物理与电子科学技术系期末考试《高等数学III》

1、物理与电子科学技术系期末考试高等数学 III 适用范围：物理学、太阳能专业 13011301 、13031303命题人：刘俊俏 审核人：一、判断正确与错误（每题 2 2 分，共 4040 分）1行列式中行列互换，行列式的值変号。（ 错 ）2行列式等于它的任一行的各元与其余子式乘积之和。 （ 错 ） 3矩阵的乘法满足结合律和交换律。（ 错 ）4一个矩阵左边乘一初等矩阵，相等于该矩阵做一次初等列变换。 （错 ） 5、初等变换改变矩阵的秩。（错）6行列式的值为 0 的充要条件是其行（列）向量线性相关。（ 对 ）7矩阵的行秩等于列秩，都等于该矩阵中非零子式的最高阶数。 （ 对 ）8. A, B 是同型

2、矩阵，则A+BwA+ rB。（对）9全体 n 阶对称矩阵所成的集合关于矩阵的加法与实数乘法构成一个实线性空 间。（对 ）10、 若 L 是线性空间 V 的非空子集且关于 V 的线性运算封闭， 则 L 是 V 的子空 间。（对）11.线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。（错）12. 矩阵有相同的特征根，则该矩阵不能对角化。 （ 错 ）13. 欧氏空间中正交组一定线性相关。（ 错 ）14. 正交向量组到正交向量组之间的过渡矩阵是正交矩阵。（错 ）15.二次型的标准型是唯一的。 （错）16.N 元实二次型是正定的充要条件是其正惯性指数是 N。（对）17 .任意两个事件 A , B，有下列

3、加法公式成立P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）。（对 ）18. 甲乙丙三人独立地同时向一架飞机射击， 设三人 击中飞机的 概率为0.4,0.5,0.7，一人击中，飞机被击落的概率是 0.2，二人击中，飞机击落的概率是0.6，三人击中，飞机必落，三人同时射击，飞机被击落的概率是0.45819根据长期观察知道甲、乙两学生每天参加课后体育活动的比率分别为0.2和 0.18。两人同时参加体育活动的比率为 0.12,则可以推断甲、乙两学生相识。（对）20、正态分布是连续性随即变量。（对）二、计算题（每题 5 5 分，共 3030 分）1、有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮 70 克，磷

4、8 克，钾 2 克; 乙种化肥每千克含氮 64 克，磷 10 克，钾 0.6 克；丙种化肥每千克含氮 70 克, 磷 5 克，钾1.4 克。若把此三种化肥混合，要求总重量 23 千克且含磷 149 克, 钾 30 克，问三种化肥各需多少千克？（要求：列方程组，用克莱姆法则解答）解：设甲乙丙三种化肥各需X1,X2,X3千克，则可以列出方程组x1+ x2+ x3= 238% +10 x2+5X3=149 2 为 + 0.6 x2+14X3= 30可以得到各行列式的值为D=-257，D1=-8：1,D2=-27,D3=-81,55根据克莱姆法则，方程有唯一解:x1= 3,x2= 5,x3= 152、

5、求线性方程组的解5x1X2 22x3 3X4 472x1x2 24x3 32x41Xi i3x26X3 35x40解：对方程组的增广矩阵作初等行变换（2分）（2分）答：三种化肥各需 3 千克，5 千克，15 千克（1分）51 2171 3 65 03 65 02142 12 1 42 17 1612 11365051 21714 3224 713650071612100005从最后一行知， 原方程组无解。（5分）3、求解矩阵方程小1解：X =(1-114)-1(1 02-11)( )-110（1 分）1 1 14 201141 0 1?2 1 10 11124311标？ 解：假设坐标为XX2,

6、X3，则可以得到如下方程组X-!+ x2+ x3= 1x.(+ x2- x3= 2 x.(- x2- x3= 11 1解答方程组，可以得到人=1,X2二？兀=-?1 1求在1,2,3下的坐标（竄孑,-?）5、求矩阵的特征值-2 110 2 0 -4 131 -1(1-11)X(11420)=(0 -1)4、已知= (1,2,1),= (1,1,1),2= (1,1,-1),3= (1,-1,-1 ),求1,2,3下的坐问该矩阵能否对角化？解：由于特征方程为2f( )=1 E-A|=( +1)( -2) =0所以可以得到1= 1，2=3= -2特征向量分别为(1,0,1 ),(0,1-1),(1

7、,0,4)所以可以对角化三、综合题(每题 6 6 分，共 3030 分)1.设f(z)x2axy by2i(cx2dxy y2)。问常数a,b,c,d为何值时f(z)在复 平面上处处解析？并求这时的导数。(8 分)2.设 a、b 是实数，函数f (z) axy (bx2y2)i在复平面解析.求出 a、b 的值, 并求 f.(8分)3.验证u(x, y) x2y22xy是调和函数，并求以u(x, y)为实部的解析函数f(z)，使f(i) 1 2i(8 分)z4.：，C 为正向圆周|z i |2.( 8 分)Cz1e?5.dz, C 为正向圆周| z|C1 zze6.求积分dz，从而证明：?z1z0五、简