实分析与复分析1-可测性概念

1、实分析与复分析Rudin第第一一章章 抽象积分抽象积分可测性概念1.2 1.2 定义定义1.3 1.3 定义定义充分性充分性证明证明10( ).xf fVV 所所以以是是 的的邻邻域域，且且必要性0.fx 在在 点点连连续续1( )ffV 因因为为 是是连连续续映映射射，所所以以是是开开集集，00,()xX Vf x 设设为为的的任任意意开开领领域域，10( ),VYxfV 设设 为为 中中任任意意开开集集，对对00(),()f xVVf x 因因为为 是是开开集集，所所以以点点 00111()( )xf xUfVfVfV , ,是是开开集集, ,00()()0,f xf xVVVfx 邻邻域

2、域使使得得，因因为为 在在 点点连连续续, , 0000(),xxf xxUf UVV 所所以以点点邻邻域域使使得得.f所所以以 是是连连续续映映射射证明证明,V Zg设设 为为 中中任任意意开开集集，因因为为 是是连连续续的的1( )gVY 是是 中中的的开开集集，111( )( ),.hVfgVh 而而所所以以 是是连连续续的的11( )fgVX 是是 中中的的开开集集，(a)f因因为为 是是连连续续映映射射，所所以以111( )( ),.hVfgVh 而而所所以以 是是可可测测的的11( )fgVX 是是 中中的的可可测测集集，(b)f因因为为 是是可可测测映映射射，所所以以证明证明,V

3、uv设设 为为直直线线上上的的任任意意开开集集，由由可可测测11( ),( )uV vVX 都都是是 中中的的可可测测集集，根根据据平平面面上上开开集集构构造造，平平面面上上任任意意开开集集至至多多 ( )=( ), ( ) ,f xu x v xxXhf 令令, , 1.7(b),f 连连续续， 由由定定理理只只需需证证明明 可可测测，12.,RRII 设设 是是平平面面上上的的一一个个开开矩矩形形则则是是可可列列个个开开矩矩形形的的并并. .所所以以只只需需要要考考虑虑开开矩矩形形就就可可以以了了. . 12,=,I Ifu v是是两两个个开开区区间间11112( )=( )()fRuIv

4、I 1,kkVVR 设设 是是平平面面上上任任意意开开集集，则则 (1,2,)kR k 其其中中，是是平平面面上上的的开开矩矩形形. . 11111( ),kkkkfVfRfR 1112,( ),( )uvuIvIX 可可测测都都是是 中中的的可可测测集集，1( )fRX 是是 中中的的可可测测集集. .1( )fVX 则则是是 中中的的可可测测集集. .证明证明 : ( ) 0 ,Ex X f x 设设 1,( ),( ) =,( ),( )xExxxXf xxEf x 令令则则1 1，( )0,( )0,xEf xf x 当当时时， ( )( )( )0,f xx f xxE ( )( )

5、,( )f xxExf x 当当时时， ( )( )( ) ,f xxf xxE ( )( )( ) ,.f xxf xxX 1,sup ,1.1,2,= inf13nknnkkkabakb 设设令令且且 ， limsup.nnnaa 称称 为为的的上上极极限限，记记为为1inf ,1,2,=supknnkkkcakc 类类似似定定义义下下极极限限，令令且且， liminf.nnnaa 称称 为为的的下下极极限限，记记为为liminf()limsup,nnnnaa显显然然limsup()liminf.nnnnaa引理引理1 是是 an 的上极限的上极限,则存在则存在an的的lim.kknnka

6、a 子子列列，使使得得证明证明sup,1,2,knnkbak 因因为为kb所所以以单单调调递递减减的的，于于是是1=inflim.kkkkbb 1120,sup,ba a 由由于于1111,.nnab 根根据据上上确确界界定定义义，使使得得,1,2,nnbbn 又又因因递递减减 故故11.nab所所以以有有，同理同理, , 由于由于 111112sup,nnnbaa 2121111,.nnnnnab 有有，12,knnn使使 照此做下去照此做下去,可求得可求得11,1, 2,.kknnabk kna这这样样得得到到的的子子列列，,1, 2,.kknnbaklimlim.kknnkkba所所以以

7、，,k 令令上上不不等等式式中中的的由由极极限限保保号号性性，lim=.knka 由由 的的任任意意性性，引理引理2 ,lim,kknnnkEsaaas 设设=sup.EE 则则证明证明由上确界定义由上确界定义 lim= ,nnnsEs 存存在在使使得得( )( ), lim,k iknnnik iiaaas 因因为为对对1111,1,nnnaaas 故故对对2121211,22nn nnaaas 1111,kkknn nnkaaaskk limlimlim.kknnkkkkkaass .E 命题命题1 1 设设 an 为广义实数列为广义实数列. 则有则有(i) 是是 an 的上极限的充要条件

8、是的上极限的充要条件是(ii) 是是 an 的下极限的充要条件是的下极限的充要条件是;na 是是所所有有收收敛敛子子列列极极限限值值的的最最大大数数na 是是所所有有收收敛敛子子列列极极限限值值的的最最小小数数. .证证 这里仅证这里仅证 (i). ,lim,kknnnkEsaaas 设设=sup.2.EE 记记由由引引理理 ，1,.E 由由引引理理 ，na 是是所所有有收收敛敛子子列列极极限限值值的的最最大大数数. .limlim.kknnkkab 由由极极限限保保号号性性，有有,1,2,kknnabk 也也有有=sup,1,2,1,2,knnnn kbakab n 因为，因为，knnaa

9、对对的的任任意意收收敛敛子子列列，limlimlim.kknnnkknabb . . 综综上上所所述述，类似地可以证明类似地可以证明(ii).limsupliminf.nnnnaa 命题命题2 2 广义实数列广义实数列an存在极限的充要条件是存在极限的充要条件是:充分性充分性limsupliminf.nnnnAaa ,kknnnaaa 对对如如果果收收敛敛，证明证明limlimsupliminf,knnnknnaAaAa 设设，则则limsupliminfnnnnaa 因因为为，充分条件说明充分条件说明lim.1nna 同同一一个个数数由由命命题题 ，必要性limsupliminflim.nn

10、nnnnaaa na所所以以对对的的任任意意子子列列都都收收敛敛 lim.nnnaaA 所所以以，收收敛敛，且且 na因因为为收收敛敛， nfX设设为为集集上上的的广广义义实实值值函函数数列列， 1sup( )sup( ) ;nnnfxfx sup:,nfXxX 定定义义: :为为，inf:,nfXxX 同同理理，为为 1inf( )inf( ) .nnnfxfx nfX设设为为集集上上的的广广义义实实值值函函数数序序列列，limsup:,nnfX 定定义义: :为为， , limsup( )limsup( ) ;nnnnxXfxfx , liminf( )liminf( ) .nnnnxXf

11、xfx liminf:,nnfX 同同理理，为为.的的点点点点极极限限:,fX 如如果果存存在在，使使得得 , lim( )( ),nnnxXfxf xff 对对则则称称 为为,Ra 设设如如果果对对任任意意的的上上的的可可测测函函数数。是是则则称称Xxf)( 都都是是可可测测集集，axfXxafX )( nfX设设为为1 1. .集集上上的的1 14 4定定理理广广义义实实值值suplim supnnnff 可可测测函函数数列列，则则和和，inflim inf.nnnff 以以及及和和均均可可测测证明：证明：，对任意的实数对任意的实数a)1(,1afafnnnXxnXx ，使得，使得supl

12、im supnnngfhf 记记和和，.agXx ,)()(sup)(,00axfxfxgnnnn ,)(axfnn ，使得，使得，于是，于是，1afnagnXX ,nfn因因为为可可测测，所所以以 对对每每一一个个nfaX 可可测测，,1可测可测afnagnXX supngf 从从而而，可可测测。(2)supknnn kgff 记记, ,因因为为每每一一个个可可测测，(1),kg由由证证明明每每一一个个是是可可测测的的，1lim sup=infknkhg 从从而而，是是可可测测的的. .infnf同同理理可可证证，可可测测。liminfnnf 同同理理可可证证，可可测测。X可可测测函函数数列列，且且收收敛敛到到 上上的的广广义义实实值值( ),2f xxX 函函数数，对对由由命命题题 ，证明证明 nfX设设为为集集 上上的的广广义义实实值值( )lim(sup)( )lim(inf)( ).nnnnf xfxfx limsupliminf,nnnnfff 1.14.f由由定定理理， 是是可可测测的的证明证明1.14.