第0章矢量分析

1、第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )第第0 0章章 矢量分析（附录一）矢量分析（附录一）第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )本章主要内容框架本章主要内容框架标量场标量场方向导数方向导数梯度梯度矢量场矢量场通量通量散度散度环量环量旋度旋度等值面等值面矢量线矢量线无源场无源场无旋场无旋场亥亥姆姆霍霍兹兹定定理理第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) ) 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点交点来来确定。确定。1 正交坐标系正交坐标系 在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正

2、交曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为：直角直角坐坐标系、圆柱坐标系和球坐标系标系、圆柱坐标系和球坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称；描述坐标轴的量称为为坐标变量坐标变量。第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )1. 直角坐标系直角坐标系 zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd体

3、积元体积元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐标变量坐标变量zyx,坐标单位矢量坐标单位矢量zyxeee,点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 xezeyex yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )2. 圆柱坐标系圆柱坐标系dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐标变量坐标变量zeee

4、,坐标单位矢量坐标单位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd线元矢量线元矢量zVdddd体积元体积元面元矢量面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系圆柱坐标系0（半平面半平面）0（圆柱面圆柱面）0zz （平面平面）),(000zP第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr3. 球坐标系球坐标系, r坐标变量坐标变量eeer,坐标单位矢量坐标单位矢量rerr位置矢量位置矢量dsindddrererelr线元矢量线元矢量dddsind2

5、rrV 体积元体积元面元矢量面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系球坐标系0（半平面半平面）0（圆锥面圆锥面）0rr （球面球面）),(000rPrddrsin第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )4. 坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系 xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标圆柱坐标与与球坐标系球坐标系直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系zereeecossincossinsincos0 xeyesinsinsin

6、coscossinoxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系xeyeeeoz单位圆单位圆 柱坐标系与求坐标系之间柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系zeeree第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )1. 1. 标量和矢量标量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的单位矢量矢量的单位矢量：标量标量：一个一个只用大小只用大小描述的物理量。描述的物理量。AAeA矢量的代数表示矢量的代数表示：AeAeAAA矢量矢量：一个一个既有大小又有方向既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字特性的物理量，常

7、用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 A矢量的几何表示矢量的几何表示2 标量场和矢量场标量场和矢量场第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )zzyyxxAeAeAeAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAA矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示coscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxyO第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )（1）矢量的）矢量的加减加减法法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBA

8、eBA 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线邻边的平行四边形的对角线, ,如图所示。如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律2. 矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的减法矢量的减法BAABB 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律结合律()()ABCABCABBA交换律交换律第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )（2 2）标量乘矢量标量乘矢量（3）矢量的）矢量的标积（点积）标积（点积）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxB

9、ABABAABBAcos A BB A矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 与与 的夹角的夹角ABA B A B 0BA/A BAB第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )（4）矢量的）矢量的矢积（叉积）矢积（叉积）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 与与 的叉积的叉积AB用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式为写成行列式形式为BAABBA若若 ，则，则BA/0BA若若

10、 ，则，则第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )（5 5）矢量的混合运算）矢量的混合运算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()( 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) ) 如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。 例如例如：温度场、电位场、高度场等。：温度场、电位场、高度场等。 如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。 例如例如：流速场、重力场、电场、磁场等。：流速场、重力场、电场、磁

11、场等。 如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为： 、),(tzyxu),(tzyxF 分布着某种物理量的分布着某种物理量的空间区域空间区域称为物理量的称为物理量的场场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：3.3.标量场和矢量场标量场和矢量场、),(zyxu),(zyxF静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )本章主要内容框架本章主要内容框架标量场标量场方向导数方向

12、导数梯度梯度矢量场矢量场通量通量散度散度环量环量旋度旋度等值面等值面矢量线矢量线无源场无源场无旋场无旋场亥亥姆姆霍霍兹兹定定理理第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )1.1.标量场的等值面标量场的等值面等值面等值面: : 标量场取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。)(),(常数Czyx等值面方程等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等

13、值面互不相交。例如例如：电位场中电位场中等位面等位面，温度场中的，温度场中的等温面等温面 等值面的特点等值面的特点：意义意义: : 形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )等高线等高线 等值线等值线: : 在平行平面标量场中，函数在平行平面标量场中，函数 具有相同函数值具有相同函数值的点所组成的曲线。的点所组成的曲线。y)(x,)(),(常数Cyx等值线方程等值线方程：课堂提问课堂提问：常见的等值线有哪些？：常见的等值线有哪些？地面气象图的等温线地面气象图的等温线地形图中的等高线地形图中的等高线右

14、图中的等高线密集处表示什么意思？右图中的等高线密集处表示什么意思？有什么意义？有什么意义？第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )2. 方向导数方向导数意义意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。l0l 方向导数方向导数沿沿 方向增加；方向增加； l0l 方向导数方向导数沿沿 方向减小；方向减小； l0l 方向导数方向导数沿沿 方向无变化。方向无变化。 P0lPl方向导数的概念方向导数的概念 l特点特点：方向导数既与点：方向导数既与点P0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。概念概念： 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscos

15、cos、 coscoscoszyxl coscoscoszyxleeee方向的单位矢量方向的单位矢量l第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )问题问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？glegl-1-),cos( ，),cos()coscoscos()(llzyxzyxeggegeeezeyexel 00),cos(legl ，当两者方向一致，当两者方向一致， 方向导数最大方向导数最大当两者方向垂直，当两者方向垂直， 方向导数为零方向导数为零当两者方向相反，当两者方向相反， 方向导数最小方向导数最小glegl ，1)

16、,cos(zeyexegzyx 第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )梯度的表达式梯度的表达式：zeeez 1圆柱坐标系圆柱坐标系 sin11rererer球坐标系球坐标系zeyexezyx 直角坐标系直角坐标系 3. 梯度梯度意义意义：描述标量描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念概念：定义矢量函数定义矢量函数 为标量场为标量场 的梯度，记作的梯度，记作 g gradzeyexezyx grad引入哈密顿算子引入哈密顿算子 ，故，故 第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )标量场的梯度是标量场的梯度是矢量场矢

17、量场，它在空间某，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度在该方向上的投影。梯度的性质梯度的性质：梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) ) 作业作业1 设一标量函数设一

18、标量函数 ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空间标量描述了空间标量场。试求：场。试求： (1) 该函数该函数 在点在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。的单位矢量。 (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方向的方向导数，并以点方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。值作以比较，得出相应结论。ooo60cos45cos60coszyxleeee第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )本章主要内容框架本章主要内容框架标量场标量场方

19、向导数方向导数梯度梯度矢量场矢量场通量通量散度散度环量环量旋度旋度等值面等值面矢量线矢量线无源场无源场无旋场无旋场亥亥姆姆霍霍兹兹定定理理第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )如何推出？如何推出？意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。dzdydxyxzAAA矢量线方程矢量线方程：概念概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线O drlrdl1.1.矢量线矢量线0 l dAA直角坐标系中直角坐标系中：线元线元例如例如：静电

20、场中静电场中电力线电力线，流速场中的，流速场中的流线流线xyzxyzxyzyzxzxyeeeA dlAAAdxdydzeA dzAdyeAdxA dzeA dyA dx第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )闭合曲面的面元闭合曲面的面元开曲面的上的面元开曲面的上的面元2.2.矢量场的通量矢量场的通量 面元矢量面元矢量 ：面积很小的有向曲面：面积很小的有向曲面),(zyxASdne面积元矢量面积元矢量Sd描述矢量场的分布情况描述矢量场的分布情况dSeSdn 确定绕行确定绕行l的方向后，的方向后，沿绕行方向按右手螺沿绕行方向按右手螺旋旋拇指方向拇指方向闭合曲面的闭合曲面的外法线方向

21、外法线方向面积元的法向单位矢量面积元的法向单位矢量第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )通量的概念通量的概念 在矢量场中，取一曲面在矢量场中，取一曲面S S，那么矢量场，那么矢量场A A在在S S上的面积分为上的面积分为以以流速场流速场为例为例, ,说明通量的意义：说明通量的意义：0 0 流出多于流入，流出多于流入，S S内有生成流体的内有生成流体的“源源”流出小于流入，流出小于流入，S S内有吸收流体的内有吸收流体的“洞洞”流出等于流入，流出等于流入，S S内无源或者正源等于负源内无源或者正源等于负源SzyxSdxdyAdxdzAdydzASdASSdv0第第0 0章章 矢

22、量分析矢量分析( (附录一附录一) )矢量场矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的闭合曲面的通量通量从从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的建立了矢量场通过闭合曲面的通通量与量与曲面内产生矢量场的曲面内产生矢量场的源源的关系。的关系。通量的物理意义通量的物理意义0 通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出0 有净的矢有净的矢量线进入量线进入0进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )3.3.矢量场的散度矢量场的散度 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任一点

23、（小为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任一点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用用极限极限方法得到这一关系：方法得到这一关系：称为矢量场的称为矢量场的散度散度。 散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。体积之比的极限。矢量场在矢量场在任一点任一点附近的附近的通量特性通量特性VSdzyxAzyxASV),(lim),(0第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )圆柱坐标系圆柱坐标系22111()(sin)()sin

24、sinrAr AAArrrr ()zAAAAz 球坐标系球坐标系yzxAAAAxyz 直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(为常量)()()()为常矢量(0第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )散度定理（又称高斯定理，散度定理（又称高斯定理，奥氏公式奥氏公式）体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 从散度的定义出发，可从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散面所包含体积中矢量场的散度

25、的体积分，即度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。在电磁理论中有着广泛的应用。VSdV Vlimd1nn0VnnAASA VSdV dASA 第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )q 如果矢量场的任意闭合回路的环量如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零恒为零，称该矢量场为，称该矢量场为无无旋场旋场，又称为，又称为保守场保守场。环量的概念环量的概念 矢量场对于矢量场对于闭合曲线闭合曲线L 的的环量环量定义为该矢量对闭合曲线定义为该矢量对闭合曲线L的线积分，即的线积分，即q 如

26、果矢量场对于任意闭合曲线的环量如果矢量场对于任意闭合曲线的环量均不为零均不为零，称该矢量场，称该矢量场为为有旋矢量场有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源。q 电流是磁场的旋涡源。电流是磁场的旋涡源。l dzyxAL),(4. 矢量场的环量矢量场的环量第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) ) 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即流成正比，即SCSzyxJIlzyxBd),(d),(00上式建立了磁场的环流与电流的关系。上式建立了磁场的环流与电流的关系。 磁感应

27、线要磁感应线要么穿过曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同时穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感应线磁感应线第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )SLMAne环量面密度环量面密度n001rotlimdlimLSSAAlSdSdS称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向 的的环量面密度环量面密度。ne特点特点：其值与点：其值与点M 处的面元方向处的面元方向 有关。有关。ne 过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S ，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为L，曲面的法，曲面的法线方向线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0 时，极限时，极

28、限ne矢量场在矢量场在任一点任一点附近的附近的环量环量状态状态思考：思考：矢量场的方向与面元矢量方向呈不同关系时，环量面矢量场的方向与面元矢量方向呈不同关系时，环量面密度的大小也不一样。何时达到最大值呢？密度的大小也不一样。何时达到最大值呢？第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) ) 矢量场的矢量场的环量环量给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。矢量场的旋度。 5. 矢量场的旋度矢量场的旋度 概念概念：矢量场在矢量场在 M

29、 点处的旋度为一矢量，点处的旋度为一矢量， 其其数值数值为为M 点的环量密度点的环量密度最大值最大值， 其其方向方向为取得环量密度最大值时为取得环量密度最大值时面元矢量的方向面元矢量的方向，即，即物理意义物理意义：旋涡源密度矢量旋涡源密度矢量性质性质： nnmaxrotrotAAeA nnrot AeA任一方向的环量面密度等于任一方向的环量面密度等于该点的的旋度在面元矢量方该点的的旋度在面元矢量方向的向的投影投影第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )yyzzxxxyzAAAAAAAeeeyzzxxy旋度的计算公式旋度的计算公式: :1zzeeeAzAAA 2sin1sinsi

30、nrrerereArrArArA 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系xyzxyzeeexyzAAA第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )旋度的有关公式旋度的有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零FfFfFf)(CfCf)(0CGFGF)(GFFGGF)()0A ()0 第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )ddCSAlAS斯托克斯定理斯托克斯定理此定理在电磁理论中有广泛的应用。此定理在电磁理论中有广泛的应用。曲面的曲面的剖分剖分 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任

31、意闭合曲线的环从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环量等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即量等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即nd()dnrot AAe Snd()d() dAeAS S第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) ) 矢量场矢量场就好像就好像海平面海平面 散度散度就是海底的就是海底的泉眼泉眼，形容矢量场向外发散程度，这种，形容矢量场向外发散程度，这种程度用一个数值就可以描述，故它是个程度用一个数值就可以描述，故它是个标量标量 旋度旋度就是海底的就是海底的漩涡漩涡，形容矢量场偏离程度的，这种程，形容矢量场偏离程度的，这种程度得用大小和偏离角度（方向偏离程度）来描述，故它度得用大小和偏离角度（方向偏离程度）来描述，故它是个是个矢量矢量4. 散度和旋度的区别散度和旋度的区别 第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附录一附录一) )0,0FF