趣味数学,数学家故事,因式分解

1、趣味数学趣味数学 -浅谈数学名人 数学家的故事数学家的故事阿基米德之死阿基米德之死 当罗马军队的士兵一脚踢开阿基米德的房门时，里当罗马军队的士兵一脚踢开阿基米德的房门时，里面居然静悄悄的，毫无反响。罗马士兵以为阿基米面居然静悄悄的，毫无反响。罗马士兵以为阿基米德还在酣睡，仔细一瞧，床上空荡荡的，只见地上德还在酣睡，仔细一瞧，床上空荡荡的，只见地上一动不动地蹲着一个两腮长着长长白胡子的人。一动不动地蹲着一个两腮长着长长白胡子的人。 原来，这位七十五岁高龄的老科学家，通宵未眠，原来，这位七十五岁高龄的老科学家，通宵未眠，正用双手托着下巴，聚精会神地看着画在地上的几正用双手托着下巴，聚精会神地看着画

2、在地上的几何图形，以至连罗马士兵站在他眼前都未发觉。何图形，以至连罗马士兵站在他眼前都未发觉。 当罗马士兵把寒光闪闪的利剑碰到阿基米德鼻尖时当罗马士兵把寒光闪闪的利剑碰到阿基米德鼻尖时，这位老科学家才从数学的迷梦中惊醒，明白发生，这位老科学家才从数学的迷梦中惊醒，明白发生了什么事情。阿基米德毫无惧色，用手推开了剑，了什么事情。阿基米德毫无惧色，用手推开了剑，十分平静地说道：十分平静地说道：“等一下杀我的头，再给我一会等一下杀我的头，再给我一会儿功夫，让我把这条几何定律证明完毕。可不能给儿功夫，让我把这条几何定律证明完毕。可不能给后人留下一道还没有求解出来的难题啊！后人留下一道还没有求解出来的难

3、题啊！” 他刚说完，又沉思起来，继续研究着地上的几何图他刚说完，又沉思起来，继续研究着地上的几何图形。形。 残暴的罗马士兵不由分说，一剑砍死了这位伟大残暴的罗马士兵不由分说，一剑砍死了这位伟大的科学家的科学家 罗马士兵为什么这么痛恨阿基米德呢？罗马士兵为什么这么痛恨阿基米德呢？ 当时他造了巨大的起重机，可以将敌人的战舰吊当时他造了巨大的起重机，可以将敌人的战舰吊到半空中，然后重重摔下使战舰在水面上粉碎。到半空中，然后重重摔下使战舰在水面上粉碎。 同时阿基米德也召集城中百姓手持镜子排成扇形同时阿基米德也召集城中百姓手持镜子排成扇形，将阳光聚焦到罗马军舰上，烧毁敌人船只，将阳光聚焦到罗马军舰上，烧

4、毁敌人船只Give me a fulcrum,and I shall move the world 他还利用杠杆原理制造出一批投石机，凡是靠近城墙的敌人，都难逃他的飞石或标枪。这些武器弄的罗马军队惊慌失措、人人害怕，连大将军马塞拉斯都苦笑的承认：“这是一场罗马舰队与阿基米德一人的战争”、“阿基米德是神话中的百手巨人”给我一个支点，我能撬动整个地球。 阿基米德之死，罗马将军马塞勒斯甚为悲痛，除严肃处理这个士兵外，还寻找阿基米德的亲属，给予抚恤并表示敬意，又给阿基米德立墓，聊表景仰之忱在碑上刻着球内切于圆柱的图形，以资纪念因阿基米德发现球的体积及表面积，都是外切圆柱体体积及表面积的 2/3他生前曾

5、流露过要刻此图形在墓上的愿望 无论是敌是友，无论是战争还是和平，社会都会对知识分无论是敌是友，无论是战争还是和平，社会都会对知识分子表现出由衷的敬意。子表现出由衷的敬意。 爱因斯坦爱因斯坦（1914年（年（35岁）岁）4月，爱因斯坦接受德国科学界的邀请。迁居到柏林，月，爱因斯坦接受德国科学界的邀请。迁居到柏林，8月月 即爆发了第一次世即爆发了第一次世界大战。他虽身居战争的发源地，生活在战争鼓吹者的包围之中，却坚决地表明了自己的反战态度。）界大战。他虽身居战争的发源地，生活在战争鼓吹者的包围之中，却坚决地表明了自己的反战态度。） 周作人周作人数学王子数学王子“高斯高斯” 高斯，眉头紧皱，一声不吭

6、。小伙子们更得意了，他们为高斯，眉头紧皱，一声不吭。小伙子们更得意了，他们为自己高明的难题而叫绝。有人甚至刁难道：自己高明的难题而叫绝。有人甚至刁难道：“怎么样，你智怎么样，你智力有限吧，实在解不出，就把你得到的那么多荣誉证书拿到力有限吧，实在解不出，就把你得到的那么多荣誉证书拿到大街上当众烧掉，以后别再逞能了。大街上当众烧掉，以后别再逞能了。” 他们用一根细棉线系上一块银币，然后再找来一个非常薄他们用一根细棉线系上一块银币，然后再找来一个非常薄的玻璃瓶，把银币悬空垂放在瓶中，瓶口用瓶塞塞住，棉的玻璃瓶，把银币悬空垂放在瓶中，瓶口用瓶塞塞住，棉线的另一头也系在瓶塞上。准备好以后，他们小心翼翼地

7、线的另一头也系在瓶塞上。准备好以后，他们小心翼翼地捧着瓶子，在大街上拦住高斯，用挑衅的口吻说道，捧着瓶子，在大街上拦住高斯，用挑衅的口吻说道，“你你一天到晚捧著书本，拿着放大镜东游西逛，一副蛮有学问一天到晚捧著书本，拿着放大镜东游西逛，一副蛮有学问的样子，你那么有本事，能不碰破瓶子，不去掉瓶塞，把的样子，你那么有本事，能不碰破瓶子，不去掉瓶塞，把瓶中的棉线弄断吗？瓶中的棉线弄断吗？”你猜，高斯用了什么方法呢？ 从口袋里拿出一面放大镜，对着瓶子里的从口袋里拿出一面放大镜，对着瓶子里的棉线照着，一分钟、两分钟棉线照着，一分钟、两分钟.人们好奇地睁人们好奇地睁大了眼，随着钱币大了眼，随着钱币“铛铛”

8、的一声掉落瓶底的一声掉落瓶底，大家发现棉线被烧断了。，大家发现棉线被烧断了。 高斯他幼年时就表现出超人的数学天才。高斯他幼年时就表现出超人的数学天才。11岁时岁时发现了二项式定理，发现了二项式定理，17岁时发明了二次互反律，岁时发明了二次互反律，18岁时发明了正十七边形的尺规作图法，解决了岁时发明了正十七边形的尺规作图法，解决了两千多年来悬而未决的难题，他也视此为生平得两千多年来悬而未决的难题，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责

9、刻碑的雕刻家认为，正十七十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。十七边形趣闻 1796年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学天赋的天赋的19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。前两道题在两个给他的每天例行的三道数学题。前两道题在两个小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画出一个正出一个正17边形。边

10、形。 他感到非常吃力。时间一分一秒的过去了，第三他感到非常吃力。时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。这位青年绞尽脑汁，但他发现道题竟毫无进展。这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。没有任何帮助。困难反而激起了他的斗志：我一困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来！定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。当窗口露出曙光时，青年长舒了一去寻求答案。当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，

11、他终于完成了这道难题。见到导师时，青口气，他终于完成了这道难题。见到导师时，青年有些内疚和自责。他对导师说：年有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培了您对我的栽培” 导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。他用颤导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。他用颤抖的声音对青年说：这是你自己做出来的吗？青抖的声音对青年说：这是你自己做出来的吗？青年有些疑惑地看着导师，回答道：是我做的。但年有些疑惑地看着导师，回答道：是我做的。但是，我花了整整一个通宵。导师请他坐下，取出是，我花了整整一个通宵。导师请

12、他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再做出一个正面再做出一个正17边形。青年很快做出了一上正边形。青年很快做出了一上正17边形。导师激动地对他说：你知不知道？你解边形。导师激动地对他说：你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才！解出来了。你是一个真正的天才！学长看数学学长看数学整式回顾整式回顾趣味数学趣味数学探索数字的舞蹈-因式分解 因式分解常用方法提公因式法提公

13、因式法 公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的. 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. ambmcmm（a+b+c） 具体方法：当各项系数都是整数时，公具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是如果多项式的第一项是负的，一般要提出负的，一般要提出“”号，使括号内的号，使括号内的第一项的系数是正

14、的第一项的系数是正的. 提公因式法练习 (2003淮安市中考题淮安市中考题)分解因式分解因式x3 -2x2 -x x52x4_ -2x2y4xy2_ xn13xnxn1 2.2.应用公式法应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。式分解因式。必杀公式必杀公式 平方差公式平方差公式： a2b2(ab)(ab) 完全平方公式完全平方公式： a22ab+b2(ab)2 几个常用的公式 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 a3+b

15、3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1) 其中n为任意正整数应用公式法练习 4a5a3 3x312x2y12xy2 16 (ab )29 (ab )2 (x2) (x4)x216 附加题：附加题： x15+x14+x13+x2+x+13.十字相乘法 对于对于mxmx2 2+px+q+px+q形式的多项式形式的多项式 如果如果a ab=m,cb=m,cd=qd=q且且ac+bd=pac+bd=p 则多项式可因式分解为则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)(ax+d)(bx+c

16、) 例题：例题：7x7x2 2-19x-6-19x-6十字相乘法练习十字相乘法练习 x10+x5-2因式分解的高端方法因式分解的高端方法4应用因式定理应用因式定理 对于多项式对于多项式f(x)=0f(x)=0， 如果如果f(a)=0f(a)=0， 那么那么f(x)f(x)必含有因式必含有因式x-ax-a 例题：例题：x x+5x+6+5x+6应用因式定理练习应用因式定理练习 x3+2x2-5x-65 5换元法换元法 换元法指的是将一个较复杂的代数式中的换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而母替代这个整体来运算，从而使运算过程使运算过程简明清晰简明清晰 例题：例题：(x2+x+1)(x2+x+2)-12换元法练习换元法练习 分解因式：分解因