、ARCH模型和GARCH模型

1、第7章、ARCH模型和GARCH模型研究内容：研究随时间而变化的风险。（回忆：Markowitz均值方差投资组合选择模型怎样度量资产的风险）本章模型与以前所学的异方差的不同之处：随机扰动项的无条件方差虽然是常数，但是条件方差是按规律变动的量。波动率的聚类性(volatiHtyclustering)：一段时间内，随机扰动项的波动的幅度较大，而另外一定时间内，波动的幅度较小。如图,R§1、ARCH模型1、条件方差多元线性回归模型：yt=xj飞条件方差或者波动率(Conationvariance,volatility)定义为二；=vart<(；J=var(、，)其中匕4是信息集。2、

2、ARCH模型的定义Engle(1982)提出ARCH模型(autoregressiveconditionalheteroskedastidty,自回归条件异方差)。ARCH(q)模型：yt=xtP+8t(1)q的无条件方差是常数，但是其条件分布为；ttN(0.2)<=0(2)其中也4是信息集。方程（1）是均值方程（meanequation<:条件方差，含义是基于过去信息的一期预测方差方程（2）是条件方差方程（conditionalvarianceequatiorj）,由二项组成常数ARCH项咆:滞后的残差平方习题：方程（2）给出了1的条件方差，请计算第的无条件方差。证明：利用方差分

3、解公式：Var(X)=VaryE(X|Y)+EyVar(X|Y)由于然|上二1_n(0尸t2),所以条件均值为0,条件方差为仃；。那么,2、t=vary(；t)2var(t)=Evan式t)=E；-1=E(s+a18t24+|ll+aq<)=ME；：4，：qE；t2/推出var(；t)=1-?i，说明小(°,47777npt;)3、ARCH模型的平稳性条件在ARCH(1)模型中，观察参数口的含义：当口t1时，var(q)T8当ST0时，退化为传统情形，®tLN(0p)ARCH模型的平稳性条件：工叫1(这样才得到有限的方差)4、ARCH效应检验ARCHLMTest:拉格

4、朗日乘数检验建立辅助回归方程e2=-0.二者川,，02，4此处e是回归残差。原假设：H0:序列不存在ARCH效应即H0:%=口2=I“=0可以证明：若H0为真，则LM=mR2L2(q)此处，m为辅助回归方程的样本个数。R2为辅助回归方程的确定系数。Eviews操作：先实施多元线性回归view/residual/Tests/ARCHLMTest§2、GARCH模型的实证分析从收盘价，得到收益率数据序列。seriesr=log(p)-log(p(-1)点击序歹Up,然后view/linegraph2000150010005000.R1、检验是否有ARCH现象。首先回归。取2000到225

5、4的样本。输入lsrc,得至U0.080.040.00-0.04-0.08-0.12200020502100215022002250IRDependentVariable:RMethod:LeastSquaresDate:10/21/04Time:21:26Sample:20002254Includedobservations:255VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C.6916R-squared0.Meandependentvar0.AdjustedR-squared0.S.D.dependentvar0.S.E.ofreg

6、ression0.Akaikeinfocriterion-5.Sumsquaredresid0.Schwarzcriterion-5.Loglikelihood672.2847Durbin-Watsonstat2.问题：这样进行回归的含义是什么?其次，view/residualtests/ARCHLMtest,得至UARCHTest:F-statistic5.Probability0.Obs*R-squared44,68954Probability0.TestEquation:DependentVariable:RESIDA2Method:LeastSquaresDate:10/21/04Ti

7、me:21:27Sample(adjusted):20102254Includedobservations:245afteradjustingendpointsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C0.5.34E-052.0.0405RESIDA2(-1).0310RESIDA2(-2).4041RESIDA2(-3).0000RESIDA2(-4).7059RESIDA2(-5)-0.0.-0.0.5522RESIDA2(-6)-0.0.-1.0.3160RESIDA2(-7)0.0.

8、0.0.9354RESIDA2(-8).1202RESIDA2(-9).8647RESIDA2(-10).3239R-squared0.Meandependentvar0.AdjustedR-squared0.S.D.dependentvar0.S.E.ofregression0.Akaikeinfocriterion-11.86836Sumsquaredresid9.19E-05Schwarzcriterion-11.71116Loglikelihood1464.875F-statistic5.Durbin-Watsonstat2.Prob(F-st

9、atistic)0.得到什么结论?2、模型定阶：如何确定q实施ARCHLMtest时，取较大的q,观察滞后残差平方的t统计量的pvalue即可。此处选取q=3。因此，可以对残差建立ARCH(3)模型。3、ARCH模型的参数估计参数估计采用最大似然估计。具体方法在GARCH一节中讲解。如何实施ARCH过程：由于存在ARCH效应，所以点击estimate,在method中选取ARCH(KquBtUITITUDWorkfile:3H»!一殉3“d“，aaaRNXhcdM.CMDZQ1021.04Trrw2147一加208的卜”30%«心皿35Corvnc4»chwd嗡”

10、，3a，tiE，OOCOMOCCOO?5O|5cc924E<6166606XCH：1)024413CC62640AflCHZ.008142$CM，而ARCH3)04579B3cio»?eP.父26Q83023e”如，ygyR.卬E001加S)M；xSE001753552%cSetqinrodrd03闵72SchwarrcL»|I<c4l»ld7X367377CvboWiVm»wEwelqu»ttonSp»«»ficat1«得到如下结果DependentVariable:RMethod:ML-A

11、RCHDate:10/21/04Time:21:48Sample:20002254Includedobservations:255Convergenceachievedafter13iterationsCoefficientStd.Errorz-StatisticProb.C-0.0.-0.0.3937VarianceEquationC9.24E-051.66E-055.0.0000ARCH(1).0031ARCH(2).2930ARCH.0000R-squared-0.Meandependentvar0.AdjustedR-squared-0.S.D

12、.dependentvar0.S.E.ofregression0.Akaikeinfocriterion-5.Sumsquaredresid0.Schwarzcriterion-5.Loglikelihood705.7377Durbin-Watsonstat2.为了比较，观察将q放大对系数估计的影响DependentVariable:RMethod:ML-ARCHDate:10/21/04Time:21:54Sample:20002254Includedobservations:255Convergenceachievedafter16iterationsCoefficientStd.Erro

13、rz-StatisticProb.C-0.0.-0.0.4238VarianceEquationC9.38E-051.60E-055.0.0000ARCH(1).0037ARCH(2).5521ARCH(3).0000ARCH(4)-0.0.-0.0.6672ARCH.3968R-squared-0.Meandependentvar0.AdjustedR-squared-0.S.D.dependentvar0.S.E.ofregression0.Akaikeinfocriterion-5.Sumsquaredresid0.Schwarzc

14、riterion-5.Loglikelihood706.1198Durbin-Watsonstat2.观察：说明q选取为3确实比较恰当4、ARCH模型是对的吗？如果ARCH模型选取正确，即回归残差的条件方差是按规律变化的，那么标准化残差就会服从标准正态分布，即不会有ARCH效应了为什么？请思考。对q为3的ARCH模型做LMtest,发现没有了ARCH效应注意，虽然是同一个检验名称，但是ARCH过程后是对标准化残差进行检验。注意观察被解释变量或者依赖变量是什么？ARCHTest:F-statistic0.Probability0.Obs*R-squared2.Probability0.TestE

15、quation:DependentVariable:STD_RESIDA2Method:LeastSquaresDate:10/21/04Time:21:56Sample(adjusted):20102254Includedobservations:245afteradjustingendpointsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C.0000STD_RESIDA2(-1)-0.0.-0.0.5559STD_RESIDA2(-2)-0.0.-0.0.9536STD_RESIDA2(-3)-0.0.-0.0.3810STD_R

16、ESIDA2(-4)-0.0.-0.0.8745STD_RESIDA2(-5).9568STD_RESIDA2(-6)-0.0.-0.0.9096STD_RESIDA2(-7).3330STD_RESIDA2(-8)-0.0.-0.0.8523STD_RESIDA2(-9)-0.0.-0.0.8705STDRESIDA2(-10)-0.0.-0.0.7570R-squared0.Meandependentvar1.AdjustedR-squared-0.S.D.dependentvar2.S.E.ofregression2.Akaikeinfocriterion4.

17、Sumsquaredresid1078.160Schwarzcriterion4.Loglikelihood-529.1546F-statistic0.Durbin-Watsonstat2.Prob(F-statistic)0.方程整体是不显著的。还可以观察标准化残差ARCH建模以后，procs/makeresidualserie切以产生残差斗和标准化残差气/巴，以分别下是残差和标准化残差。可以看出没有了集群现象。0.080.040.00-0.04-0.08200020502100215022002250RESID01RESID02还可以观察波动率（条件方差）的图形。对比r和残差的图形，发现条

18、件方差的起伏与波动率的大小一致。ARCH建模以后，procs/makegarchvarianceseries得至U仃2结论：ARCH模型确实很好描述了股票市场收益率的波动性。可以观察系数之和小于1,满足平稳性条件。§3、GARCH模型当q较大时，采用Bollerslov(1986)提出的GARCH模型(GeneralizedARCH)1、模型定义二：二,三工i二三工产；条件方差方程均值。：过去的条件方差（也即预测方差，forecastvariance注意：均值方程中若没有解释变量（即只有常数，如RC）,则R2没有直观定义了，因此可为负）2、GARCH（p,q）模型的稳定性条件计算扰动

19、项的无条件方差：var（；t）=E。：-:、：ivar（；t/）1var（；t-j）var（t）二二_：、；0GARCH是协方差稳定的，因此是经典回归3、GARCH模型的参数估计采用极大似然估计GARCH模型的参数。下面以GARCH(1,1)为例。由GARCH(1,1)模型yt=x；t；ttLN(0,；2):2一,:;2I二'二2t1t41t1可以得到yt的分布为X|/N(xJ,T)由正态分布的定义公式，得到yt的pdf为2J（Yt-E（Yt）2f（ytl"t）二1一e2二t、2第t个观察样本的对数似然函数值为Inf（ytl't4）；lnrt2）-ln（.2二）（yt

20、9）220t其中二；二.二i:（乂二-x）2注意yi和yj之间不相关，因而是独立的。似然函数为L=nnj（yti）取对数就得到了所有样本的对数似然函数。其中条件方差项以非线性方式进入似然函数，所以不得不使用迭代算法求解。4、模型的选择两条原则：1)若ARCH(q)中q太大，比如q大于7时，则选择GARCH(p,q)2)使用AIC和SC准则，选择最优的GARCH模型3)对于金融时间序列，一般选择GARCH(1,1)就够了。回顾AIC和SC定义：1) AIC准则(Akaikeinformationcriterion)AIC=21nL2KnnAIC越小越好，结合如下两者：K(自变量个数)减少，模型简

21、洁LnL增加，模型精确2) SC准则(Schwazcriterion)cc2lnLKln(n)SC二习题1:通货膨胀率有ARCH效应吗？GreeneP572点击数据文件usinf_greene_p572进行回归lsinflationcinflation(-l)DependentVariable:INFLATIONMethod:LeastSquaresDate:11/19/04Time:10:37Sample(adjusted):19411985Includedobservations:45afteradjustingendpointsVariableCoefficientStd.Errort-

22、StatisticProb.C.0047INFLATION(-1).0005R-squared0.Meandependentvar4.AdjustedR-squared0.S.D.dependentvar4.S.E.ofregression3.Akaikeinfocriterion5.Sumsquaredresid561.1625Schwarzcriterion5.Loglikelihood-120.6276F-statistic14.14110Durbin-Watsonstat1.Prob(F-statistic)0.检验ARCH效应ARCHTest:F-stat

23、istic0.Probability0.Obs*R-squared1.Probability0.TestEquation:DependentVariable:RESIDA2Method:LeastSquaresDate:11/19/04Time:10:46Sample(adjusted):19461985Includedobservations:40afteradjustingendpointsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C.2204RESIDA2(-1)-0.0.-0.0.8557RESIDA2(-2)-0.0.-0.

24、0.9680RESIDA2(-3).4974RESIDA2(-4).9141RESIDA2(-5).4534R-squared0.Meandependentvar12.28323AdjustedR-squared-0.S.D.dependentvar34.15088S.E.ofregression36.00858Akaikeinfocriterion10.14287Sumsquaredresid44085.00Schwarzcriterion10.39620Loglikelihood-196.8574F-statistic0Durbin-Watsons

25、tat1.Prob(F-statistic)0习题2:通货膨胀率有ARCH效应吗？Lin的数据集点击usinf文件seriesdp=100*D(log(p)lsdpcdp(-1)dp(-2)dp(-3)DependentVariable:DPMethod:LeastSquaresDate:11/19/04Time:10:10Sample(adjusted):1951:11983:4Includedobservations:132afteradjustingendpointsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C.0854DP(-1).0000DP(-2).0249DP(-3)0.0.3.