高考专题复习第一节　空间几何体及其表面积与体积

1、第七章立体几何第一节空间几何体及其表面积与体积学习要求-公众号：新课标试卷:1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.3.会用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等)的直观图.1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征:多面体结构特征棱柱有两个面 互相平行 ,其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行棱锥有一个面是多边形,而其余各面都是有一个 公共顶点 的三角形棱台棱锥被 平行于 底面的平面所截,截面和底面之间的部分叫做棱台(2)

2、旋转体的形成:几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形矩形一边所在的直线或对边中点连线所在的直线圆锥直角三角形或等腰三角形一直角边所在的直线或等腰三角形底边上的高所在的直线圆台直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线所在的直线球半圆或圆直径所在的直线2.直观图(1)画法:斜二测画法.(2)规则:a.原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x轴与y轴的夹角为 45°(或135°) ,z轴垂直于x轴和y轴所在的平面. b.原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.原图形中平行于x轴或z轴的线段在直观图中保持原长度不变,原图形中平行于y轴的线段的长度

3、在直观图中变为 原来的一半 . 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧= 2rl S圆锥侧= rl S圆台侧= (r+r)l 4.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V= S底h 锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V= 13S底h 台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V=13(S上+S下+S上S下)h球S= 4R2 V= 43R3 知识拓展1.原图形与直观图面积的关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系:S直观图=24S原图形.2.几个与球切、接有关的结论(

4、1)正方体的棱长为a,球的半径为R,(i)若球为正方体的外接球,则2R=3a;(ii)若球为正方体的内切球,则2R=a;(iii)若球与正方体的各棱相切,则2R=2a.(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=a2+b2+c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)菱形的直观图仍是菱形.()(3)锥体的体积等于底面积与高之积.()答案(1)(2)(3)2.(新教材人教A版必修第二册P119T1改编)已知圆锥的表面积等于12 cm2,其侧面展开

5、图是一个半圆,则底面圆的半径为()A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.32 cm答案B3.(易错题)如图,长方体ABCD-ABCD中被截去一部分,其中EHAD.剩下的几何体是()A.棱台B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱答案C【易错点分析】棱柱的概念不清致误.4.(2020课标,3,5分)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.5-14B.5-12C.5+14D.5+12答案C5.(2020浙江台州五校联考)圆锥和圆柱的底面半径和高都是R,则圆锥

6、的表面积和圆柱的表面积之比为()A.(2+1)4B.22C.12D.(2+1)2答案A6.如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为. 答案1477.(易错题)圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为6和4的矩形,则该圆柱的表面积为. 答案6(4+3)或8(3+1)【易错点分析】不会分类讨论致误.空间几何体的结构特征1.给出下列命题:在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()

7、A.0B.1C.2D.3答案A不一定,只有当这两点的连线垂直于底面时才是母线;不一定,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥.如图所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;错误,棱台的上、下底面相似且对应边互相平行.棱台的各侧棱延长线交于一点,但是这些侧棱的长不一定相等.2.下列命题正确的是()A.两个面平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台B.两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台C.直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆或矩形答案C根据A、B选项作出反例如图所示,可知A、B选项错

8、误.对于D选项,只有截面与圆柱的母线平行或垂直时,截得的截面才为矩形或圆,否则截面为椭圆或椭圆的一部分,故选C.3.(多选题)给出下列命题,其中真命题是()A.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形B.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直C.在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱D.存在每个面都是直角三角形的四面体答案BCDA不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;B正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角;C正确,因为两个过相对侧棱的截面相互平行或它们的交线平行于侧棱,又两个截面都垂直

9、于底面,故该四棱柱为直四棱柱;D正确,如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形.名师点评空间几何体概念辨析问题的常用方法空间几何体的直观图典例1等腰梯形ABCD中,上底CD=1,腰AD=腰CB=2,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,用斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为. 答案22名师点评原图形与直观图中的“三变”与“三不变”(1)“三变”坐标轴的夹角改变与y轴平行的线段的长度改变(减半)图形改变(2)“三不变”平行性不变与x轴、z轴平行的线段长度不变相对位置不变如图,矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图,其中OA=6 cm,OC

10、=2 cm,则原图形是() A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形答案C空间几何体的表面积典例2(1)(2020四川泸州一诊)在梯形ABCD中,ABC=2,ADBC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A.(5+2)B.(4+2)C.(5+22)D.(3+2)(2)(2020河南周口模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,ABBC,AA1=AC=2,直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°,则该三棱柱的侧面积为()A.4+42B.4+43C.12D.8+42答案(1)A(2)A解析(

11、1)在梯形ABCD中,ABC=2,ADBC,BC=2AD=2AB=2,将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB=1,高为BC=2的圆柱挖去一个底面半径为AB=1,高为BC-AD=2-1=1的圆锥,该几何体的表面积S=×12+2×1×2+×1×12+12=(5+2).故选A.(2)连接A1B.因为AA1底面ABC,则AA1BC,又ABBC,AA1AB=A,所以BC平面AA1B1B,所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为CAB,CA1B=30°.又AA1=AC=2,所以A1C=22,BC=2

12、.又ABBC,则AB=2,则该三棱柱的侧面积为22×2+2×2=4+42.名师点评求解几何体表面积的类型及求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展开后求表面积,但要清楚它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出所给几何体的表面积1.(2020广东东莞模拟)在一个圆柱内挖去一个圆锥,圆锥的底面与圆柱的上底面重合,顶点是圆

13、柱下底面中心.若圆柱的轴截面是边长为2的正方形,则圆锥的侧面展开图的面积为()A.5B.6C.3D.4答案A圆锥的侧面展开图是半径为5,弧长为2的扇形,其面积S=12l·r=12(2·1)×5=5,所以圆锥的侧面展开图面积为5.2.(2020浙江杭州第四中学模拟)在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱,则圆柱的表面积为. 答案(2+23)解析设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,表面积为S.底面半径为2,母线长为4的圆锥的高为16-4=23,则圆柱的上底面为中截面,可得r=1,2S圆柱底=2,S圆柱侧=23,S=(2+23).空间几何

14、体的体积角度一直接利用公式求体积典例3(2020江苏,9,5分)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是cm3. 答案1232解析此六角螺帽毛坯的体积V=V正六棱柱-V圆柱=6×34×22×214×2=123-2cm3.角度二利用割补法求体积典例4(1)(2019课标,16,5分)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,

15、E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g. (2)如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且ADE,BCF均为正三角形,EFAB,EF=2,则该多面体的体积为. 答案(1)118.8(2)23解析(1)依题意,知该模型是长方体中挖去一个四棱锥,故其体积V=V长方体-V四棱锥=6×6×4-13×12×4×6×3=132(cm3).又该模型的原料密度为0.9 g/cm3,故

16、制作该模型所需原料的质量为0.9×132=118.8(g).(2)如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,易得EG=HF=12,AG=GD=BH=HC=32,则BHC中,BC边上的高h=22.SAGD=SBHC=12×22×1=24,V多面体=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG+VAGD-BHC=13×24×12×2+24×1=23.角度三等体积法求体积典例5如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为()

17、A.312B.34C.612D.64答案A在ABC中,BC边上的高为32,即三棱锥A-BB1C1的高为32,又易知SBB1C1=12,故VB1-ABC1=VA-BB1C1=13×32×12=312.角度四求球的表面积、体积典例6(2020浙江杭州第四中学模拟)如果两个球的体积之比为827,那么这两个球的表面积之比为()A.827B.23C.49D.29答案C设两个球的半径分别为r,R,由条件知43r343R3=rR3=827,故rR=23,于是两球对应的表面积之比为4r24R2=rR2=49.故选C.名师点评1.处理体积问题的思路(1)“转”:指的是转换底面与高,将原来不易

18、求面积的底面转换为易求面积的底面,或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解的高.(2)“拆”:指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体,便于计算.(3)“拼”:指的是将小几何体嵌入一个大几何体中,如将一个三棱锥复原成一个三棱柱,将一个三棱柱复原成一个四棱柱,这些都是拼补的方法.2.求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法:对于规则几何体的体积问题,可以直接利用公式进行求解.(2)割补法:把不规则的几何体分割成规则的几何体,然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算其体积.(3)等体积法:一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的.当一个

19、几何体的底面面积和高较难求解时,我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决有关锥体的体积,特别是求三棱锥的体积.1.如图,正四棱锥P-ABCD的底面边长为23 cm,侧面积为83 cm2,则它的体积为cm3. 答案4解析记正四棱锥P-ABCD的底面中心为点O,棱AB的中点为H,连接PO,HO,PH,则PO平面ABCD,因为正四棱锥的侧面积为83 cm2,所以83=4×12×23×PH,解得PH=2.在RtPHO中,HO=3且PH=2,则PO=1,所以VP-ABCD=13

20、3;S正方形ABCD·PO=4 cm3.2.如图,在多面体ABCDEFG中,AB,AC,AD两两垂直,平面ABC 平面DEFG,平面BEF平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为. 答案4解析(分割法)由题意知几何体有两对相对面互相平行,如图所示,过点C作CHDG于H,连接EH,即把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个斜三棱柱BEF-CHG.由题意,易知V三棱柱DEH-ABC=SDEH×AD=12×2×1×2=2,V三棱柱BEF-CHG=SBEF×DE=12×2×1&

21、#215;2=2.故V多面体ABCDEFG=2+2=4.3.如图,已知体积为V的三棱柱ABC-A1B1C1,P是棱B1B上除B1,B以外的任意一点,则四棱锥P-AA1C1C的体积为(用V表示). 答案2V3解析如图,把三棱柱ABC-A1B1C1补成平行六面体A1D1B1C1-ADBC.设P到平面AA1C1C的距离为h,则VP-AA1C1C=13S四边形AA1C1C·h=13VAA1C1C-DD1B1B=13·2VABC-A1B1C1=2V3.微专题球与几何体的切接问题球与其他几何体的切接问题,是近几年高考的热点,这种题目几乎在各省高考试题中都有涉及,主要考查学生直

22、观想象和逻辑推理的核心素养.几何体的外接球(2019课标理,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF=90°,则球O的体积为() A.86B.46C.26D.6答案DE、F分别是PA、AB的中点,EFPB.CEF=90°,EFEC,PBEC,又三棱锥P-ABC为正三棱锥,PBAC,从而PB平面PAC,三条侧棱PA、PB、PC两两垂直.ABC是边长为2的正三角形,PA=PB=PC=2,则球O是棱长为2的正方体的外接球,设球O的半径为R,则2R=3×2,R=62,球O的

23、体积V=43R3=6.故选D.一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题,解决这类问题的关键是抓住外接球的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.1.(2020贵州贵阳四校模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1面ABC,BAC=23,AA1=4,AB=AC=23,则三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的表面积为()A.32B.48C.64D.72答案CAB=AC=23且BAC=23,BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 23=36,BC=6,由正弦定理可得,ABC的外接圆半径r=BC2sinBAC=62sin23=23,三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半径R=r2+

24、12AA12=12+4=4,外接球表面积S=4R2=64.2.(2020天津,5,5分)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12B.24C.36D.144答案C设外接球的半径为R,正方体的体对角线为外接球的直径,所以3×23=2R,解得R=3,所以该球的表面积为4R2=36.故选C.3.(2020江西南昌二中模拟)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=a,AA1=h,若该三棱柱内接于球O,且三棱锥O-ABC的体积为34a,则球O的表面积的最小值为()A.163B.83C.43D.23答案B如图所示,由题知,该三棱柱内接于一球O,D为ABC的外心,连接O

25、B,OD,BD,三棱锥O-ABC的体积为34a,即V=13×12×a×32a×2=34a,所以ah=6,因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,所以OB2=OD2+BD2=22+32a×2322×2×a3=a3=23,又OB为球O的半径,即R223,所以球O的表面积的最小值Smin=4Rmin2=83.故选B.几何体的内切球(2020课标理,15,5分)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为. 答案23解析如图为圆锥内球半径最大时的轴截面图.其中球心为O,设其半径为r,AC=3,O1C

26、=1,AO1=AC2-O1C2=22.OO1=OM=r,AO=AO1-OO1=22-r,又AMOAO1C,OMO1C=AOAC,即r1=22-r3,故3r=22-r,r=22.该圆锥内半径最大的球的体积V=43×223=23.求解多面体的内切球问题,一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点,多面体的各侧面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.名师点评解决与球有关的切、接问题,其通法是作截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题的思维流程是:1.(2020重庆第一中学模拟)阿基米德(公元前287年公元前212年),伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学

27、家,他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“轴截面为正方形的圆柱内切球的体积是圆柱体积的23,且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形,其表面积为24,则该圆柱的内切球体积为()A.43B.16C.163D.323答案D设圆柱的底面半径为r,则其母线长l=2r,因为圆柱的表面积S圆柱表=2r2+2rl,所以2r2+2r×2r=24,解得r=2.因为圆柱的体积V圆柱=Sh=r2·2r,所以V圆柱=×2×23=16,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的23,所以所求圆柱内切球的体积V=23V圆柱=2

28、3×16=323.故选D.2.如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则V1V2的值是. 答案32解析设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R,高为2R,V1V2=R2·2R43R3=32.3.(2020天津部分区联考)圆柱的体积为34,底面半径为32,若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上,则该球的体积为. 答案43解析设圆柱的高为h,圆柱体积为34,底面半径为32,×322×=34,解得h=1,设球的半径为R,则(2R)2=(

29、3)2+12,可得R=1,球的体积为43R3=43.A组基础达标1.下列命题中真命题的个数是()由五个面围成的多面体只能是四棱锥;用一个平面去截棱锥便可得到棱台;仅有一组对面平行的五面体是棱台;棱锥的侧棱长都相等.A.0B.1C.2D.3答案A2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,点M在线段BC上(点M异于B,C两点),点N为线段CC1的中点,若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形,则线段BM的取值范围是()A.0,13B.0,12C.12,1D.12,23答案B3.已知正ABC的边长为a,那么ABC的平面直观图ABC的面积为()A.34a2B.38a2

30、C.68a2D.616a2答案D4.(2020浙江宁波四中月考)已知圆锥底面半径为1,其侧面展开图是半圆,则圆锥的体积为()A.23B.33C.2D.3答案B5.(2020湖北荆州北门中学期末)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为()A.12B.323C.8D.4答案A6.(多选题)已知某圆柱的侧面展开图是长和宽分别为2a,a的矩形,设该圆柱的体积为V,则V=()A.a3B.a32C.2a3D.a32答案AB7.(多选题)(2020山东潍坊模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,已知平面AC1,则关于截此正方体所得截面的判断正确的是()A.截面形状可能为正三角形B

31、.截面形状可能为正方形C.截面形状可能为正六边形D.截面面积最大值为33答案ACD如图,易知A,C正确,B不正确,下面说明D正确,如图,截面为正六边形,六边形的顶点均为棱的中点时,其面积最大,MN=22,GH=2,OE=OO'2+O'E2=1+222=62,所以S=2×12×(2+22)×62=33,故D正确.故选ACD.8.(2020湖北鄂东南省级示范高中教学改革联盟模拟)已知在三棱锥C-ABD中,ABD是等边三角形,BCCD,平面ABD平面BCD,若该三棱锥的外接球表面积为4,则AC=()A.32B.62C.3D.32答案C根据题意,画出图形,

32、取BD的中点F,连接CF,AF,设该外接球球心为O,半径为R,根据题意,有4R2=4,解得R=1,根据题意,可知球心O为正三角形ABD的中心,连接OD,所以OD=1,AO=1,OF=12,所以正三角形ABD的边长为3,因为BCCD,所以CF=12BD=32,因为平面ABD平面BCD,所以AFC=2,所以AC=CF2+AF2=34+94=3.9.2021年1月“八省(市)联考”圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面半径分别为4和5,则该圆台的体积为. 答案61解析截面图如图所示,因为圆台的下底面半径为5,球的直径为10,所以圆台的下底面圆心与球心重合,所以OC=O

33、B=5,O'C=4,OO'C=2,则圆台的高为3,故其体积V=13h(S1+S1S2+S2)=25+20+16=61.10.(2020浙江,14,4分)已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是. 答案1解析设圆锥的底面半径为r cm,母线长为l cm,如图.由题意可得S侧=rl=2,2r=l,r=1.故圆锥的底面半径为1 cm.B组能力拔高11.(2020课标理,10,5分)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,O1为ABC的外接圆.若O1的面积为4,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为()A.64B

34、.48C.36D.32答案A如图,由题意知ABC为等边三角形,圆O1的半径r=2,即O1B=2,BC=23=OO1,在RtOO1B中,OB2=OO12+O1B2=16,球O的半径R=OB=4,则S球O=4R2=64.故选A.12.(2020浙江湖州模拟)设球O与圆锥SO1的体积分别为V1,V2,若球O的表面积与圆锥SO1的侧面积相等,且圆锥SO1的轴截面为正三角形,则V1V2的值是()A.33B.233C.63D.263答案C设球O的半径为R,圆锥SO1的底面半径为r,圆锥SO1的轴截面为正三角形,圆锥SO1的母线长l=2r,由题意得4R2=rl=2r2,解得r=2R,V1V2=43R313&

35、#215;r2×4r2-r2=43R333r3=63.13.(2020浙江宁波四中模拟)古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,如图所示,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现,圆柱的体积与球的体积之比为,圆柱的表面积与球的表面积之比为. 答案32;32解析由题意可知,圆柱底面半径r=球的半径R,圆柱的高h=2R,则V球=43R3,V柱=r2h=·R2·2R=2R3.V柱V球=2R343R3=32.S球=4R2,S柱=2r2+2rh=2R2+2R·2R=6R2.S柱S球=6R24R2=32.14.(2020山东济宁嘉祥第一中学模拟)在三棱锥A-BCD中,AB=AC,DB=DC,AB+DB=4,ABBD,则三棱锥A-BCD外接球的体积的最小值为. 答案823解析如图所示,三棱锥A-BCD的外接球即为长方体的外接球,外接球的直径为长方体的体对角线AD,设AB=AC=x,那么DB=DC=4-x,ABBD,所以AD=AB2+DB2.由题意知