可降阶的高阶微分方程,高阶线性微分方程及其通解结构

1、110-3 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程2复习复习1. 微分方程的概念微分方程的概念微分方程微分方程; 阶阶;定解条件定解条件.解解; 通解通解; 特解特解;分离变量法步骤分离变量法步骤: 1.分离变量分离变量;2.两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.d()dyyxx 形形如如的微分方程的微分方程.3.齐次方程齐次方程解法：解法：,xyu 作变量代换作变量代换,yxu 即即dd.ddyuu xxx 则则d(),dxyuyxxy 其其它它变变量量代代换换: :令令2. 可分离变量方程可分离变量方程 的求解方法的求解方法:( )d( )dg yyf xx 3 4. 一阶线性齐次微分方程

2、一阶线性齐次微分方程5. 一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程（1）一般式）一般式（2）通解公式）通解公式（1）一般式）一般式（2）通解公式）通解公式d( )0dyP x yx ( )dP xxyCe d( )( )dyP x yQ xx ( )d( )d( )d)P xxP xxyeQ x exC 解法？解法？410-3 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程高阶微分方程定义：高阶微分方程定义：二阶及二阶以上的微分方程二阶及二阶以上的微分方程.可降阶的高阶微分方程：可降阶的高阶微分方程：可以通过代换将它化为较低可以通过代换将它化为较低阶的方程来解，阶的方程来解， 这种类型的方程称为

3、这种类型的方程称为可降阶的方程可降阶的方程.相应的解法称为相应的解法称为降阶法降阶法.一般形式：一般形式：( )(1)( , ,).nnyf x y yy ( )( )nyf x 一一、型型特点：特点：(1),.ny yy 不不显显含含未未知知函函数数，解法：解法：接连积分接连积分n次，得通解次，得通解521 cos.xyex 求求方方程程的的通通解解例例 2cosdxyexx 201sin,2xexC 201sind2xyexCx 2021cos,4xexC xC 2021cosd4xyexC xCx 221231sin,8xexC xC xC 01:,2CC 其其中中221231sin.8

4、xyexC xC xC 6( ,)yf x y 二二、的的型型微微分分方方程程( ),yP x 令令d,dPyPx 则则代入原方程代入原方程,得得 ,( ) .Pfx P x 这是一阶微分方程这是一阶微分方程.200(1)22 13.xxxyxyyy 求求微微分分方方程程满满足足, ,的的特特解解例例( ,)yf x y 所所给给方方程程是是型型，( ),yP x 令令d,dPyPx 则则代入原方程代入原方程,得得212dd ,1xPxPx 积分积分212dd ,1xPxPx 2lnln(1) ln ,PxC 即即2(1),PCx 则则得得: :03xy 由由得得：3C ，23(1),Px 则

5、则: :23(1),yx 即即两边积分得两边积分得:313,yxxC 01xy 由由得得：11,C 331.yxx 则则所所求求的的特特解解为为: :73 0.xyy 求求微微分分方方程程的的通通解解例例( ),yP x 令令d,dPyPx 则则代入原方程代入原方程0,xPP d,dPxPx 即即分离变量分离变量,得得11ddPxPx ，1lnlnlnPxC 积分得积分得1,CPx 1ddCyxx 即即，12lnyCxC ，12ln.yCxC 8( ,)yf y y 三三、的的型型微微分分方方程程,dyyPdx 令令d,dpyPy 则则()yy ddddPyyx ddPPy，代入原方程代入原方

6、程,得得d( ,)dpPf y Py 这是一阶微分方程这是一阶微分方程.24 0.yyy 求求微微分分例例方方程程的的通通解解( ),yP y 设设d,dpyPy 则则,y y 将将代代入入原原方方程程得得：2dd0pyyPP ，00,yp 在在、时时p约约去去 并并分分离离变变量量再再积积分分得得：ddpyPy ，()ddPydxdx 91lnlnlnpyC 即即，1p C y ，1ddyC yx 即即，:分分离离变变量量得得1ddyC xy ，:积积分分1ddyC xy ，12:lnlny C xC 即即，12:,C xy Ce 所所以以12.C xy Ce 则则原原方方程程的的通通解解为

7、为：24 0.yyy 求求微微分分例例方方程程的的通通解解( ),yP y 设设d,dpyPy 则则,y y 将将代代入入原原方方程程得得：2dd0pyyPP ，00,yp 在在、时时p约约去去 并并分分离离变变量量再再积积分分得得：ddpyPy ，102002115 1 xxyyyyy 例例求求微微分分方方程程满满足足初初始始条条件件, ,.的的特特解解( ),yP y 设设d,dpyPy 则则,y y 将将代代入入原原方方程程得得：221ddpPPyy ，221dd ,1ppypy 2ln(1)lnln,pyC 21,pCy 即即001,1,xxyy 11,yp 2.C 212 ,py 2

8、1.py 01,xy d21.dyyx 112002115 1 xxyyyyy 例例求求微微分分方方程程满满足足初初始始条条件件, ,.的的特特解解由于由于01,xy 所以取正的一支所以取正的一支.即即d21.dyyx 分离变量并两边积分得分离变量并两边积分得21.yxC 1.C 01xy 将将代代入入上上面面式式子子，从而所求的特解为从而所求的特解为211.yx 注意：注意： 在求特解的过程中，在求特解的过程中， 出现任意常数后，出现任意常数后，马上用初马上用初值条件值条件代入，代入，可以使运算简化可以使运算简化.数时，可根据已知条件定出其中一支数时，可根据已知条件定出其中一支.当当出现几支

9、函出现几支函确定任意常数，确定任意常数，12高阶线性微分方程及其通解结构第四节二、二、n阶线性微分方程的通解结构阶线性微分方程的通解结构 一、二阶线性微分方程的通解结构一、二阶线性微分方程的通解结构 第十章 1322dd( )( )( )ddyyP xQ x yf xxx ( )0f x 当当时时，式叫二阶线性齐次微分方程式叫二阶线性齐次微分方程( )0f x 当当时时，式叫二阶线性式叫二阶线性非非齐次微分方程齐次微分方程n 阶线性微分方程的一般形式为阶线性微分方程的一般形式为时时, 称为非齐次方程称为非齐次方程 ; ( )0f x 时时, 称为齐次方程称为齐次方程.( )0f x ( )(1

10、)11( )( )( )( )nnnnya x yax yax yf x 一、二阶线性微分方程的通解结构一、二阶线性微分方程的通解结构 二阶线性微分方程的定义二阶线性微分方程的定义14回顾回顾: 一阶线性方程一阶线性方程( )( )yP x yQ x ( )d P xxye xexQeCexxPxxPxxPd)(d)(d)(d)( 齐次通解齐次通解Y非齐次特解非齐次特解 y*d)()(CxexQxxP d22dd( )( )( )ddyyP xQ x yf xxx 二阶线性微分方程二阶线性微分方程( )0f x 当当时时，式叫二阶线性齐次微分方程式叫二阶线性齐次微分方程( )0f x 当当时时

11、，式叫二阶线性式叫二阶线性非非齐次微分方程齐次微分方程( )( )( )yP x yQ x yf x 151.二阶齐次线性微分方程解的结构二阶齐次线性微分方程解的结构:( )( )0(1)yP x yQ x y 121122( )( ),1(1)y xy xyC yC y 如如果果函函数数与与是是方方程程的的两两个个解解 那那么么定定理理12(1),.CC也也是是的的解解. .其其中中是是任任意意常常数数证证明明12( )( )(1)y xy x因因为为与与是是方方程程的的两两个个解解， 则则有有：111( )( )0yP x yQ x y ，222( )( )0yP x yQ x y ，11

12、22(1)yC yC y 将将代代入入的的左左端端得得：112211221122( )( )C yC yP x C yC yQ x C yC y 11112222( )( )( )( )C yP x yQ x yC yP x yQ x y 0, 1122(1).yC yC y 所所以以是是方方程程的的解解16说明说明:( )( )0(1)yP x yQ x y 121.( )( )( )( )0y xyxyP x yQ x y若若、是是的的解解12111( )( )2( )2( )(1).yy xy xyy xyiy x 则则由由定定理理 知知、是是方方程程的的解解不一定不一定是方程是方程(1

13、)的通解的通解.11222.( )( )yC y xC yx:0yy 如如的的两两个个特特解解为为：12,2,xxyeye 122xxyC eC e 而而12(2)xCC e 120,xxyyyeye 又又还还有有两两个个特特解解为为：12xxyC eC e 而而就是它的通解就是它的通解.为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与下面引入函数的线性相关与 线性无关概念线性无关概念. 17定义定义:12 ( ),( ),( ) ny x y xy xIn为为定定义义在在区区间间 内内的的 个个函函数数， 如如果果存存在在12 ,nnk kk个个不不全全为为零零的的常常数

14、数 xI使使得得当当在在内内有有恒恒等等式式11220nnk yk yk y nI那那么么称称这这个个函函数数在在区区间间 内内线线性性相相关关，.否否则则称称线线性性无无关关例如例如(,)x 当当时时，2,xxxeee ，线性无关线性无关.221 cos, sinxx，线性相关线性相关.特别地：特别地：,I若若在在区区间间 上上12( )( )y xy x 常常数数，12( )( ).y xy xI则则称称与与在在 上上线线性性无无关关12( )( )y xy x 常常数数，,I若若在在区区间间 上上12( )( ).y xy xI则则称称与与在在 上上线线性性相相关关18两个函数在区间两个

15、函数在区间 I 上线性相关与线性无关的上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:1122( )( )0k y xk yx1221( )( )y xkyxk 12( )( )y xyx 常数常数思考思考:相关相关12 ( ),( )y x y x 线线性性相相关关120,k k存存在在不不全全为为 的的常常数数使使1(0)k 无无妨妨设设12 ( ),( )y x y x 线线性性无无关关1212 ( ),( )0,( ),( )_.y x y xy x y x若若中中有有一一个个恒恒为为 则则必必线线性性1912( )( )(12),y xy x 如如果果函函数数与与是是方方程程的的两两个个线线

16、性性无无定定关关的的特特解解理理(1)是是方方程程的的通通解解. .1122yC yC y 那那么么12,.CC其其中中是是任任意意常常数数120,xxyyyeye 还还有有两两个个特特解解为为：如如: :12xxyC eC e 所所以以就是它的通解就是它的通解.212( )( )xy xey x 常常数数，推论推论:12( )( ),( )ny x y xy xn如如果果, ,是是 阶阶线线性性齐齐次次方方程程( )(1)11( )( )( )0nnnnyP x yPx yP x y 1122,nnyC yC yC y 12,.nC CC其其中中, ,是是常常数数( )( )0(1)yP x

17、 yQ x y ,n的的 个个线线性性无无关关的的特特解解那那么么它它的的通通解解为为: :20( )( )( )(2)yP x yQ x yf x *( )3y x 设设是是二二阶阶线线性性非非定定理理齐齐次次方方程程：,的的一一个个特特解解( ),Y x 是是它它对对应应的的齐齐次次通通解解*( )( )yY xy x 则则是是二二阶阶线线性性非非齐齐次次方方程程( (2 2) )的的通通解解. .证明证明*( )( )yY xy x 将将代代入入方方程程( (2 2) )的的左左端端, ,得得到到*()( )()( )()YyP x YyQ x Yy *( )( ) ( )YP x YQ

18、 x YyP x yy 0( )f x ( ),f x ( ),Y x是是它它对对应应的的齐齐次次通通解解( )Y x则则中中含含有有两两个个独独立立的的任任意意常常数数, ,*( )( )yY xy x 则则是是二二阶阶线线性性非非齐齐次次方方程程( (2 2) )的的通通解解. . 推论：推论：1221(2).yyyy 若若 、 是是的的解解, ,则则是是相相应应的的齐齐次次方方程程的的解解21说明说明:*y只须只须求它的一个特解求它的一个特解( )( )0yP x yQ x y 和和.,21yy的的两个线性无关的特解两个线性无关的特解*yYy则则( )( )( )yP x yQ x yf

19、 x 的通解为的通解为1122*.yC yC yy 即即( )( )( )yP x yQ x yf x 若若求求的的通通解解，齐次通解齐次通解Y+ 非齐次特解非齐次特解 y*非齐次通解非齐次通解 y =例如例如, 方程方程0yy 有特解有特解且且故方程的通解为故方程的通解为12cossinyCxCx 又知又知 方程方程yyx 有特解有特解*yx 因此因此 的通解为的通解为yyx 1cos ,yx 2sin ,yx 12tanyxy ,常常数数12cossin.yCxCxx 2212( )( )( )( )yP x yQ x yfxfx ，1( )( )( )yP x yQ x yfx 2( )( )( )yP x yQ x yfx 设非齐次方程设非齐次方程(2)的右端的右端)(xf是几个函数之和，是几个函数之和，若若而而*1y*2y与与分别是方程分别是方程的的特解，特解，那么那么*2*1yyy 就是原方程的特解就是原方程的特解.定理定理4.解的叠加原理解的叠加原理定理定理 5.12( ),( ),( )ny x y xy x设设是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性无关特解个线性无关特解, 1122( )( )( )*( )nnyC y xC yxC yxyx给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程( )(1)1( )( )( )nnnyax yax yf x *(