第1,2章逻辑代数基础.1ppt

1、 数字数字电子技术基础电子技术基础第五版第五版清华大学电子学教研组清华大学电子学教研组主编主编 阎石阎石第一章第一章 数制和码制数制和码制1.1 概述概述1.数字信号和模拟信号数字信号和模拟信号电电子子电电路路中中的的信信号号模拟信号模拟信号数字信号数字信号时间连续的信号时间连续的信号时间和幅度都是离散的时间和幅度都是离散的例：正弦波信号、锯齿波信号等。例：正弦波信号、锯齿波信号等。例：产品数量的统计、数字表盘例：产品数量的统计、数字表盘的读数、数字电路信号等。的读数、数字电路信号等。模拟信号模拟信号tV(t)tV(t)数字信号数字信号高电平高电平上跳沿上跳沿2.数字电路数字电路处理数字信号的

2、电路处理数字信号的电路 现代数字电路是用半导体工艺制成的若干数现代数字电路是用半导体工艺制成的若干数字集成器件构造而成。逻辑门是其基本单元。字集成器件构造而成。逻辑门是其基本单元。存储器是用来存储二值数据的数字电路。从整存储器是用来存储二值数据的数字电路。从整体来看，数字电路可分为组合电路和时序电路体来看，数字电路可分为组合电路和时序电路两大类。两大类。3.数字电路的发展与分类数字电路的发展与分类 数字电路的结构是以二值数字逻辑为基础的数字电路的结构是以二值数字逻辑为基础的,其中的工作信号是离散的数字信号。电路中的其中的工作信号是离散的数字信号。电路中的电子器件，如二极管、三极管处于开关状态。

3、电子器件，如二极管、三极管处于开关状态。 集成度规格三极管数/片 典型应用 小规模100以下 门电路 中规模100几千个 计数器 大规模104105 各种专用芯片 超大规模 105106 存储器 甚大规模 106以上可编程逻辑器件数字集成电路分为：数字集成电路分为：SSI、MSI、LSI、VSI、USI等五类。等五类。集成度：每一芯片所包含的三极管的个数。集成度：每一芯片所包含的三极管的个数。1.2几种常用的数制几种常用的数制1.3不同数制间的转换不同数制间的转换1.十十二进制数的转换二进制数的转换整数转换整数转换“除除2取余法取余法”02iiiDKN）（两边除两边除2，余第，余第0位位K02

4、22011KKNiiiD）（2221222KKNiiiD）（商两边除商两边除2，余第，余第1位位K1例例1：十进制数十进制数25转换成二进制数的转换过程：转换成二进制数的转换过程：225 余余 1 K0122 余余 0 K162 余余 1 K312 余余 1 K40(25)D=(11001)B2 余余 0 K23 例例2：十进制数十进制数0.8125转换成二进制数的转换过程：转换成二进制数的转换过程： 小数转换小数转换“乘乘2取整法取整法”0.81252=1.6250 1 ( )0.62502=1.2500 1 ( )0.25002=0.5000 0 ( )0.50002=1.0000 1 (

5、 )(0.8125)D=(0.1101)Bk1k2k3k42. 十六进制及其与二进制之间的转换十六进制及其与二进制之间的转换(0101 1001)B= (59)H每四位每四位2进制进制数对应一位数对应一位16进制数进制数(1011100101101001000.0010111)B=从末位开始从末位开始四位一组四位一组(0101 1100 1011 0100 1000.00101110)B84BC5= (5CB48.2E)H2E从首位开始从首位开始四位一组四位一组 3. 八进制及其与二进制之间的转换：八进制及其与二进制之间的转换：从末位开始从末位开始三位一组三位一组(10 011 100 101

6、 101 001 000)B ()O01554=(2345510)O32八进制数的数码：八进制数的数码：0、1、2、3、4、5、6、7(7)O(111)B说明：说明：八进制的一位对应二进制的三位。八进制的一位对应二进制的三位。(10011100101101001000)B =1.4二进制算术运算二进制算术运算 在数字电路中，在数字电路中，1位二进制数码的位二进制数码的0和和1不仅可以表示不仅可以表示数量的大小，而且可以表示两种不同的逻辑状态。当两数量的大小，而且可以表示两种不同的逻辑状态。当两个二进制数码表示两个数量大小时，它们之间的运算就个二进制数码表示两个数量大小时，它们之间的运算就是是算

7、术运算算术运算；当两个二进制数码表示的是事物的逻辑关；当两个二进制数码表示的是事物的逻辑关系时，它门之间的运算只能是系时，它门之间的运算只能是逻辑运算逻辑运算。1.4.1二进制算术运算：二进制算术运算：1、一位二进制数的、一位二进制数的 算术运算算术运算 0+0=0，0+1=1 0-0=0， 0-1=-11+0=1， 1+1=10 1-0=1， 1-1=00 0=0，0 1=0 10=0，1 1=1 2、多位二进制数的算术运算、多位二进制数的算术运算例如，两个二进制数例如，两个二进制数1001和和0101的算术运算有：的算术运算有： 加法运算加法运算 1 0 0 1+ 0 1 0 1 1 1

8、1 0 减法运算减法运算 1 0 0 1- 0 1 0 1 0 1 0 0乘法运算乘法运算 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 除法运算除法运算010110010101 1000 0101 0110 0101 0 010 1111.4.2二进制算术运算的特点二进制算术运算的特点1.逢二进一逢二进一2.二进制数的乘法运算可以通过若干次的二进制数的乘法运算可以通过若干次的“被乘被乘数（或零）左移数（或零）左移1位位”和和“被乘数（或零）与部被乘数（或零）与部分积相加分积相加”这两种操作完成；这两种操作完成；二二

9、进制数的除法运进制数的除法运算能通过若干次算能通过若干次“除数右移除数右移1位位”和和“从被除数从被除数或余数中减去除数或余数中减去除数”这两种操作完成。这两种操作完成。 如果将减法操作转化为某种形式的加法操作，如果将减法操作转化为某种形式的加法操作，那么加、减、乘、除运算就全部可以用那么加、减、乘、除运算就全部可以用“移位移位”和和“相加相加”这两种操作实现了。利用这一特点能这两种操作实现了。利用这一特点能使运算电路的结构大为简化。使运算电路的结构大为简化。数值数值有一定大小含义的数。（如某人体重有一定大小含义的数。（如某人体重80公斤）公斤）代码代码 不再具有大小含义的，但与数值、文字、符

10、不再具有大小含义的，但与数值、文字、符号有某种对应关系的数。（如某个运动员是号有某种对应关系的数。（如某个运动员是80号，号，这里同样是这里同样是80，但它不代表运动员的身高、体重，但它不代表运动员的身高、体重等特征，并无大小的概念）等特征，并无大小的概念）编码编码建立这种代码与数值、文字、符号之间的一建立这种代码与数值、文字、符号之间的一一对应关系的过程。一对应关系的过程。 1.4.21.4.2. .原码、反码、补码和补码运算原码、反码、补码和补码运算 1、数值、代码与编码的概念、数值、代码与编码的概念二进制码二进制码由二进制数构成的代码。由二进制数构成的代码。 原码原码：二进制中以数码的最

11、高位作为符号位，并：二进制中以数码的最高位作为符号位，并以以0表示正，表示正，1表示负。以下各位用表示负。以下各位用0或或1表示数值。表示数值。用这种方式表示的数码称为用这种方式表示的数码称为原码。原码。 例如：例如：（）（）（）符号位符号位（）（）（）+0 的原码为：的原码为：00000000，-0的原码为：的原码为：10000000显然，显然，+0和和-0表示的是同一个数，而在内存中却表示的是同一个数，而在内存中却有两个不同表示。也就是说，有两个不同表示。也就是说，0的表示不唯一。的表示不唯一。若所需编码的信息有若所需编码的信息有N项，则需用的二进制码项，则需用的二进制码的位数的位数n应满

12、足如下关系：应满足如下关系： 2nN反码：反码：一个数如果值为正，则它的反码与原码相一个数如果值为正，则它的反码与原码相同，如同，如+7的反码为的反码为00000111（8位机）；一个数的位机）；一个数的值如为负，则符号位为值如为负，则符号位为1，其余各位是对原码取反，其余各位是对原码取反，如如-7的反码为：的反码为：11111000。 +0的反码为：的反码为：00000000；-0的反码为：的反码为：11111111同样，同样，0的表示不唯一。的表示不唯一。 补码：补码： 原码和反码都不便于数字系统（计算机）内的原码和反码都不便于数字系统（计算机）内的运算，因为运算，因为0的表示不唯一，且在

13、运算中要单独处的表示不唯一，且在运算中要单独处理其符号。理其符号。 因此，最好能做到将符号位统一处理，且因此，最好能做到将符号位统一处理，且0的的表示唯一，对减法也按加法处理。这就导出了表示唯一，对减法也按加法处理。这就导出了补补码。码。补码的原理可以用时钟来说明。如果要将时钟从补码的原理可以用时钟来说明。如果要将时钟从9点点拨到拨到4点，可以向前拨，也可以向后拨。其表示如下：点，可以向前拨，也可以向后拨。其表示如下：1269310118124579-5=4（向后拨（向后拨5个字）个字）9+7=16（向前拨（向前拨7个字）个字）从图上看向后拨从图上看向后拨5个字和向前个字和向前拨拨7个字都是指

14、向个字都是指向4点。点。因为钟是一个因为钟是一个12进制的计数体制，在这个计数体进制的计数体制，在这个计数体制下，十进制的制下，十进制的16应表示为应表示为14，高位不保留，在，高位不保留，在时钟上就是时钟上就是4。也就是。也就是9+7=14，这里高位的，这里高位的1表示表示十进制的十进制的12。 所以我们可以说所以我们可以说7是是5对对12的补码。显然这里已的补码。显然这里已将将9-5变成了变成了9+7。二进制的补码是这样定义二进制的补码是这样定义的：的： 最高位为符号位，正数为，负数为；最高位为符号位，正数为，负数为； 正数的补码和它的原码相同；正数的补码和它的原码相同； 负数的补码可通过

15、将原码的数值位逐位求负数的补码可通过将原码的数值位逐位求反，然后在最低位上加得到。反，然后在最低位上加得到。例如计算（）例如计算（）（）（）在采用补码运算时，首先求出它们的补码：在采用补码运算时，首先求出它们的补码：+1001补补=0 1001-0101补补=1 1011 0 1 0 0 1+ 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0舍去舍去补码的0就是00000000（8位机）二二十进制码十进制码（BCD码）码）Binary-Coded-Decimal 用用4位二进制数位二进制数b3b2b1b0 来表示十进制数中的来表示十进制数中的09十个数码。十个数码。 4位二进制数它共有位二进制数它共

16、有16个不同的组合，即它们个不同的组合，即它们可代表可代表16个数或状态，而十进制数只有十个个数或状态，而十进制数只有十个数码，取哪十个组合来代表十进制数，这就数码，取哪十个组合来代表十进制数，这就是编码的任务。取代形式很多。是编码的任务。取代形式很多。1.5几种常见的二进制码：几种常见的二进制码：习题：习题：1.1、1.2、1.3、1.7、1.9、1.10、1.15不同的表示法便形成了各种编码。这里主要介不同的表示法便形成了各种编码。这里主要介绍：绍：8421码码5421码码余余3码码(无权码）无权码）2421码码首先以十进制数为例，介绍首先以十进制数为例，介绍权重权重的概念。的概念。(32

17、56)D=3 103+ 2 102+ 5 101+ 6 100个位个位(D0)的权重为的权重为100 ，十位，十位(D1)的权重为的权重为101 ，百位百位(D2)的权重为的权重为102 ，千位，千位(D3)的权重为的权重为103十进制数十进制数 (N)D二进制编码二进制编码 (K3K2K1K0)B(N)D= W3K3 +W2K2+W1K1+W0K0W3W0为二进制各位的权重为二进制各位的权重8421码，就是指码，就是指W3=8、 W2= 4、 W1= 2、 W0= 1。用四位二进制数表示用四位二进制数表示09十个数码，该四位二进十个数码，该四位二进制数的每一位也有权重。制数的每一位也有权重。

18、2421码，就是指码，就是指W3=2、 W2= 4、 W1= 2、 W0= 1。5421码，就是指码，就是指W3=5、 W2= 4、 W1= 2、 W0= 1。K3K0为二进制数，取值1或0000000010010001101100111100010011010101111011110111101011100010001236789101113141551240123578964012356789403456782910123678549二进制数二进制数十进制十进制 8421码码 2421码码 5421码码 余三码余三码四位循环码四位循环码(Gray code:格雷码格雷码）: （无权码）（无

19、权码） 十十进进制制数数 Gray 码码 0 0000 1 0001 2 0011 3 0010 4 0110 5 0111 6 0101 7 0100 8 1100 9 1101 十十进进制制数数 Gray码码 10 1111 11 1110 12 1010 13 1011 14 1001 15 1000特点特点：相邻相邻两个编码两个编码之间，之间，只有只有一位一位变量变量的状态的状态取值不同。取值不同。相邻相邻相邻相邻相邻相邻相邻相邻字符编码字符编码(美国标准信息交换码美国标准信息交换码ASCIICODE)b3 b2 b1 b0 b6 b5=00b6 b5=01b6 b5=10b6 b5=

20、11b4=0b4=1 b4=0b4=1b4=0 b4=1b4=0b4=1.0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 控制符间隔!“#$%&,()“+-./0123456789:;?ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ,abcdefghijlkmnopqrstuvwxyz|DEL 在分析和设计数字电路时在分析和设计数字电路时,所使用的数学工所使用的数学工具是逻辑代数。逻

21、辑代数是按一定的逻辑规律具是逻辑代数。逻辑代数是按一定的逻辑规律进行运算的代数。进行运算的代数。逻辑代数中，有与、或、非逻辑代数中，有与、或、非3种基本逻辑运算。种基本逻辑运算。1.与运算与运算 只有当一件事的几个条件全部具备之后，只有当一件事的几个条件全部具备之后，这件事才发生，这种关系称为与逻辑。这件事才发生，这种关系称为与逻辑。第二章逻辑代数基础第二章逻辑代数基础2.2逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算2.1概述概述A BV L（a）电路图电路图1 0 0 A B L=AB 0 0 0 0 1 01 1 1 （c） 真值表真值表（b）功能表功能表A B 灯灯不通不通 不通不

22、通 不亮不亮不通不通 通通 不亮不亮通通 不通不通 不亮不亮 通通 通通 亮亮（d）与逻辑与逻辑门符号门符号ABL=AB2.或运算或运算当一件事情的几个条件只要有一个以上条件得到满足，当一件事情的几个条件只要有一个以上条件得到满足，则该事就发生。这种关系称为或逻辑。则该事就发生。这种关系称为或逻辑。 vABL（a）电路图）电路图 A B 灯灯不通不通 不通不通 不亮不亮不通不通 通通 亮亮通通 不通不通 亮亮 通通 通通 亮亮（b）功能图）功能图1AB L=A+B （d）符号）符号A B L=A+B 0 0 0 0 1 11 0 1 1 1 1（c）真值表）真值表3.非运算非运算一件事情的发生

23、与其相反的条件为依据。这种逻辑关系一件事情的发生与其相反的条件为依据。这种逻辑关系称为非逻辑。称为非逻辑。AVLA（a）继电器继电器A 灯灯不通电不通电 亮亮 通电通电 不亮不亮（b） A L=A 0 1 1 0（c）AL负逻辑符号负逻辑符号11AL正逻辑符号正逻辑符号 4.逻辑函数与逻辑问题的描述 逻辑函数逻辑运算，如与、或、非运算。 例 现设要设计一照明系统：由两个开关控制一盏灯，要求开关A、B均能控制灯L的灭与亮。试用逻辑函数描述之。电路示意图如下 L220VABa b c d确定输入、输出变量：灯L为输出变量，即反映事物结果的因数；开关A、B为输入变量，即决定事物发生与否的条件。 4.

24、逻辑函数与逻辑问题的描述 逻辑函数逻辑运算，如与、或、非运算。 例 现设要设计一照明系统：由两个开关控制一盏灯，要求开关A、B均能控制灯L的灭与亮。试用逻辑函数描述之。电路示意图如下 L220VABa b c d确定输入、输出变量：灯L为输出变量，即反映事物结果的因数；开关A、B为输入变量，即决定事物发生与否的条件。 A B L向上 向上 亮向上 向下 灭 向下 向上 灭 向下 向下 亮逻辑赋值：令开关向上为0开关向下为1，灯亮为1，灯灭为0功能表 真值表逻辑函数表达式：L=AB+AB 0 1 0A B L 0 0 11 0 0 1 1 1显然,该逻辑函数并不是前面所描述的基本逻辑运算,它是一

25、种复合逻辑关系。ABCDY与或非1&常见的复合逻辑运算有：常见的复合逻辑运算有： 与非、或非、与或非、异或、同或等。与非、或非、与或非、异或、同或等。 其实与非就是其实与非就是“与与”和和“非非”的简单复合；的简单复合； 或非就是或非就是“或或”和和“非非”的简单复合；的简单复合； 与或非就是与或非就是“与与”和和“或或”及及“非非”的简单的简单复合。复合。与非&ABY1ABY或非异或异或逻辑实际是一种排他逻辑，即两个逻辑变逻辑实际是一种排他逻辑，即两个逻辑变量相同则结果为量相同则结果为0，否则结果为，否则结果为1。 异或逻辑真值表 A BY0 00 11 01 10110逻辑表达式：Y=AB

26、+AB=A+B同或逻辑真值表A BY0 00 11 01 11001Y=AB+AB=A B=1ABY=ABY2.3逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式基本公式数字电路要研究的是电路的输入输出之间的数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路逻辑电路，相应的，相应的研究工具是研究工具是逻辑代数（布尔代数）逻辑代数（布尔代数）。在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（值（二值变量二值变量），即），即0和和1，中间值没有意义。，中间值没有意义。0和和1表示两个对立的逻辑

27、状态。表示两个对立的逻辑状态。2.3.1逻辑代的基本公式逻辑代的基本公式恒等式：恒等式：AB+AC+BC=AB+AC 摩根定理摩根定理 9 A( +B)=AB A+ B=A+B吸收率吸收率 8 =A非非率非非率 7 A A=A A+A=A重叠率重叠率 6 A =0 A+ =1 互补率互补率 5 1+A=1 0 A=0 0+A=A 1 A=A0-1率率 4 A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C) 分配率分配率 3 A(BC)=(AB)C A+(B+C)=(A+B)+C 结合率结合率 2 AB=BA A+B=B+A交换率交换率 1 对偶式对偶式 基本公式基本公式名称名称序号序号A

28、AAAABAABBABA 要证明以上定律是否成立最有效的方法是检验等式两要证明以上定律是否成立最有效的方法是检验等式两边的函数真值表是否吻合。边的函数真值表是否吻合。 摩根定律的证明：摩根定律的证明：AB=A+B， A+B=AB 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 1 1 0+0=1 1*1=1 0*0=1 1 A B A B A+B A *B A* B A+B左边左边 右边右边 左边左边 右边右边代数运算：代数运算： 逻辑运算：逻辑运算：0+0=0，0+1=1 0+0=0， 0+1=11+0=1， 1+1=10 1+0=1，

29、1+1=10 0=0，0 1=0 00=0，0 1=010=0，1 1=1 1 0=0，1 1=1 一、交换律一、交换律二、结合律二、结合律三、分配律三、分配律A+B=B+AA B=B AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA (B C)=(A B) CA(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)普通代数普通代数不适用不适用!2.3.2基本定律及常用公式基本定律及常用公式求证求证: （分配律第（分配律第2条）条） A+BC=(A+B)(A+C)右边右边 =(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC ; 分配律分配律=A +A(B+C)+BC ; 结合律结合律 , A

30、A=A=A(1+B+C)+BC ; 结合律结合律=A 1+BC ; 1+B+C=1=A+BC ; A 1=1=左边左边四、吸收规则四、吸收规则1.原变量的吸收：原变量的吸收： A+AB=A证明：证明：A+AB=A(1+B)=A1=A利用运算规则可以对逻辑式进行化简。利用运算规则可以对逻辑式进行化简。例如：例如：CDAB)FE(DABCDAB 被吸收被吸收吸收是指吸收多余（吸收是指吸收多余（冗余冗余）项，多余（）项，多余（冗冗余余）因子被取消、去掉）因子被取消、去掉 被消化了。被消化了。长中含短，长中含短，留下短。留下短。2.反变量的吸收：反变量的吸收：BABAA 证明：证明：BAABABAA

31、BA)AA(BA 长中含反，长中含反，去掉反。去掉反。例如：例如：被吸收被吸收DEBCADCBCAA C3.混合变量的吸收：混合变量的吸收：CAABBCCAAB 证明：证明：BC)AA(CAABBCCAAB CAABBCAABCCAAB 例如：例如：CAABBCCAABBCDBCCAABBCDCAAB 正负相对，正负相对，余全完。余全完。2.4逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则(定理定理) 1)代入定理代入定理任何一个含有变量任何一个含有变量A的等式的等式,如果将所有如果将所有出现出现A的位置都代之以一个逻辑函数式的位置都代之以一个逻辑函数式,则等式成立。则等式成立。例如：例如： 中中B用用

32、BC代入，则可得：代入，则可得：BAABABC= A+ BC=A+B+C 2）对偶定理）对偶定理对于任何一个逻辑函数式对于任何一个逻辑函数式Y，若将其中，若将其中的的“”，换成，换成“+”，“+”换成换成“”，1换成换成0，0换成换成1，则得出一个新的函数，则得出一个新的函数式式W，把，把W称为函数式称为函数式Y的对偶式。的对偶式。原函数式原函数式Y与对偶函数式与对偶函数式 W互为对偶函互为对偶函数，两个函数相等，则它们的对偶式必数，两个函数相等，则它们的对偶式必相等。相等。如上表中的基本公式和对偶式。如上表中的基本公式和对偶式。3）反演定理）反演定理对于任何一个逻辑函数式对于任何一个逻辑函数

33、式Y，若将其中，若将其中的的“”换成换成“+”，“+”换成换成“”，1换成换成0，0换成换成1，并将原变量换成反变，并将原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得出的新的量，反变量换成原变量，则得出的新的逻辑函数式即为原函数式的反函数逻辑函数式即为原函数式的反函数Y。反演定理应用中要注意的两个问题：反演定理应用中要注意的两个问题： 1、运算顺序不能变；、运算顺序不能变； 2、不是一个变量上的非号不变。、不是一个变量上的非号不变。例例1：1)()(1 DCBAF01 DCBAF与或式与或式注意括号注意括号用反演用反演定理定理DBDACBCAF 101 DCBAF=ABCD0=(A+B)(C+D)

34、1用摩根用摩根定理定理)(EDCBA )(EDCBA 例例2：EDCBAF2 EDCBAF 2与或式与或式反号不动反号不动反号不动反号不动EDACABAF 22.5逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法2.5.12.5.1逻辑函数逻辑函数 如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，那么当输入变量的取值确定后，输出的取值便随之而那么当输入变量的取值确定后，输出的取值便随之而定。因此，输出与输入之间乃是一种函数关系。这种定。因此，输出与输入之间乃是一种函数关系。这种函数关系称为逻辑函数，写作函数关系称为逻辑函数，写作 Y=F（A，B，C，）如前述的基

35、本逻辑运算（如前述的基本逻辑运算（Y=AB，Y=A B等）也等）也就是逻辑函数。就是逻辑函数。2.5.2逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法 常用的逻辑函数表示方法有常用的逻辑函数表示方法有逻辑真值表逻辑真值表、逻辑函逻辑函数式、逻辑图和数式、逻辑图和卡诺图卡诺图等。等。一、逻辑真值表一、逻辑真值表 将描述某一逻辑关系的输入变量所有的取值下对将描述某一逻辑关系的输入变量所有的取值下对应的输出值求出，并列成表格形式，该表格即为逻应的输出值求出，并列成表格形式，该表格即为逻辑真值表。如前述照明系统的逻辑真值表。辑真值表。如前述照明系统的逻辑真值表。A B L0 00 1 1 0 1 1 1 0 0

36、 1二、逻辑函数式二、逻辑函数式 把输出与输入之间的逻辑关系把输出与输入之间的逻辑关系写成与、或、非等运算的组合式，写成与、或、非等运算的组合式，即逻辑函数式。如由左边的真值即逻辑函数式。如由左边的真值表可写出逻辑函数式：表可写出逻辑函数式：L=AB+AB=A B或或L=AB+AB 即即L=AB+AB逻辑表达式不是唯一的。逻辑表达式不是唯一的。三、逻辑图三、逻辑图 将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑关将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用图形符号表示出来，就可以画出表示逻辑关系系用图形符号表示出来，就可以画出表示逻辑关系的逻辑图。如逻辑函数的逻辑图。如逻辑函数 L=AB+AB的逻

37、辑图。的逻辑图。111ABL四、各种表示方法间的互相转换四、各种表示方法间的互相转换1、从逻辑式画出逻辑图（如上）。、从逻辑式画出逻辑图（如上）。2、由逻辑图写出表达式（从输入到输出逐级写出各门电路、由逻辑图写出表达式（从输入到输出逐级写出各门电路的输出）。的输出）。ABABABAB+AB3、真值表与逻辑函数式之间的转换、真值表与逻辑函数式之间的转换例例1、描述某逻辑函数的真值表如下，请写出逻辑函数表达式，、描述某逻辑函数的真值表如下，请写出逻辑函数表达式，并指出其逻辑功能。并指出其逻辑功能。A B C Y0 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01

38、1 0 01 1 1 1解：在真值表中现假解：在真值表中现假设，变量为设，变量为1时表示原时表示原变量；变量为变量；变量为0时表示时表示反变量。（正逻辑）反变量。（正逻辑）则由真值表可见，函则由真值表可见，函数数Y只有以下四种情况只有以下四种情况时为时为1：ABC=1或或ABC=1或或ABC=1或或ABC=1。Y=ABC+ABC+ABC+ABC同时由真值表亦可看同时由真值表亦可看到：函数到：函数Y只有输入只有输入变量的组合为奇数个变量的组合为奇数个1时，才为时，才为1。由此可。由此可判定该逻辑函数具有判定该逻辑函数具有判奇功能。判奇功能。例例2、已知逻辑函数、已知逻辑函数Y=A+BC+ABC，

39、求它的真值表。，求它的真值表。解：将解：将A、B、C的各取值逐一代入的各取值逐一代入Y式中计算，将计式中计算，将计算结果列表，即可得真值表。但对于初学者，为了避算结果列表，即可得真值表。但对于初学者，为了避免出错，可增设适当的过度项，如下表。免出错，可增设适当的过度项，如下表。A B C BC ABC Y0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 12.5.3逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式两种标准形式两种标准形式最小项之和最小项之和及及最大项之积最大项

40、之积一、最小项和最大项一、最小项和最大项1、最小项、最小项 在在n n个变量逻辑函数中，若个变量逻辑函数中，若mm为包含为包含n n个因子的个因子的乘积项乘积项, ,而且这而且这n n个变量都以它的原变量或非变量个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现的形式在乘积项中出现, ,且仅出现一次，则称且仅出现一次，则称mm为为该组变量的最小项。该组变量的最小项。例如，例如，A、B、C三个变量的最小项有三个变量的最小项有A B C、A B C、A B C、A B C、A B C、A B C、A B C、A B C共共8个最小项。个最小项。n个变量的最小项应有个变量的最小项应有8个。个。最小项最

41、小项A B C十进制数十进制数 编号编号A B CA B CA B CA B CA B CA B CA B CA B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于1。例如在三变量。例如在三变量A、B、C的最小项中，当的最小项中，当A=1、B=0、C=1时，时，ABC=1。如果把。如果把ABC的取值的取值101看作一个二进制看作一个二进制数，那么它所表示的十进制数就是数，那么它所表示

42、的十进制数就是5。为了今后使用的方。为了今后使用的方便，将便，将ABC这个最小项记作这个最小项记作m5。3个变量有个变量有8个且只有个且只有8个最小项。以下乘积项均不是个最小项。以下乘积项均不是3变变量的最小项：量的最小项：AB、A（B+C）、）、AC、ABCA。最小项的性质：最小项的性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为它的值为1； （2）不同的最小项，使它的值为）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值的那一组变量取值也不同；也不同；（3）任意一组取值，任意两个最小项的乘积为）任意一组取值，任意两个最小项的乘积为0； （4）

43、任意一组取值，全体最小项之和为）任意一组取值，全体最小项之和为1。 （5）两个逻辑相邻的最小项之和可以合并成一项，）两个逻辑相邻的最小项之和可以合并成一项，并消去一对因子。并消去一对因子。逻辑相邻：逻辑相邻：若两个最小项只有一个变量以若两个最小项只有一个变量以原、反区别原、反区别，其他变量均相同，则称这两个其他变量均相同，则称这两个最小项逻辑相邻。最小项逻辑相邻。 逻逻辑辑相相邻邻；与与例例：BCACBA不不是是逻逻辑辑相相邻邻。与与CBACBA2、最大项、最大项A B C+A B C=A（B+B）C=A C 在在n个变量逻辑函数中，若个变量逻辑函数中，若M为为n个变量之和，而个变量之和，而且

44、这且这n个变量均以原变量或反变量的形式在个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现中出现一次，则称一次，则称M为该组变量的最大项。为该组变量的最大项。 例如，三变量例如，三变量A、B、C的最大项有（的最大项有（A+B+C）、）、 （A+B+C）、（）、（A+B+C）、（）、（A+B+C）、）、 （A+B+C）、）、 （A+B+C）、）、 （A+B+C）、）、 （A+B+C）共个。）共个。输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值为输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值为。例如在三变量、的最大项中，当例如在三变量、的最大项中，当0、1、0时，时， （ ）。若将最大项为的取值视为）。若将最大

45、项为的取值视为一个二进制数，并以其对应的十进制数给最大项编号一个二进制数，并以其对应的十进制数给最大项编号 则（则（）可记作）可记作2。最大项最大项 十进制十进制编号编号1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 07654321076543210最大项的主要性质：最大项的主要性质： 在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且只有一个最大项的值为且只有一个最大项的值为0； 全体最大项之积为全体最大项之积为0； 任意两个最大项之和为任意两个最大项之和为1 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相只有一个变量不同的两个最大

46、项的乘积等于各相同变量之和（即可消去不相同的那个变量）。同变量之和（即可消去不相同的那个变量）。3、最小项与最大项的关系：、最小项与最大项的关系：Mi=mi例如：例如：，则，则二、二、逻辑函数的最小项之和形式逻辑函数的最小项之和形式利用基本公式可以把任何一个逻辑函数化利用基本公式可以把任何一个逻辑函数化为最小项之和的标准形式。为最小项之和的标准形式。例如，给定逻辑函数为例如，给定逻辑函数为则可化为：（）则可化为：（）（，（，）三、逻辑函数的最大项之积形式三、逻辑函数的最大项之积形式任何一个逻辑函数都可化成最大项之积的标准形式。任何一个逻辑函数都可化成最大项之积的标准形式。同时，从最小项的性质知

47、同时，从最小项的性质知“全部最小项之和为，全部最小项之和为，故若故若，则，则以外的那些最小项之和必以外的那些最小项之和必为，即为，即 （）故得到故得到 Y=mk（ki）利用反演定理可将上式变换为最大项乘积的形式利用反演定理可将上式变换为最大项乘积的形式ikkIKkMmy这就是说，如果已知逻辑函数这就是说，如果已知逻辑函数Y=mi时，一定能时，一定能将将Y化成编号为化成编号为i以外的那些最大项的乘积。以外的那些最大项的乘积。例如，将例如，将Y=ABC+BC化成最大项之积的标准形式。化成最大项之积的标准形式。 前已求得最小项之和的形式为：前已求得最小项之和的形式为：Y=m（3，6，7）所以由上面的

48、结论直接写出：所以由上面的结论直接写出：Y=M（0，1，2，4，5）=（A+B+C）（）（A+B+C）（A+B+C）（）（A+B+C）（）（A+B+C）1.逻辑函数的变换逻辑函数的变换例如求同或函数的非函数例如求同或函数的非函数BABA)BA)(BA(BAABBAABLl最简逻辑函数的标准最简逻辑函数的标准l一个逻辑函数可以有多种不同的逻辑表达式，一个逻辑函数可以有多种不同的逻辑表达式，如与如与-或式、或或式、或-与式、与非与式、与非-与非式以及与与非式以及与-或或-非非式等。不同形式有不同的标准，但它们很容易式等。不同形式有不同的标准，但它们很容易转换。所以我们主要介绍最简与或式。转换。所以

49、我们主要介绍最简与或式。2.逻辑函数的化简逻辑函数的化简l最简与或式的标准： 1、与项的个数最少； 2、每个乘积项中的因子也最少2.6逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法2.6.1逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法DEFGEFBACEFBDCAABDAADF2 ( (合并项合并项) )（长中含短，留下短）（长中含短，留下短）ADEFGEFBBDCAA ( (长中含反长中含反, ,去掉反去掉反) )吸收吸收消去消去吸收消去吸收消去( (正负相对正负相对, ,余全完余全完) )吸收消去吸收消去（最简与或式）（最简与或式）EFBBDCAF2 DEF:冗余因子冗余因子DEFG:冗余项冗余项3、逻

50、辑函数的代数化简方法、逻辑函数的代数化简方法例例1：例例2：CBBCBAABF )(CBBCBAAB ）（摩根定律摩根定律CBAABCCCBAAB )()(配项配项CBBCAABCCBACBAAB 被吸收被吸收被吸收被吸收CBBBCAAB )(CBCAAB 2.6.2逻辑函数的卡若图化简法逻辑函数的卡若图化简法一一.卡诺图的引出卡诺图的引出 一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个特定的方格图内式中的各最小项相应地填入一个特定的方格图内,此方此方格图称为卡诺图。格图称为卡诺图。 卡诺图是为化简逻辑函数而导出的，又卡诺图

51、是为化简逻辑函数而导出的，又n个变量的逻辑个变量的逻辑函数最多有函数最多有2n个最小项，所以个最小项，所以n个变量的卡诺图亦有个变量的卡诺图亦有2n个个方格。方格。逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法 卡诺图中每一个小方格对应一个最小项。为了图形化卡诺图中每一个小方格对应一个最小项。为了图形化简的需要，卡诺图中小方格的编排是按简的需要，卡诺图中小方格的编排是按逻辑上相邻的最逻辑上相邻的最小项在几何位置上也相邻的小项在几何位置上也相邻的规律（或称循环码）来进行。规律（或称循环码）来进行。从这个意义上说卡诺图是一个上、下、左、右封闭的图从这个意义上说卡诺图是一个上、下、左、右封闭的图形。形

52、。ABCCBACBACBACBAF 逻辑相邻逻辑相邻CBCBACBA 两个逻辑相邻的项可以两个逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子合并，消去一个因子AB0101输入变量输入变量二输入变量卡诺图二输入变量卡诺图 AB AB AB AB逻辑相邻AB01010 12 3三输入变量卡诺图三输入变量卡诺图0100011110 ABC01324576输入变量输入变量0 1 3 2 4 5 7 7 6 12 1 13 3 1 15 5 14 8 9 1 11 1 10 ABCD0001111000011110四变量卡诺图单元格的编号四变量卡诺图单元格的编号: 二二.已知逻辑函数画卡诺图已知逻辑函数画卡诺图AB

53、01010111例例1：二输入变量逻辑函数二输入变量逻辑函数L=AB+AB+AB0100011110 ABC00000111例例2：三输入变量逻辑函数三输入变量逻辑函数L=ABC+ABC+ABC四变量卡诺图四变量卡诺图例例3：四输入变量逻辑函数四输入变量逻辑函数ABCD000111100001110110100 01110 01111000L=m（0，1，2，4，6，8，9，10，14）1.化简的依据化简的依据若卡诺图中两个相邻的方格均为若卡诺图中两个相邻的方格均为1,则这两个相邻最小则这两个相邻最小项可合并项可合并,并消去一个并消去一个(互为相反的互为相反的)变量。如变量。如ABCD+ABC

54、D=ABC（D+D）=ABC2.化简的步逐化简的步逐将逻辑函数化为最小项之和的形式将逻辑函数化为最小项之和的形式按最小项表达式填卡诺图按最小项表达式填卡诺图,凡式中有的最小项凡式中有的最小项,其对应方格中填其对应方格中填1,其余的填其余的填0。合并最小项合并最小项,即将相邻的即将相邻的1方格圈成一组方格圈成一组,每一每一组含组含2n个方格。每个包围圈可写成一个新的乘个方格。每个包围圈可写成一个新的乘积项，且消掉积项，且消掉n个变量。个变量。将所有包围圈对应的乘积项相加，即得化简将所有包围圈对应的乘积项相加，即得化简了的逻辑函数。了的逻辑函数。用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数画包围圈时应

55、遵循以下原则：画包围圈时应遵循以下原则：包围的方格数应为包围的方格数应为2n个，个，n等于等于0，1，2，3。同一方格可以被不同的包围圈重复包围，但新增同一方格可以被不同的包围圈重复包围，但新增包围圈中一定要有新的方格，否则该圈是多余的。包围圈中一定要有新的方格，否则该圈是多余的。圈内方格数要尽可能多，圈数要尽可能的少。圈内方格数要尽可能多，圈数要尽可能的少。独立的独立的1方格，要单独圈起来，不能遗漏任何方格，要单独圈起来，不能遗漏任何一个。一个。 要特别注意卡诺图的闭合性要特别注意卡诺图的闭合性，即记住图中，即记住图中最上最上行和最下行行和最下行、最左列和最右列最左列和最右列及及四个角四个角均是均是相邻相邻的。的。ABC00011110010010001 11BCABCBCAABC 该方框中逻辑函数的取值与变量该方框中逻辑