第八章 计量经济学-自相关

1、内容回顾 什么情况下模型中可能存在异方差？ 异方差对估计结果有何影响？ 如何判断一个模型中是否存在异方差？ 如何消除异方差？加权的方法有哪些？什么情况下使用？ 在Eviews中如何实现？ 在经济计量研究中，自相关是一种常见现象，它是指随机扰动项序列相邻之间存在相关关系，即各期随机扰动项不是随机独立的。自相关主要表现在时间序列中。 在经典线性回归模型基本假定中，我们假设随机扰动项序列的各项之间不相关，如果这一假定不满足，则称之为自相关。jiuiuEuiuCovjj 0)(),(第一节第一节 自相关的来源和形式自相关的来源和形式第二节第二节 自自 相相 关关 的的 后后 果果第三节第三节 自自 相

2、相 关关 的的 检检 验验第四节第四节 自相关的修正方法自相关的修正方法第五节第五节 广义最小二乘法广义最小二乘法一、自相关的来源 经济惯性（滞后效应） 模型设定偏误：应含而未含变量 随机扰动项序列本身的自相关 数据处理造成自相关如平滑处理 自相关也可能出现在横截面数据中，但主要出现在时间序列数据中。第一节 自相关的来源和形式二、一阶自相关 线性回归模型 Yt=bo + b1Xt + ut 若 ut 的取值只与它的前一期取值有关，即 ut = f (ut-1 ) 则称为一阶自回归 经典经济计量学对自相关的分析仅限于一阶自回归形式： ut = ut-1 +t 为自相关系数 | 1 0 为正自相关

3、 0 为负自相关三、高阶自相关 线性回归模型 Yt=bo + b1Xt + ut 若 ut 的取值不仅与它的前一期取值有关，而且与前n前取值都有关，即 ut = f (ut-1， ut-2， ut-3 ) 则称ut具有n阶自回归形式。 例如， ut = f (ut-1， ut-2) 时，误差项存在二阶自回归。 第二节 自 相 关 的 后 果1、参数的估计值仍然是线性无偏的2、参数的估计值不具有最小方差性，因而 是无效的，不再具有最优性质3、参数显著性t检验失效 低估了2，也低估了bi的方差和标准差 夸大了T值，使t检验失去意义4、降低预测精度第三节 自 相 关 的 检 验1、图示法2、杜宾瓦森

4、检验(Durbin-Watson)一、图示法1、按时间顺序绘制残差et的图形2、绘制残差et, et-1的图形1、时间顺序图将残差对时间描点 如a图所示，扰动项为锯齿型，et随时间变化频繁地改变符号，表明存在负自相关。 如b图所示，扰动项为循环型，et随时间变化不频繁地改变符号，而是几个正之后跟着几个负的，几个负之后跟着几个正的，表明存在正自相关。etetab2、绘制残差et, et-1的图形如a图所示，散点在I,III象限，表明存在正自相关。如b图所示，散点在II, IV象限， 表明存在负自相关。e te t-1abe te t-1变量I et变量II et-1e2e1e3e2e4e3.en

5、en-1.二、杜宾瓦森检验DW检验是检验自相关的最著名、最常用的方法。1、适用条件2、检验步骤（1）提出假设（2）构造统计量（3）检验判断1、适用条件（1）回归模型中含有截距项；（2）解释变量与随机扰动项不相关；（3）随机扰动项是一阶自相关；（4）回归模型解释变量中不包含滞后因变量；（5）样本容量比较大。2、检验步骤（1）提出假设H0：=0，即不存在一阶自相关；H1：0，即存在一阶自相关。（2）构造统计量DW（3）检验判断对给定样本大小和给定解释变量个数找出临界值dL和dU，按图中的决策准则得出结论。构造 D-W 统计量 定义 为样本的一阶自相关系数，作为 的估计量。则有， 因为-1 1，所以

6、，0 d 4 nttenttetenttenttenttentteted12212212212222)1(2112teteted21tetete) 1 (2dnttenttentte1222122对大样本，DW检验的判断准则依据显著水平、变量个数（k）和样本大小（n）一般要求样本容量至少为 15。 正自相关无自相关负自相关0dLdU4- dU4- dL2不能检出不能检出4判断表格DW值值结论结论0DWdL存在一阶正自相关dLDWdU无法判断dUDW4- dU不存在自相关4- dUDW4- dL无法判断4- dLDW4存在一阶负自相关三、Q检验与LMtptptttpjjveaeaXejTrTTQ

7、1112)/()2(判断方法F-statistic9.18 Probability0.005Obs*R-squared9.06 Probability0.010Q统计：以Q统计量对应的概率值为判断依据。若大于显著性则表明不存在自相关。LM：用F值与LM对应的概率为判断依据。一、广义差分法第四节 自相关的修正方法 线性回归模型 Yt=bo + b1Xt + ut 若随机项 ut 存在一阶自相关 ut = ut-1 +t 式中若随机项 ut 满足基本假定： E(t ) = 0 t 为白噪声 Var (t ) = s2 Cov(t , t+s ) = 0 Yt= bo + b1 Xt + ut （1

8、）如果自相关系数 为已知，将上式滞后一期 Yt-1= bo + b1 Xt-1 + ut-1两边乘以 Yt-1= bo + b1 Xt-1 + ut-1 （2）(1) 式减 (2)式，变成广义差分模型 Yt Yt-1 = bo(1 ) + b1 (Xt Xt-1) + Vt （3）作广义差分变换 Yt* = Yt Yt-1 Xt* = Xt Xt-1 Yt * = bo* + b1 Xt * + t对广义差分模型应用 OLS 法估计，求得参数估计量的方法称为广义差分法当 = 1 时，可得一阶差分模型 Yt Yt-1= b1 (Xt Xt-1 ) + Vt （4）作一阶差分变换 Yt = Yt

9、Yt-1 Xt = Xt Xt-1为不损失自由度， Yt 和Xt 的首项作如下变换一阶差分模型可写成 Yt = b1 Xt + Vt 12112111XXYY当 = 1 时，可得移动平均模型 （5）作变换移动平均模型可写成 Yt* = b0 + b1 Xt * + Vt tVtXtXbobtYtY221112*2*11tXtXtXtYtYtY二、科克兰内奥克特（科-奥）法广义差分法要求 已知，但实际上只能用 的估计值 来代替。科克兰内奥克特法又称迭代法，步骤是：1、用OLS估计模型 Yt= bo + b1 Xt2、计算残差et et = Yt Yt = Yt (bo + b1Xt )3、 将e

10、t代入，得残差的一阶自回归方程 et = et-1 + Vt 用OLS方法求 的初次估计值1。4、利用1 对原模型进行广义差分变换作第一次迭代2111ttteee1111111)1()1()1()1()1()1(tttttttttttotVXXXYYYVXbbY式中：5、计算 的第二次估计值(用迭代后的差分形式估计参数）2112tetete6、利用2 对原模型进行广义差分变换作第二次迭代1212121)2()2()2()2()2()2(tttVtXtXtXtYtYtYtVtXbobtY式中：7、反复迭代，直到 收敛，实际上人们只迭代两次，称为二步迭代法。Eviews 中有专门命令 AR(1)

11、一阶自回归 LS Y C X AR(1)在回归结果中，可以直接读到 的迭代收敛值。三、杜宾两步法这种方法是先估计 再作差分变换，然后用OLS法来估计参数。步骤是：1、将模型(3)的差分形式写为 Yt = bo (1 )+ Yt-1 + b1 Xt b1 Xt-1 + Vt Yt = ao + Yt-1 + a1 Xt + a2 Xt-1 + Vt式中： ao = bo (1 ) a1 = b1 a2 = b1 用OLS法来求得 的估计值 。2、用 对原模型进行差分变换得： Yt* = Yt Yt-1 Xt* = Xt Xt-1得 Yt* = ao + b1 Xt* + Vt用OLS法来求得参数

12、估计值 ao 和 b1 bo = ao / (1 )此外求得估计值还有其它方法：2222) 1() 1()21 (:21)1 (2knkdndd在小样本下1、当模型存在自相关和异方差时，OLS参数估计值的优良性质将不存在。2、通过模型转换（GLS法）消除自相关和异方差给定线性回归模型 Y = XB + U (6)第五节 广义最小二乘法222122212121212212221212121.)cov()cov(.)cov(.)cov()cov(.)cov(.) (nnnnnnnnuuuunuuuuuuuuuuuuunuuuuuuuuuuEuuE 如果 = I ( I为单位矩阵 ) ，表明 (1)

13、各随机项的方差相同且等于2； (2)各随机项无自相关；IuuE221.00.0.100.01) ( 如果 I ，有两种可能1、矩阵的主对角线元素不全为1，即 ii 1 因此随机项方差不全相同， i2 2 2、随机项存在自相关 矩阵的非主对角线元素不全为 0，即 ij 0 i j因此随机项协方差不等于 0，即 cov(ui,uj) 0 广义最小二乘法的基本思路是对模型进行适当的变换。变换后的新模型满足线性回归基本假定，即 = I ，然后应用OLS法，对模型进行估计，主要步骤如下：1、寻找适当的变换距阵 P 因为 是 n 阶对称正定矩阵，根据线性代数知识，存在 nn 阶非奇异矩阵 P，使下式成立。

14、 P P = I 可得 -1 = P P2、模型变换 用矩阵 P 左乘公式 (6) P Y = P XB + P U令 Y* = P Y X* = P X U* = P U得 Y* = X*B + U* 新的随机项的方差协方差距阵 E(U* U* ) = EPU (PU) = E(P U U P ) = P E(U U ) P = P 2 P = 2 P P = 2 I 变换后的新模型满足同方差和无自相关假定参数估计向量 B = ( X* X* ) -1 X* Y* = ( P X ) P X ( P X ) P Y = (X P P X ) -1 X P P Y = (X -1 X ) -1

15、 X -1 Y B 称为广义最小二乘估计量1、 当 = I 时， B = ( X X ) -1 X Y ，广义最小二乘估计量就是普通最小二乘估计量。2、 当模型存在异方差时：nPnn1.00.0.100.011.00.0.100.01.00.0.00.02122221122221P 满足关系式 P P = I 用距阵 P 左乘原模型 P Y = P XB + P U这实际上是对模型作变换，设异方差形式为 i2 = Xi 2nnnnXuXuXuuuuXXXPU.1.00.0.100.0122112121 B = (X -1 X ) -1 X -1 Y这是广义最小二乘估计3、 当模型存在一阶自相关

16、时：1.00.0.10.011.00.0.10.1111.1.12212121PnnnnP 满足关系式 P P = I 用距阵 P 左乘原模型 P Y = P XB + P U第四节第四节 案例分析案例分析案例案例1：中国城市居民家庭人均实际生活费支出：中国城市居民家庭人均实际生活费支出 与恩格尔系数与恩格尔系数案例案例2：中国商品进口模型：中国商品进口模型案例11.建立模型71. 097.354931. 02934. 02)8 .18()8 .239(000338. 02 . 4)(*DWFRRYECLOGtt2.检验检验-0.12-0.08-0.040.000.040.0878 80 82

17、 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04RESID71. 097.354931. 02934. 02)8 .18()8 .239(000338. 02 . 4)(*dFRRYECLOGtt2.检验检验DW检验表检验表 n=27,k=1 dL1.32，dU 1.47存在一阶正自相关存在一阶正自相关3.修正修正1*1*645. 0)(645. 0)()(645. 02/1ttttttYYYECLOGECLOGECLOGd再估计方程：再估计方程：43. 177. 0000312. 048. 1)(2*dRYECLOGtt，Estimation Command:=LS LOG

18、(EC) C Y AR(1)Estimation Equation:=LOG(EC) = C(1) + C(2)*Y + AR(1)=C(3)Substituted Coefficients:=LOG(EC) = 4.17 - 0.000303*Y + AR(1)=0.71第四节第四节 案例：中国商品进口模型案例：中国商品进口模型 经济理论指出，商品进口商品进口主要由进口国的经经济发展水平济发展水平，以及商品进口价格指数商品进口价格指数与国内价格国内价格指数指数对比因素决定的。 由于无法取得中国商品进口价格指数，我们主要研究中国商品进口与国内生产总值的关系。（下表）。 表表 4.2.14.2.

19、1 19782001 年中国商品进口与国内生产总值年中国商品进口与国内生产总值 国内生产总值 GDP （亿元） 商品进口 M （亿美元） 国内生产总值 GDP （亿元） 商品进口 M （亿美元） 1978 3624.1 108.9 1990 18547.9 533.5 1979 4038.2 156.7 1991 21617.8 637.9 1980 4517.8 200.2 1992 26638.1 805.9 1981 4862.4 220.2 1993 34634.4 1039.6 1982 5294.7 192.9 1994 46759.4 1156.1 1983 5934.5 213

20、.9 1995 58478.1 1320.8 1984 7171.0 274.1 1996 67884.6 1388.3 1985 8964.4 422.5 1997 74462.6 1423.7 1986 10202.2 429.1 1998 78345.2 1402.4 1987 11962.5 432.1 1999 82067.46 1657 1988 14928.3 552.7 2000 89442.2 2250.9 1989 16909.2 591.4 2001 95933.3 2436.1 资料来源： 中国统计年鉴 （1995、2000、2002） 。 1. 通过通过OLS法建立如

21、下中国商品进口方程法建立如下中国商品进口方程： ttGDPM02. 091.152 （2.32） （20.12） 2. 进行序列相关性检验。进行序列相关性检验。 DW检验检验 取=5%，由于n=24，k=2(包含常数项)，查表得： dL=1.27， dU=1.45由于 DW=0.628 20.05(2) 故: 存在正自相关存在正自相关2 2阶滞后：阶滞后：3阶滞后：321032. 0819. 0108. 10003. 0692. 6tttteeeGDPe (0.22) (-0.497) (4.541) （-1.842） （0.087） R2=0.6615 于是，LM=210.6614=13.89取=5%，2分布的临界值20.05(3)=7.815 LM 20.05(3) 表明: 存在正自相关；但存在正自相关；但 t-3t-3的参数不显著，说的参数不显著，说明不存在明不存在3 3阶序列相关性。阶序列相关性。 3、运用广义差分法进行自相关的处理、运用广义差分法进行自相关的