二元函数及其偏导数

1、经济数学基础第4章多元函数的微分第一单元二元函数及其偏导数第一节二元函数的概念一、学习目标通过本节的学习，理解二元函数的概念、能在生活具体事物中抽象出二元函数的概念，会求二元函数的定义域、了解二元函数的几何意义.二、内容讲解1 .多元函数的概念多元函数与一元函数类似，学习时应注意比较.一元函数是含有一个自变量的函数：y=f（x）多元函数是含有多个自变量的函数.例如：二元函数：z=f（x，y），三元函数：u=f（x，y，z）等等.2 .二元函数的几何意义一元函数y=f（x）在直角坐标系。xy中，通常表示一条曲线.而二元函数z=f（x，y）在直角坐标系o-xyz中，通常表示一张曲面._222例如：

2、z=¥aXy表示中心在。，半径为a的上半球面.22.yz=x2表示椭圆抛物面.z=.x2+y2表示上半圆锥面.问题思考：二元函数与一元函数的共同点是什么？区别是什么？117经济数学基础第4章多元函数的微分答案：二元函数与一元函数的共同点：都是描述变量之间的对应关系，值域都是数轴上的点组成的集合；二元函数与一元函数的区别：一元函数的定义域是数轴（直线）上的点组成的集合，二元函数的定义域是平面直角坐标系（平面）上的点组成的集合.三、例题讲解12v=一rh例1如果圆锥体底半径为r,高为h,则其体积3,它是二元函数.其中，r和h是自变量，v是因变量（函数）.定义域：D=（r,h）|r>

3、°,2°例2黑白电视：在t时刻屏幕上坐标为（x，y）处的灰度z为：z=z（x,yR,它是三元函数.例3在一个有火炉白房间里，在t时刻，点（x，y,z）处的温度u是x,y,z,t的函数：u="人丫，乙1）称为温度分布函数，它是四元函数.222例4:求函数z=Va-x-y的定义域.解：a2-x2-y2-0,定义域为D=kx，y）x2+y2z_ln（x+y）例5求4y的定义域.'y>0=解：由所给函数，对数真数为正，又分母根式为正，有j+y>0,即D='（x,y）y0,xy0：四、课堂练习118经济数学基础第4章多元函数的微分iz=练习i函数

4、寸1n(x+y)的定义域为.(分析：求函数定义域的方法、步骤与一元函数是一致的.即如果函数是有意义的，那么根据实际问题的意义来决定函数的定义域；否则，根据函数的解析表达式，求出使解析表达式有意义的自变量的取值范围就是函数的定义域.具体说有以下几个常用原则：(1)分母#0;(2)偶次根号内的代数式之0;(3)对数中的真数>0;(4)如果一个函数是由几个函数经过加、减、乘、除或复合运算后得到的，则该函数的定义域就是这些部分函数定义域的公共部分，即交集.(5)分段函数的定义域是各段函数定义域的全体组成，即并集.)练习2若函数f(x,y)=xy,则f(x+y,x-y)=一(分析：求函数值与一元函

5、数类似.如函数f(x)=2x表示一种倍数关系；二元函数也是一种对应关系，只是情况稍复杂些，函数f(x,y)=xy表示了两个变量相乘的对应关系f(),0)=()">二f(x+y),<x-y>)=(x+y)<x-yax2-y2)五、课后作业1 .二元函数z=1n(1_x_y)的定义域为().A)0<x+yc1；B)0Mx+y<1；C)x+yc1；D)x+y<12 .二元函数z=#-y2的定义域为.3 ,已知z=f(u，v)=uV,求f(x+y，xy).答案1.C;2,x2+y2-1；3.(x+y)xy119经济数学基础第4章多元函数的微分120经

6、济数学基础第4章多元函数的微分第二节偏导数与全微分一、学习目标通过本节课的学习，弄清偏导数与全微分的概念，能熟练求解二元函数(表达式中不带函数符号)的偏导数与全微分.二、内容讲解1 .偏导数二元函数z=f(x,y)在点(Xo,y°)处关于x的偏导数mf(xo+x,yo)-f(xo,yo)必取(注意到：y取值不变，包为y0)zz.记作：&"或父(%。0).limf(x°,yoy)-f(x°,yo)类似地，关于y的偏导数：J山例如：z=x2sin3yCZ、c2-=fy(x,y)=3xcos3y的1=f；(1Q)=3x2cos3y(io)y(i,o),

7、-3求偏导数，包括两个偏导数，一个是对x求偏导，一个是对y求偏导.对x求偏导时，应把看作常数.这样z就变为了一元函数，于是就可以用一元函数的微分法求导数了.对y求偏导也类似.121经济数学基础第4章多元函数的微分注意：一元函数y=f（x）在x。处可导，则在Xo处连续.多元函数z=f（x，y）在（X。一。）可导与在（xo，y。）连续，二者不能互推.2 .全微分z=f（x，y）称z：zdz二一xy:x:y:zz.-dxdy汉y为函数z=f（x，y）在点（x，y）处的全微分.问题思考：二元函数在一点可微与在该点偏导数存在的关系和一元函数有什么不同?簧也一元函数在一点可微与在该点导数存在的关系是两者等

8、价；二元函数在一点可微与在该点偏导数存在的关系是：可微则偏导数存在，偏导数存在不一定可微.三、例题讲解2例1：求z=f（x，y）=xsin3y在点（1，。）处关于x的偏导数.解：将y看作常数z：z-z=2xsin3y-=2xsin3y（i，。）=。（i，。）z=x2y例2:求x在点（1，-1）处的全微分.解：X=(2xy-(1T)x:z二一21二T(1T)W/2+1、=(x+一)x(1T)x二2(1T)因止匕dz=-dx2dy122,经济数学基础第4章多元函数的微分五、课后作业.:z练习1若z=xexy,则（求偏导数，包括两个偏导数，一个是对x求偏导，一个是对y求偏导.对x求偏导时,应把y看作

9、常数.这样z就变为了一元函数，于是就可以用一元函数的微分法求导数了.对yjz求偏导时，应把x看作常数.求Ex,视y为常数，即对x求导数，且是乘积求n-exyxexy：(xy)导.&ex=xexyx(exy);exyxyexy:z练习25gz=xy,则由(e,1)求偏导数，包括两个偏导数，一个是对x求偏导，一个是对y求偏导.对x求偏导时，应把y看作常数.这样z就变为了一元函数，于是就可以用一元函数的微分法求导数了.对y求偏导时，应将x看作常数.一元函数求导公式:fz(ax)'=axlna,即火=xylnx五、课后作业：z_222222v221 .若z=exT,则可().A)ex-；B)-ex-；一2丫-；D)e”(x')2 .若z=cos