函数的单调性教案

1、函数的单调性教案一、研究教材1.认知基础分析：在初中通过对两个变量之间的数量关系的探究认识了函数的概念，学习了一元一次函数、一元二次函数、正比例函数与反比例函数的概念，初步掌握了这些函数图象的画法及其图象特征，能应用图象研究这些简单函数的基本性质，通过图象的升降关系（单调性的图象特征）了解函数值的变化与自变量的变化关系（单调性的定性描述）.在高中通过对两个非空数集之间的对应关系以及映射的研究深化了对函数概念的理解，进一步学习了函数的三种表示方法，实现从初中的形象思维逐步过渡到逻辑思维，从具体向抽象的代数推理过渡.2.地位与作用：函数的单调性是函数的重要性质,它既是函数概念的延续和拓展，又是后续

2、研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在解决函数的值域、定义域、不等式、比较两个实数的大小等具体问题中有着广泛的应用.函数单调性概念的形成过程中蕴涵作许多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其它性质起作启发与示范作用.二、教学目标1.知识与技能（1）理解函数的单调性的概念及其几何意义；（2）能应用函数的图象和单调性的定义判断或证明简单函数的单调性；（3）学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，突出数形结合思想在研究函数性质中的重要性.2.过程与方法（1）首先是通过初中已经学习过的函数特别是二次函数图象的直观感悟，让学生获得图象的上升与下降来刻画函数的单调性的特征（单调性的几

3、何语言），第二利用列表法，启发学生获得“函数的增、减性就是随着自变量的值的增大，函数值也随之增大（或减小）”（单调性的文字语言）；第三通过交流合作，将文字语言转化为抽象的符号语言（形式化的精确定义）；（2）通过函数的单调性的学习，体会文字语言、图形语言、符号语言的相互转化；（3）通过函数的单调性概念的形成过程的学习，让学生领悟到从观察具体特例的图象到归纳猜想再到推理论证的科学思维方法.3情感、态度与价格观在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.三、教学重点和难点重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与定义的应用.四、教法与学法重

4、视诱思探究的教学理论在课堂教学中的渗透，在课堂教学中体现“教师为主导、学生为主体”，教师启发诱导，学生自主探究，激发学生的学习兴趣、培养学生良好的思维习惯和思维品质.五、教学过程教学流程教学情境师生互动过程设计意图实例引入1.艾宾浩斯关于时间间隔与记忆保持量的关系时间间隔记忆量刚刚记忆完毕100%20分钟后58.2%1小时后44.2%8-9小时后35.8%1天后337%2天后27.8%6天后25.4%一个月后21.1%问题1请同学们结合图象和表格分析记忆量与时间的变化关系？师：同学们，我们前面在初中的基础上进一步学习了函数的概念和函数的三种表示方法，今天我们与大家一起来研究函数的一般性质，它主

5、要包括：函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性、图象的对称性等.今天我们主要研究运动变化的快与慢、增或减的变化规律.研究函数性质的基本方法是从特殊函数的图象上直观感知函数的运动变化性质，归纳猜想出一般性的规律，在用抽象的符号语言形成概念.出示问题1生：结合图象回答问题1让学生感受到研究函数性质的重要性，也让学生认识到在学习过程中为什么要及时复习巩固.合作交流探究概念2.画出函数和的图象，引导学生探究：问题2从左往右看观察两个函数的图象，请指出函数的图象在哪些部分是上升或下降的？师：引导学生观察图象生：观察、探究、合作交流，回答问题2从左往右看，的图象逐渐连续下降，的图像在y轴的左侧（

6、学生还有可能回答：当时或当时）图象逐渐下降，在y轴的右侧图象逐渐上升.师：图象的这种逐渐上升与下降，从直观上反映了函数的一个基本性质函数的单调性，逐渐上升的部分为增函数，下降的部分为减函数.通过观察、两个函数的图象，获得单调性的图形语言3.观察几何画板，从左往右慢速运动P点，要求学生关注P的点坐标变化情况，思考问题3在上，当自变量x增大时，函数值f(x)有怎样的变化规律？问题4请同学们用数学符号语言来描述“在上，当自变量x增大时，函数值f(x)也随着增大”？问题5哪位同学能用数学符号语言来描述“在区间上是增函数”？师：在几何画板上点击“运动P点”生：观察动P点的坐标变化情况回答问题3在上，当自

7、变量x增大时，函数值f(x)也随着增大.师：我们称函数在区间上是增函数.师反问：函数在那个区间上是减函数？生：函数在区间上是减函数.师：再次引导学生几何画板生：回答问题4在区间上任意的，当时，都有.师：提出问题5生：在区间上的自变量的任意任意两个值，当时，都有，则称函数在区间上是增函数.以二次函数为载体，引导学生将概念的几何语言转化为文字语言和符号语言.借助几何画板，引导学生将图象语言“从左往右看”转化为“自变量增大”在转化为符号语言“”的过程.同时使学生体会到不同函数以及同一函数在不同区间上的变化差异.概念的形成和对概念的理解问题6请同学们将上述结论推向一般的函数，给增函数、减函数下定义师：

8、提出问题生：书写定义由特殊函数的性质过渡到一般函数的性质，培养学生的合情推理能力请同学翻开教材，带着下列问题认真阅读增函数与减函数的定义以及单调性、单调区间的概念.问题7将你的定义与教材对比，找出其中的差异，并说明通过正例、反例等手段说明理由.问题8定义中是怎么刻画“当自变量x增大时，函数值f(x)也随着增大（或减小）” ？问题9为了深入理解概念，请指出定义中关键的字词和难以理解的问题与大家共享（要求学生提出问题）.师：静观学生的讨论情况，指导部分学生的阅读方法.生：回答问题8定义中“当时，都有”刻画了“当自变量x增大时，函数值f(x)也随着增大”这一特征.师：读定义请同学们回答问题9生：定义

9、中的“定义域I某个区间D上”师：你对这句话是怎么理解的？生：单调区间必须以区间的形式表达，不能用集合符号书写；单调区间必须是定义域的子区间，研究函数的单调区间必须先求函数的定义域.师：请问你是怎样理解“某个区间”的?生：这说明函数的单调性是一个局部性质，但也有些函数在定义域内是单调的（要求学生以具体的函数为例加以说明）生：“任意”、“都有”也是定义中的关键词，我对“任意”的理解是：对区间D内自变量的每一个值只要满足时，则有，具有一般性，不能通过取特殊值来代替单调性的判定或证明；“都有”是指只要当时，都必须满足师：你能否构造反例来说明“任意”、“都有”缺一不可吗？生：寻求反例教师点评：数学追求表

10、达形式的简洁美，体现了数学是符号的科学.在数学概念的学习过程要深入分析定义中的每一个字和每一个符号，通过对三种语言的转化实现深层次掌握定义的目的.通过阅读概念的精确定义，正例、反例、归纳猜想等，加深对定义及其关键字词的理解，让学生感悟到理解数学概念的方法，培养学生阅读数学教材的能力.单调性的几何语言出示教材中的几何图形师：同学们，我国著名的数学家华罗庚先生曾说过“切莫忘,几何代数统一体,永远联系莫分离”.那么函数的单调性的几何语言又是什么呢？生回答单调性的几何意义教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解.渗透数形结合分析问题的数学思

11、想方法.概念的应用用交互式电子白板出示教材例1师：请同学们结合单调性的几何意义，完成例1用交互式电子白板出示教材例2 物理学中的玻意耳定理（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试用函数的单调性证明之.师：从例1知道用数形结合思想可以直观地获得函数的单调性，但在严格的推理论证中要求同学们能正确应用定义证明函数的单调性，请大家在次阅读定义，思考用定义证明单调性的步骤，思考如何判定的大小？引导学生找到方法，抽生板演师：引导点评完成情况，与学生一起研究用定义法证明单调性的步骤.强化定义法证明单调性的步骤与书写格式,课堂练习1.教材32页练习1、2、32.教材30页的

12、探究题画出函数的图象（1）求函数的定义域（2）它在定义域上的单调性是怎样的？并证明你的结论变式：师：引导学生理解函数在区间、上都是减函数，在整个定义域上不是减函数，强调函数的单调区间不能写成的形式.通过具体问题，使学生认识到函数的单调性是函数在定义域的某个区间上的性质，是函数的局部性质，在整个定义域内函数未必是单调函数.知识整合提出问题：通过本堂课的学习，同学们有哪些收获？学会了那些概念？那些方法？那些数学思想？可通过下列问题启发学生回答：1、函数的单调性的定义是怎样的？2、函数的单调性在图像上的表现是什么？3、函数的单调性在函数值上的变化规律是什么？4、函数的单调性是否为函数的整体性质？5、证明函数在某个区间上是增函数或是