新5-8微分方程应用

1、第八节第八节微分方程的应用 第五章 三、运动路线问题三、运动路线问题四、增长问题四、增长问题五、作战模型五、作战模型微分方程的应用微分方程的应用 1. 1. 建立数学模型建立数学模型 列微分方程问题列微分方程问题建立微分方程建立微分方程( (共性共性) )利用物理规律利用物理规律利用几何关系利用几何关系确定定解条件确定定解条件( (个性个性) )初始条件初始条件可能还要衔接条件可能还要衔接条件2. 2. 解微分方程问题解微分方程问题3. 3. 分析解所包含的实际意义分析解所包含的实际意义 某些特定问题某些特定问题一、物理问题一、物理问题解解,dtdM衰变速度衰变速度由题设条件由题设条件)0(衰

2、衰变变系系数数 MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代代入入,CtM1ln,tCeM 即即00CeM 得得,C teMM 0衰变规律衰变规律例例2 2绳索仅受绳索仅受重力作用而下垂重力作用而下垂, ,解解 取坐标系如图取坐标系如图. .考察最低点考察最低点 A 到到sg( : 密度密度, , s :弧长弧长) )弧段重力大小弧段重力大小按静力平衡条件按静力平衡条件, , 有有,cosHTsa1tan)(gHa sgTsinyxyxd102a1故有故有211yay 设有一均匀设有一均匀, , 柔软的绳索柔软的绳索, , 两端固定两端固定, , 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线问该绳索的

3、平衡状态是怎样的曲线 ? ? 任意点任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况弧段的受力情况: : A 点受水平张力点受水平张力 HM 点受切向张力点受切向张力T两式相除得两式相除得MsgoyxTHAMsgoyxHA211yya ,aOA 设设则得定解问题则得定解问题: : , 0ayx0 0 xy,xpy)( 令令,xdpdy 则则原方程化为原方程化为pdxad1两端积分得两端积分得)1(lnshAr2ppp,shAr1Cpax0 0 xy由由,C01 得得则有则有axysh两端积分得两端积分得,ch2Cayax,ayx 0由由02 C得得故所求绳索的形状为故所求绳索的形状为axaych)(

4、2axaxeea悬悬 链链 线线a21p少少时时间间整整个个链链条条滑滑过过钉钉子子需需多多米米，试试问问垂垂米米，另另一一边边下下垂垂开开始始时时，链链条条的的一一边边下下动动一一无无摩摩擦擦的的钉钉子子上上，运运一一质质量量均均匀匀的的链链条条挂挂在在解解例例3 3oxm8m10,米米链链条条下下滑滑了了经经过过时时间间设设链链条条的的线线密密度度为为xt 则由牛顿第二定律得则由牛顿第二定律得,)8()10(22gxgxdtxdm .x,x,gxgx000099 )()(即即解此方程得解此方程得, 1)(21)(3131 tgtgeetx, 8, x即即整个链条滑过钉子整个链条滑过钉子代入

5、上式得代入上式得)().809ln(3秒秒 gt例例4 4 有旋转曲面形状的凹镜，假设由旋转轴上一点有旋转曲面形状的凹镜，假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经凹镜反射后与旋转轴平行发出的一切光线经凹镜反射后与旋转轴平行, 求这旋求这旋转曲面的方程转曲面的方程.实例实例: : 车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解轴轴设设旋旋转转轴轴 ox如图如图),0 , 0(光光源源在在)(:xyyL xyoMTNRL上上任任一一点点，为为设设LyxM),(,yMT 斜斜率率为为为为切切线线,1,yMN 斜率为斜率为为法线为法线,NMROMN yNMRyxyyxyOMN111tantan,

6、022 yyxyy得微分方程得微分方程. 1)(2 yxyxy即即,tantanNMROMN 由夹由夹角正角正切公切公式得式得xyoMTNRL，令令xyu ,112uudxduxu 得得分离变量分离变量,1)1(22xdxuuudu ，令tu 21,)1(xdxtttdt 积分得积分得,ln1lnxCt , 112 xCu即即平方化简得平方化简得,2222xCxCu 得得代代回回,xyu )2(22CxCy 抛物线抛物线轴轴的的旋旋转转抛抛物物面面方方程程为为所所求求旋旋转转轴轴为为 ox).2(222CxCzy 例例5 5解解欲向宇宙发射一颗人造卫星欲向宇宙发射一颗人造卫星, , 为使其摆脱

7、地球为使其摆脱地球引引力力, , 初始速度应不小于第二宇宙速度初始速度应不小于第二宇宙速度, , 试计算此速度试计算此速度. .设人造地球卫星质量为设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为地球质量为M , 卫星卫星的质心到地心的距离为的质心到地心的距离为 h , , 由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得: : 222ddhmMGthm00dd,vthRht,v0为为( (G 为引力系数为引力系数) )则有初值问题则有初值问题: : 222ddhMGth又设卫星的初速度又设卫星的初速度，已知地球半径已知地球半径51063 R,hvtdhd)( 设设,hdvdvtdhd 22则则代入原方程代入原方程,

8、 , 得得2ddhMGhvvhhMGvvdd2两边积分得两边积分得ChMGv221利用初始条件利用初始条件, , 得得RMGvC2021因此因此RhMGvv112121202221limvhRMGv12120注意到注意到 为使为使,0v应满足应满足0vRMGv20因为当因为当h = R (在地面上在地面上) ) 时时, , 引力引力= =重力重力, , )sm81. 9(22ggmhmMG即即,gRMG2 故故代入代入即得即得81. 910632250gRv) s(m102 .113这说明第二宇宙速度为这说明第二宇宙速度为 skm2 .11例例6 6xxo解解质量为质量为m的物体自由悬挂在一端

9、固定的弹簧上的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, ,在弹性力与阻力作用下做往复运动在弹性力与阻力作用下做往复运动, ,初始初始求物体的运动规律求物体的运动规律 ,v0速速度度为为. )(txx 坐标系如图坐标系如图, , ,0 xx 设设 t = 0 时物体的位置为时物体的位置为取其平衡位置为原点取其平衡位置为原点00ddvtxt,00 xxt22ddtx02xktxndd2该定解问题为该定解问题为阻力的大小与阻力的大小与运动运动速度成正比速度成正比, ,方向相反方向相反. .建立建立方程方程: :22ddtx02xk特征方程特征方程: :, 022krkir2,1特征根特征根: :tkCtkC

10、xsincos21利用初始条件得利用初始条件得: :,01xC 故所求特解故所求特解: :tkkvtkxxsincos00A)sin(tkA0 xkv0方程通解方程通解: :1) 无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )kvC020022020tan,vxkkvxA解的特征解的特征:)sin(tkAx0 xAAxto简谐振动简谐振动 A: 振幅振幅, , : 初相初相, ,周期周期: : kT2:mck 固有频率固有频率 T0dd00vtxt ,xxt000 下下图图中中假假设设( (仅由系统特性确定仅由系统特性确定) )方程方程: :特征方程特征方程: :0222krnr22

11、2,1knnr特征根特征根: :小阻尼小阻尼: : n k临界阻尼临界阻尼: :n = k 22ddtx02xktxndd2)sincos(21tCtCextn)(22nk trtreCeCx2121tnetCCx)(21( ( n k ) 大阻尼解的特征大阻尼解的特征: 1) 1) 无振荡现象无振荡现象; ; trtreCeCx21212221knnr, 其中其中22knn0.0)(limtxttxo0 x此图参数此图参数: : 1, 5 . 1kn5 . 10 x073. 50v2) 2) 对任何初始条件对任何初始条件即随时间即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置的增大物体总趋于平衡位置.

12、 .( ( n = k ) 临界阻尼解的特征临界阻尼解的特征 : : 任意常数由初始条件定任意常数由初始条件定, , tnetCCx)(21)() 1tx最多只与最多只与 t 轴交于一点轴交于一点; ; 取何值都有取何值都有无论无论21C,C)(lim)3txt即随时间即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置的增大物体总趋于平衡位置. .0)(lim21tntetCC2)2)无振荡现象无振荡现象 ; ;yoy例例7 7 从船上向海中沉放某种探测仪器从船上向海中沉放某种探测仪器, , 按探测要求，按探测要求，需确定仪器的下沉深度需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度与下沉速度 v 之间的函数之间的函

13、数关关在下沉过程中还受到阻力和浮力作用在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, ,设仪器质设仪器质体积为体积为B, , 海水比重为海水比重为 , , 仪器所受阻力与下沉仪器所受阻力与下沉速度成正速度成正比比, ,比例系数为比例系数为 k ( k 0 ) , 试建立试建立 y 与与 v 所所满足的微分满足的微分方程方程, , 并求出函数关系式并求出函数关系式 y = y (v) . . 提示提示: :建立坐标系如图建立坐标系如图. .质量质量 m体积体积 B由牛顿第二定律由牛顿第二定律B22ddtymvk重力重力 浮力浮力 阻力阻力mgtvtydddd22tyyvddddyvvdd注意注意: : 量为

14、量为m,系系.BgmvkBgmkBgmmvkmyln)(2vkBgmyvvmdd初始条件为初始条件为00yv用分离变量法解上述初值问题得用分离变量法解上述初值问题得yoy质量质量m体积体积B得得.,.求求浮浮筒筒的的质质量量为为周周期期浮浮筒筒在在水水中中上上下下振振动动的的当当稍稍向向下下压压突突然然放放开开，铅铅直直放放在在水水中中，设设圆圆柱柱形形浮浮筒筒，直直径径为为例例2s5m08222rs,gsxdtxdm解解kg)195( m.7260 .312h8009的的人人数数疫疫苗苗运运到到时时患患此此传传染染病病估估算算小小时时内内将将疫疫苗苗运运到到，试试至至直直升升机机将将在在隔隔

15、离离时时状状，故故感感染染者者不不能能被被及及这这种种传传染染病病没没有有早早期期症症由由于于人人发发病病后后有有染染病病，人人一一名名游游客客患患了了某某种种传传一一只只游游船船上上有有人人数数游游船船上上的的传传染染病病患患者者的的例例.分析分析)(800txt 人数为人数为时，未感染该传染病的时，未感染该传染病的在时刻在时刻)(txt为为时感染此传染病的人数时感染此传染病的人数设在时刻设在时刻)()(ddtxtkxtx800则则31120ttx,xt.tx091760e7991800)( 解得解得188e7991800)60(60091760 .x385e7991800)72(72091

16、760 .x二、用微元法建模二、用微元法建模 t例例 10 一容器内含有一容器内含有100 升清水升清水, 现将每升含盐量现将每升含盐量4克克的盐水以每分钟的盐水以每分钟5升的速率由升的速率由A管注入容器管注入容器, 假设瞬间假设瞬间即可混合均匀即可混合均匀, 同时让混合液以同样的速率由同时让混合液以同样的速率由B管流管流出容器出容器(容器内的液体始终保持为容器内的液体始终保持为100升升), 问在任意时问在任意时刻刻容器内溶液的含盐量是多少容器内溶液的含盐量是多少?dtmdtdm510054)(tmt 时时刻刻含含盐盐量量为为设设任任意意0)0(2020mmdtdm 通解为通解为 400)(

17、20 tCetm . 解解1010020tmtmtmdd例例11 一容器内含有一容器内含有100 升盐水升盐水, 共含盐共含盐 10kg. 现现以以 3L/min的速度把净水由的速度把净水由A管均匀注入容器管均匀注入容器, 并并以以2L/min的速度让盐水由的速度让盐水由B管匀速流出容器，问管匀速流出容器，问1h后容器内溶液的含盐量后容器内溶液的含盐量.dtttmm21000)(d升升量为量为此时容器内共有盐水的此时容器内共有盐水的t100)(tmt 时时刻刻含含盐盐量量为为设设任任意意m=3.91kg解解400C)1(400)(20tetm 由初始条件得由初始条件得 解解 设鼓风机开动后设鼓

18、风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为2CO)%(txt,dttt 在在 内内,例例12 12 某车间体积为某车间体积为1200012000立方米立方米, , 开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 , ,为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量, , 用一台风量为每分用一台风量为每分20002000立方米的鼓风机通立方米的鼓风机通入含入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气, , 同时以同样的风同时以同样的风量将混合均匀的空气排出量将混合均匀的空气排出, , 问鼓风机开动问鼓风机开动6 6分钟后分钟后, , 车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少? ?0.1%2CO2CO0

19、.03%2CO2CO该车间该车间 浓度的改变量微元为浓度的改变量微元为 2CO03. 0200012000 dtdx),(2000txdt 2CO的通入量的通入量%,.dt03020002CO的排出量的排出量%,txdt)( 2000),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分钟后分钟后, 车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02CO量量不超过不超过 0.06 % ? ?解解: : 设每分钟应输入设每分钟应输入,m3k t 时刻车间空气

20、中含时刻车间空气中含2CO,m3x为则在则在,ttt内车间内内车间内2CO25005400ddkxktx很快混合均匀后很快混合均匀后, , 以相同的流量排出以相同的流量排出 ) )得微分方程得微分方程tk10004. 0txk54005400( (假定输入的新鲜空气假定输入的新鲜空气与原有空气与原有空气的改变量微元为的改变量微元为 ,m630303,2CO的的的新鲜空气的新鲜空气应输入多少才能在应输入多少才能在 30 30 分钟后使车间空分钟后使车间空2CO气气中中2CO040%.现现以以含含输入输入, , %.120其中含其中含例例13 已知某车间的容积为已知某车间的容积为问每分钟问每分钟的

21、含的含t = 30 时时5406. 0540010006. 0 x2504ln180k25005400ddkxktx5412. 00tx解定解问题解定解问题)04. 008. 0(545400tkex因此每分钟应至少输入因此每分钟应至少输入 250 250 3m新鲜空气新鲜空气 . .初始条件初始条件540010012. 00tx5412. 0得得 k = ? 例例14 有高为有高为1米的半球形容器米的半球形容器, 水从它的底部小水从它的底部小孔流出孔流出, 小孔横截面积为小孔横截面积为1平方厘米平方厘米(如图如图). 开始开始时容器内盛满了水时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器求水从

22、小孔流出过程中容器里水面的高度里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离)随时随时间间t的变化规律的变化规律.解解 由力学知识得由力学知识得,水从孔口流水从孔口流出的流量为出的流量为,262. 0ghSdtdVQ流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度) 1 (,262. 0dtghdV1 S,cm2)2(,)200(2dhhhdV比较比较(1)和和(2)得得:dhhh)200(2 ,262. 0dtgh cm100horhdhh dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 即为未知函数的微分方程即为未知函数的微分方程.可分离变量可分离变量,d)100(

23、100()(220hhhvh而,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求规律为所求规律为?)()(51形形式式应应是是什什么么曲曲线线液液体体的的表表面面均均匀匀下下降降液液体体流流出出时时为为了了使使出出孔孔，使使容容器器内内的的液液体体流流的的，在在容容器器底底部部开开一一小小轴轴旋旋转转一一周周产产生生绕绕设设容容器器是是由由平平面面曲曲线线例例xfy,.yxfy ,262. 0gySdtdVQ,kdtdy.cxy4,xkgyS.22620则则,)d(d2yyxV 而分析分析例例1616 设河边点设河边点 O 的正对岸为点的正对岸为点 A , ,河宽河宽 OA = h, , 一鸭子从点一鸭子从点 A 游向