【高考数学秘籍】导数的实际应用及综合应用

1、第 20 讲 导数的实际应用及综合应用1 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式 + 10(x 6)2,其中 3vxv6, a 为常数已知销售价格X 3为 5 元/千克时，每日可售出该商品11 千克.(1) 求 a 的值；(2) 若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.CD (1)因为当 x= 5 时，y= 11,所以一 + 10(5 6)2= 11,解得 a = 2.5 322(2)由(1)知该商品每日的销售量y=+ 10(x 6) (3vxv6),x 3所以该商场每日销售

2、该商品所获得的利润22f(x)= + 10(x 6) (x 3)x 32=2+10(x3)(x6) (3vxv6),所以 f (x)= 10(x 6)2+ 2(x 3)(x 6)=30(x 4)(x 6).当 x 变化时，f(x), f (x)的变化情况如下表x(3,4)4(4,6)f (x)+0一f(x)单调递增极大值 42单调递减由上表可得，x= 4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当 x= 4 时，f(X)max= 42.答：当销售价格定为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.2请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60 cm

3、的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 是 AB 上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE = FB = x(cm).(1) 若广告商要包装盒侧面积S(cm )最大，试问 x 应取何值？(2) 若广告商要包装盒容积V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.2=8(x 15)2+ 1800(0 x30).画(1)根据题意，有.22S= 4 2x -(60 2x) = 240 x 8x所以 x= 15 时包装盒侧面积 S 最大.根据题意，

4、有V= ( 2x)2#(60 - 2x)= 2 _ 2X2(30 - x)(0 x30). 所以 V = 6,2x(20 - x).当 0 x0, V 单调递增；当 20 x30 时，V 0，则由 f (x)= 0 得 x= In a.当 x q -m,In a)时，f (x)0.故 f(x)在(-m,in a)上单调递减，在(In a, +m)上单调递增.若 a0，则由 f (x)= 0 得 x= ln(-.ra当 xq-m,I n(-2)时，f(x)0.aa故 f(x)在(-m,i n( - 2)上单调递减，在(I n( - 2),+m)上单调递增.若 a= 0,则 f(x)= e“，所以

5、 f(x)0.若 a0，则由得，当 x = In a 时，f(x)取得最小值，最小值为f(In a) = -a2In a,从而当且仅当一 a2In a0，即 a 0.若 a0, 即 a 2e4 时，f(x) 0.综上，a 的取值范围是2e3, 1.4此时，包装盒的高与底面边长的比值为*60-2xi,2x=221 e4.(2016 四川卷)设函数 f(x)= ax a In x, g(x)=-，其中 a R R, e= 2.718 为自x e然对数的底数.(1)讨论 f(x)的单调性；证明：当 x1 时，g(x)0;确定 a 的所有可能取值，使得f(x)g(x)在区间(1 ,+ )内恒成立.1

6、2ax? -1(1)由题意得 f (x)= 2ax -=-(x 0).x 当 aw0 时，f (x)v0, f(x)在(0,+s)内单调递减.1当 a0 时，由 f (x)= 0 有 x= ,V2a1当 xq0 , - )时，f (x)v0, f(x)单调递减；V2a当xq2a ,+s)时，f (x) 0, f(x)单调递增.(2)证明：令 s(x) = ex1 x,贝 U s (x) = ex1 1.当 x 1 时，s (x)0,所以 ex1x,1从而 g(x)= -由知，当 x 1 时，g(x)0.当 aw0, x 1 时，f(x)= a(x2 1) In xv0.故当 f(x) g(x)在区间(1, +m)内恒成立时，必有 a 0.1 1当0vav1 时，.习匸所以此时 f(x) g(x)在区间(1,+s)内不恒成立.1当 a 勺勺时，令 h(x)= f(x) g(x)(x 1).442、， “，111x111 X 2x+1X 2x+1当 x 1 时，h (x) = 2ax-+2 ex-+2-=2-2-0.x xx x x xx因此，h(x