到这个事物与其他事物之间的不同。为了注意这个物与其他事物之间的不同。为了注意这个事物与其他事物在某个属性上的不同，这事物与其他事物在某个属性上的不同，这个属性就必须在某个维度上发生变化。在个属性就必须在某个维度上发生变化。在所有其他属性都保持不变的情况下，这个所有其他属性都保持不变的情况下，这个差异才可以被识别出来。差异才可以被识别出来。F. Marton变式教学与变易理论的联系变式教学与变易理论的联系有效教学有效教学变式教学变式教学变易理论变易理论数学任务数学任务学习空间学习空间知识结构知识结构思想方法思想方法学

8、科能力学科能力概念理解概念理解技能训练技能训练问题解决问题解决灵活性灵活性适应性适应性创造性创造性整体整体属性属性样例样例部分部分基于关键属性的教学设计基于关键属性的教学设计拓展学习空间拓展学习空间例子例子属性属性部分部分整体整体关键关键属性属性课堂课堂教学教学设计设计与研与研究的究的工具工具多维度的多维度的学习空间学习空间确定最近发展区确定最近发展区扩展思维空间扩展思维空间构建知识网络构建知识网络聚焦核心概念聚焦核心概念加深数学理解加深数学理解二、小学课例分析二、小学课例分析p 课题：基于学情分析的变式教学课题：基于学情分析的变式教学p 年级：四年级年级：四年级p 主持：朱向阳（特级教师，校

9、长）主持：朱向阳（特级教师，校长）p 地点：浙江省义乌市义亭小学地点：浙江省义乌市义亭小学p 时间：时间：2014年年12月月4-5日日课例1：数图形 课题：数图形课题：数图形 教材：北师大版数学上册教材：北师大版数学上册93-94页页 年级：四年级年级：四年级 任教：杨姣萍老师任教：杨姣萍老师 学校：浙江省义乌市义亭小学学校：浙江省义乌市义亭小学 时间：时间：2014年年12月月4日日课程内容课程内容教材教材：北师大版小学数学四年级上册：北师大版小学数学四年级上册93-94页页原题原题：鼹鼠去菜地旅行：鼹鼠去菜地旅行小鼹鼠有多少条不同的线路？小鼹鼠有多少条不同的线路？聚焦：计数问题中的数学思

10、想方法聚焦：计数问题中的数学思想方法计数计数问题问题找规找规律律变式变式教学教学计数问计数问题中的题中的数学思数学思想方法想方法一一对应一一对应递推关系递推关系对称性对称性通项公式通项公式图表图表模型模型基于关键属性的学习空间基于关键属性的学习空间属性属性1：维度：维度1维维0维维2维维属性属性2：情境：情境模模型型图图形形符符号号故故事事属性属性3：算法：算法树形图树形图公式公式递归递归图表图表对应对应关键属性关键属性1：维度：维度（一）（一） 0维：由维：由“洞洞”到到“点点”ABCD抽象抽象符号表示符号表示（二）（二）0维维1维：由维：由“点点”到到“线段线段”ABCD（变式（变式1）关

11、键属性关键属性1：维度：维度（三）（三）1维维2维：由维：由“线段线段”到到“图形图形”ABCDABCD（变式（变式2）（变式（变式3）（变式（变式4）有多少条有多少条线段？线段？关键属性关键属性1：维度：维度（三）（三）1维维2维：由维：由“线段线段”到到“图形图形”ABCD（变式（变式5）（变式（变式6）ABCD关键属性关键属性1：维度：维度（三）（三）1维维2维：由维：由“线段线段”到到“图形图形”（变式（变式8）（变式（变式7）ABCDEF（变式（变式9）关键属性关键属性1：维度：维度（四）（四）2维维3维：由维：由“平面平面”到到“空间空间”（变式（变式10）（变式（变式11）ABC

12、D（变式（变式12）关键属性关键属性2：情境：情境（一）故事：鼹鼠旅行（一）故事：鼹鼠旅行（变式（变式13）如果小鼹鼠可以往回跑，那么有多少种如果小鼹鼠可以往回跑，那么有多少种不同的路线？不同的路线？如果四个小朋友两两握手一次，总共握如果四个小朋友两两握手一次，总共握了多少次手？了多少次手？（变式（变式14）关键属性关键属性2：情境：情境（二）符号（二）符号（变式（变式15） A、B、C、D四点可以组成多少条线段？四点可以组成多少条线段？（变式（变式16）有四个数字：有四个数字：1、2、3、4可以组成多少可以组成多少个两位数？个两位数？关键属性关键属性3：算法：算法（一）树形图（一）树形图AB

13、CD进进出出ABCDCDDDACBAAB法法1：从进：从进口考虑口考虑法法2：从出：从出口考虑口考虑图形图形点数点数 基本线基本线段段线段数线段数211+0=1322+1=3433+2+1=6544+3+2+1=10关键属性关键属性3：算法：算法（二）（二） 图表图表ABABCABCDABCDE关键属性关键属性3：算法：算法（二）（二） 递归递归如果我们把如果我们把4个点的所有线段数记为个点的所有线段数记为A4，那么当，那么当有有5个点是，我们可以分两部分考虑：个点是，我们可以分两部分考虑：（1）由前）由前4个点组成的所有线段数：个点组成的所有线段数： A4；（2）以第）以第5个点为右端点的线

14、段数：个点为右端点的线段数：4；所以所以5个点的线段总数是：个点的线段总数是： A5 = A4 + 4 （ ）ABCDE11nnAAn关键属性关键属性3：算法：算法（三）（三） 公式（数学模型）公式（数学模型）1ABCD1212312+(1)n1322（）12 12（）1432（）1n(n 1)22A3A4AnA322AA433AA11nnAAn22C2A23C24C2nC拓展拓展1ABABCABCDABCDE 1 3 6 10问题：问题：1，3，6，10，这组数还可以从哪些情境中这组数还可以从哪些情境中获得？获得？条条大路通罗马1. 数组：数组： 1， 3， 6， 10，的数字特征是什么？的

15、数字特征是什么？ 1 1+2 1+2+3 1+2+3+4 情境情境1情境情境2情境情境3112101413143620101112101413143620101111111556 1515 6拓展21. 下面的数列又有什么规律？如何解释？下面的数列又有什么规律？如何解释？ 1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，拓展3墙壁上的图案是用多少块瓷砖镶嵌而成的？墙壁上的图案是用多少块瓷砖镶嵌而成的？1. 1+3+5+7+5+3+1理解下面的算式：理解下面的算式：2. 34+34+13. 9+444. 55=255. 42+32 = 25拓展拓展4：如何表示一种数学规律：如何表示一

16、种数学规律课例2：常见的数量关系（王礼英）属性属性1：关系：关系比例关系比例关系倍乘关系倍乘关系部分整体关系部分整体关系属性属性3：单位：单位基本单位基本单位乘幂单位乘幂单位比率单位比率单位属性属性4：算法：算法等量代换等量代换单位换算单位换算公式变形公式变形属性属性2：情境：情境模模型型图图形形符符号号故故事事课例3：负数的认识（胡美文）属性属性1：表征（：表征（-3）正号正号字母表示字母表示负号与减号负号与减号属性属性3：运算：运算“0”的界定：绝对与相对的界定：绝对与相对与正数的关系与正数的关系与减号的联系与减号的联系属性属性4：意义：意义相反数相反数数轴数轴符号符号属性属性2：模型：模

17、型温温度度方方向向海海拔拔记记账账课例课例4：买文具：买文具除数是整十数的除法除数是整十数的除法（刘友富）（刘友富）属性属性1：算式：算式竖式写法竖式写法余数表示余数表示横式写法横式写法属性属性3：运算：运算与乘法的关系与乘法的关系与减法的关系与减法的关系估算估算属性属性4：算理：算理位值位值化简化简互逆互逆属性属性2：模型：模型水水笔笔文文具具盒盒计计算算器器书书包包变与不变的四种范式变与不变的四种范式1. 对比对比(Contrast). 对比指的是对比指的是两两个事物、个事物、概念或现象在某个维度上不同值或特征的变概念或现象在某个维度上不同值或特征的变化化，同时这两个同时这两个(或多个或多

18、个)事物之间的其他维事物之间的其他维度度(如形状如形状)保持不变。对比有助于识别特征保持不变。对比有助于识别特征。2.分离分离(Separation)。分离指的是学习者将注分离指的是学习者将注意集中于事物、概念或现象的某个变易维度意集中于事物、概念或现象的某个变易维度上。学习者所识别的是变化的维度上。学习者所识别的是变化的维度3.类类化化(Generalization)。如果想将一个特如果想将一个特定的值从一个事物定的值从一个事物(或多个事物或多个事物)中分离出来中分离出来，就必须保持那个值不变，而同时让事物之，就必须保持那个值不变，而同时让事物之间的其他维度发生变化。关注保持不变的方间的其他

19、维度发生变化。关注保持不变的方面叫做类合。面叫做类合。4. 融合融合(Fusion)。融合指的是让学生注意事融合指的是让学生注意事物、概念或现象同时变化的几个方面。它反物、概念或现象同时变化的几个方面。它反映了几个变化的方面之间的关系，以及这些映了几个变化的方面之间的关系，以及这些方面与作为整体的学习内容之间的关系方面与作为整体的学习内容之间的关系ABAB日本的教学模式(东西合璧)39教师教师创设创设问题问题情境情境学生学生提出提出各种各种数学数学问题问题学生学生独立独立解决解决其中其中一个一个问题问题学生学生板演板演不同不同解法解法教师教师组织组织课堂课堂讨论讨论教师教师总结总结质质疑疑寻寻

20、同同求求异异三、变式教学的理论基础三、变式教学的理论基础变式教学是中国数学教学的特色之一变式教学是中国数学教学的特色之一1. “不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也。”（论语论语. 述而第七述而第七）2. “君子之教，喻也。君子之教，喻也。”“”“道而弗牵，强而弗抑，开而弗道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思。和达。道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思。和易以思，可谓善喻矣。易以思，可谓善喻矣。”（礼记礼记学记学记）3. 中国数学教育的特色之一是中国数学教育的特色之一是“变式训练变式训练”，（张奠宙、

21、，（张奠宙、李士锜、李俊，李士锜、李俊，2002）4. 在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一。（在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一。（教教育大辞典育大辞典，顾明远，顾明远，1999）5. 变式是教学中使学生确切掌握概念的方法之一，即从不变式是教学中使学生确切掌握概念的方法之一，即从不同方面、不同角度和不同情况来说明某一事物，从而概同方面、不同角度和不同情况来说明某一事物，从而概括出事物的一般属性。（括出事物的一般属性。（实用教育大辞典实用教育大辞典，王焕勋，王焕勋，1995）1. 有助于形成良好的认知结构有助于形成良好的认知结构双基双基典型例题典型例题数学思想方法数学思想方法2. 在

22、较大的认知单元上工作在较大的认知单元上工作课例：课例： “二元一次方程组的应用二元一次方程组的应用”复习课复习课例例 5例例 4例例 6例例 3例例 7例例 2例例 8例例 1原设计原设计新设计新设计例例 5例例 4例例 6例例 3例例 7例例 2例例 8例例 13. 强化知识的主干强化知识的主干大学之法，禁于未发之谓大学之法，禁于未发之谓豫豫，当其可之谓，当其可之谓时时，不陵节而施，不陵节而施之谓之谓孙孙，相观而善之谓，相观而善之谓摩摩。此四者，教之所由兴也。发然。此四者，教之所由兴也。发然后禁，则捍格而不胜；时过然后学，则勤苦而难成；杂施后禁，则捍格而不胜；时过然后学，则勤苦而难成；杂施而

23、不孙，则坏乱而不修；独学而无友，则孤陋而寡闻；燕而不孙，则坏乱而不修；独学而无友，则孤陋而寡闻；燕朋逆其师；燕辟废其学。此六者，教之所由废也。朋逆其师；燕辟废其学。此六者，教之所由废也。 _ _（学记）（学记）Learning with understanding is facilitated when new and existing knowledge is structured around the major concepts and principles of the discipline. （National Research Council，2002)变式与教学层次理论教学设计上

24、要求：第一，首先要确定各分任务；第二教学设计上要求：第一，首先要确定各分任务；第二，保证各分任务的完成；第三，设计一个完成这些任，保证各分任务的完成；第三，设计一个完成这些任务的顺序，以便产生理想的迁移。务的顺序，以便产生理想的迁移。（Gagn, 1968）“学习过程是由各种层次构成的，用低层次的方法组学习过程是由各种层次构成的，用低层次的方法组织的活动就成为高层次的分析对象；低层次的运算内织的活动就成为高层次的分析对象；低层次的运算内容又成为高层次的题材容又成为高层次的题材”（弗赖登塔尔，（弗赖登塔尔，p.114）“在一般情况下，层次序列是指一系列的技能（在一般情况下，层次序列是指一系列的技能（skills）、水平）、水平(levels)、阶段、阶段(stages)、概念、概念(concepts)由简单到复杂的排序由简单到复杂的排序”（K.Hart, 1981, p.205）青浦实验中的序进原理青浦实验中的序