上海市虹口区高考数学一模试卷及解析

1、上海市虹口区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1._（ 4 分）函数 f （x） =lg（ 2-x）定义域为_.2. （4 分）已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，则 f （- 1） +f（ 0） +f（ 1） = .3 . （4 分）首项和公比均为一的等比数列an，S 是它的前 n 项和，贝 Ulim S =_ .4. （4 分）在厶 ABC 中，/ A，ZB，ZC 所对的边分别是 a，b，c,如果a：b:c=2: 3: 4，那么 cosC=_.5._（4分）已知复数 z=a+bi （a，b R）满足|z|=1,

2、则 a?b 的范围是_.6. （4 分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 _ .7 . （5 分）已知M、N 是三棱锥 P- ABC 的棱 AB、PC 的中点，记三棱锥 P-ABC的体积为乂，三棱锥 N-MBC 的体积为 V2,则丁等于_.2n8. （5 分）在平面直角坐标系中，双曲线七的一个顶点与抛物线 y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为 _.9. （5 分）已知 y=sinx 和 y=cosx 的图象的连续的三个交点 A、B、C

3、构成三角形 ABC，则厶 ABC 的面积等于_ .2 210 . （5 分）设椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2,过焦点 F1的直线交椭圆于 M、N 两点，若 MNF2的内切圆的面积为n贝吒匹仙巧=_.11 . （5 分）在厶 ABC 中，D 是 BC 的中点，点列 Pn（n N*）在线段 AC 上，且满足-!L1 ! -.I，若a1=1，则数列an的通项公式 an=_ .12 . （5 分）设 f （x） =x2+2a?x+b?2x，其中 a，b N，x R，如果函数 y=f （x）与函数 y=f （f （x）都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为_ .选择题（本大题共 4 题，每题

4、5 分，共 20 分）13.（5 分）异面直线 a 和 b 所成的角为9,贝U B的范围是（）A.（0,今）B.（0, n）C. 0,D.（0, n14. （5 分）命题：若 x2=1，则 x=1”的逆否命题为（）A.若XM1,则XM1 或XM-1 B.若 x=1，则 x=1 或 x=- 1C.若XM1,则XM1 且XM-1 D.若 x=1，则 x=1 且 x=- 115.（5 分）已知函数 F 仗）尸心,则 f （1）+f （2） +f （3） *+f （2017）x0=（ ）A. 2017 B. 1513CD.=-16. （5 分）已知 RtAABC 中，/ A=90, AB=4, AC=

5、6,在三角形所在的平面内有两个动点M和 N,满足 *则口 的取值范围是（）A.顼，何B. 4, 6C. 2 徧 驱D.詡 6 齐 12 在 J0)，动圆 M 过 点 F 且与直线 I 相切，记圆心 M 的轨迹为曲线 C,在曲线 C 上任取一点 A,过 A 作 I 的垂线，垂足为 E.(1) 求曲线 C 的轨迹方程；(2) 记点 A 到直线 I 的距离为 d，且二忖丄，求/ EAF 的取值范围；43(3) 判断/ EAF 的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由.1Af (x)n)+cos(2KK)，其中 xC R,30,F21.(18 分)已知无穷数列an的各项均为正数，其前 n 项和为

6、 Sn, ai=4.(1)如果比=2,且对于一切正整数 n,均有也二毒 1，求& ；(2) 如果对于一切正整数 n,均有 an?an+i=S,求 Sn；(3) 如果对于一切正整数 n,均有 an+an+i=3S,证明：a3n-1能被 8 整除.2018 年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题(本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分)1. (4 分)函数 f (x) =lg (2 -x)定义域为(-, 2).【解答】解：要使函数有意义，可得 2- x0,即 xv2 .函数 f(x)=lg(2-x)定义域为：(-X，2).故答案为

7、：(-X，2).2 . (4 分)已知 f (x)是定义在 R 上的奇函数，则 f ( - 1) +f (0) +f (1) = 0 【解答】解：f (x)是定义在 R 上的奇函数， f (-1)=-f(1)，f(0)=0，即 f (- 1) +f (0) +f (1) =0，故答案为：0.3.(4 分)首项和公比均为寺的等比数列an，S 是它的前 n 项和，则HDSn= 1 .【解答】解：根据题意，等比数列an的首项和公比均为 T-,则其前 n 项和 Sn=r=1-(石)n，1 L2则 lim S =1;故答案为：1.4.(4 分)在厶 ABC 中，/ A，ZB，ZC 所对的边分别是 a，b

8、，c,如果 a：b： c=2:3:4，那么 cosC.【解答】解：因为 a： b： c=2： 3： 4,所以设 a=2k，b=3k, c=4k，故答案为:5. （4 分）已知复数 z=a+bi （a, b R）满足| z| =1,则 a?b 的范围是_亠，丄【解答】解： z=aHbi (a, b R),且|z|=1.,即 a2+b2=1,令 a=cos Q b=sin Q6.（4 分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三 门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地 理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 18 .【解答】解：根据题意，

9、要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，分 2 种情况讨论：1、从物理、化学、生物这三门中选 1 门，政治、历史、地理这三门选 2 门，有C31C32=9 种选法，2、从物理、化学、生物这三门中选 2 门，政治、历史、地理这三门选 1 门，有C31C32=9 种选法，则一共有 9+9=18 种选法；故答案为：18则根据余弦定理得:=:-1 -.42ab 12k22贝 U ab=cosQ ?sincosCT-e , ab故答案为:7.（5 分）已知M、N 是三棱锥 P- ABC 的棱 AB、PC 的中点，记三棱锥 P-ABC的体积为 V1,三棱锥 N-MB

10、C 的体积为 V2,则子等于斗一.【解答】解：如图,设三棱锥 P-ABC 的底面积为 S,高为 h, M 是 AB 的中点，伍眈号,8.（5 分）在平面直角坐标系中，双曲线勺-异二 1的一个顶点与抛物线 y2=12x a的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为尸兰.【解答】解：根据题意，抛物线 y2=12x 的焦点为（3, 0）,若双曲线|-y=l 的一个顶点与抛物线 y2=12x 的焦点重合，a则双曲线的顶点坐标为（土 3, 0）,则有 a2=9,则双曲线的方程为： 才-y2=1,双曲线的焦点在 x 轴上，则其渐近线方程为I 丄故答案为：尸士专9.(5 分)已知 y=sinx 和 y=cos

11、x 的图象的连续的三个交点 A、B、C 构成三角形 ABC,则厶 ABC 的面积等于/刃_.【解答】解：由题意正余弦函数的图象可得：y=sinx 和 y=cosx 的图象的连续的三 个交点 A、B、C 构成三角形 ABC 是等腰三角形，底边长为一个周期 T=2n高为血， ABC 的面积心八：=：,故答案为：庾开.2 2 110. (5 分)设椭圆 亠 -：-亠的左、右焦点分别为 Fi、F2,过焦点 Fi的直线交椭* O圆于M、N 两点，若 MNF2的内切圆的面积为n贝%仙丁广 4 .【解答】解：椭圆彳+*；的左右焦点分别为 Fi, F2, a=2,过焦点 Fi的直线交椭圆于 M (xi, yi

12、), N (X2, y2)两点， MNF2的内切圆的面积为n MNF2内切圆半径 r=1. MNF2面积 S 丄X1X(MN+MF2+MF2)=2a=4,故答案为：4M11. (5 分)在厶 ABC 中，D 是 BC 的中点，点列 Pn(n N*)在线段 AC 上，且满 足丨，若 ai=1，则数列an的通项公式 an=_ | 1_.【解答】解：如图所示，TD 是 BC 的中点，_+I SF-*甲又 =i，一J+宀，12. (5 分)设 f (x) =x2+2a?x+b?2x,其中 a, b N, x R,如果函数 y=f (x)与 函数 y=f (f (x)都有零点且它们的零点完全相同，则(a

13、, b)为 (0, 0)或 (1, 0).即 x2+2a?x+b?2x=0 的 1 个根为 x=0,分析可得 b=0,则 f (x) =x2+2a?x,解可得 X1=0 或 x2= 2a,务+|PJ+an(比我右E化为：_ 止=(1 - an- an+1)丄一.,1TL2 IL点列 Pn(n N*)在线段 AC 上, 1 an an+1+2Qan+1= 化为:=*1,又 ai=1,则数列an是等比数列，首项为 1,公比为-丄2、n-1n-1an=2f(f(x)=(x2+2a?x)2+2a(x2+2a?x),若函数 y=f (x)与函数 y=f (f (x)的零点完全相同,分析可得 a=0 或

14、a=1,则(a, b)为(0, 0)或(1, 0);故答案为(0, 0)或(1, 0).故选：C.14. （5 分）命题：若 x2=1，则 x=1”的逆否命题为（）A.若XM1,则XM1 或XM-1 B.若 x=1，则 x=1 或 x=- 1C.若XM1,则XM1 且XM-1 D.若 x=1，则 x=1 且 x=- 1 【解答】解：命题：若 x2=1，则 x=1”的逆否命题为若 xM1，则 x2M1” ；即若 xM1,贝 U xM1 且 xM-1”.故选：C.15(5分)已知函数巩叫心):亠，则f(1)+f(2)+f(3) +-+f(2017)=( )A. 2017B. 1513【解答】解：函

15、数xQ.选择题（本大题共4 题，每题 5 分，共 20 分）13.（5【解答】解：异面直线 a 和 b 所成的角为-9的范围是（0,.D. f (1) +f (2) +f (3) +-+f (2017)2=1009Xf(-1)+1008Xf(0)=1009X2-1+1008X20=；!故选：D.16. (5 分)已知 RtAABC 中，/ A=90, AB=4, AC=6,在三角形所在的平面内有 两个动点M和 N,满足而|二乩而二視，贝 U |环|的取值范围是()A.顼，两B. 4, 6C.也晶” W2 D. y-763-l 22 *“隐+12 也【解答】解：以 AB, AC 为坐标轴建立坐标

16、系，则 B (4, 0), C (0, 6),|=2,二 M 的轨迹是以 A 为圆心，以 2 为半径的圆.v M ：,：,二 N 是 MC 的中点.设 M(2cosa2sina,则 N(cosasina3),IBU=(cosa-4,sin +3),| BN|2=(cos4)2+(sin +3)2=6sin-8cosa26=10sin( a- )+26,当 sin(a-) =- 1 时，|IV|取得最小值 丨：7：=4,当 sin ( a- ) =1 时，|面|取得最大值 U10+2 6 =6.故选 B.当疋0.今三解答题(本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分)17. (

17、14 分)如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA=AC=PC=AB=aPAAB, AC 丄 AB, M 为AC 的中点.(1) 求证：PM 丄平面 ABC;(2) 求直线 PB 和平面 ABC 所成的角的大小.【解答】证明：（1）在三棱锥 P- ABC 中，PA=AC=PC=AB=aPA!AB, AC 丄 AB, M 为 AC 的中点. PM 丄 AC, AB 丄平面 PAC PM 丄 AB, ABAAC=A 二 PM 丄平面 ABC.解：（2）连结 BM, PM 丄平面 ABC, / PBM 是直线 PB 和平面 ABC 所成的角,PA=AC=PC=AB=aPA!AB, AC 丄 AB, M

18、为 AC 的中点， tan/PBM 二直线 PB 和平面 ABC 所成的角为 arctan.TT18. (14分)已知函数 f Cx)-VcosK)+COS(2K),其中 x R, w0,且此函数的最小正周期等于n(1) 求的值，并写出此函数的单调递增区间；(2)求此函数在忙 0,的最大值和最小值.(1)v函数的最小正周期等于n即半二兀w-3 =2可得 f (x) =2sin (2x*),rh兀 /C 兀 /TT| 匚-y由 2kT 2xwF 肚兀，k Z得：w x 1);Cx-1汁当 x(1，2)时，Sv0，当 x(2，+x)时，S0，故 x=2 时，Smin=4.20.(16 分)已知平面

19、内的定点 F 到定直线 I 的距离等于 p (p 0)，动圆M过 点 F 且与直线 I 相切，记圆心 M 的轨迹为曲线 C,在曲线 C 上任取一点 A,过 A 作 I 的垂线，垂.当 2x 斗时，函数 f (x)取得最大值为6 2当 2x二空时，函数 f (x)取得最小值为-时，函数 f (x)取得最大值为2.当2x十丄【解答】解：(1)设 AQ=x, 岫誥晋岛得：能得:（2x， ） 即 AP足为 E.(1) 求曲线 C 的轨迹方程；(2) 记点 A 到直线 I 的距离为 d，且 ：!:，求/ EAF 的取值范围；1.(3)判断/ EAF 的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由.1.4

20、F【解答】解：(1)如图，以 FK 的中点为坐标原点 0,FK 所在的直线为 x 轴，过 0 的垂线为 y 轴建立直角坐标系，即有 F (号，0)，直线 I: x=-萝，动圆 M 过点 F 且与直线 I 相切，可得 | AE =| AF|，由抛物线的定义可得曲线 C 的轨迹为 F 为焦点、直线 I 为准线的抛物线,可得方程为 y2=2px；(2)点 A 到直线 I 的距离为 d,可得|AE=|AF|=d,设 A (xo，yo)，可得 yo2=2pxo，即有 d=xo-，贝Uxo=d_号，即有| EF|2=p2+yo2=p2+2p (d_号)=2pd，在厶 EAF 中,则/EAF的取值范围是沁0

21、等_m：_ :丄(3)ZEAF 的平分线所在的直线与曲线的交点个数为设 A (xo, yo),可得 yo2=2pxo,当 A 与 0 重合时，显然一个交点；当 A 不与 0 重合，由/ EAF 的平分线交 x 轴于 M，连接 EM,可得/ AMF=/ MAF,lAE |2+ | AF 12-lEF I2cos/ EAF=OffiNATlEA略可得 arcc 吒吨近,可得-丄wcos/31 /X，即有 I MF| =| AF| =d,四边形 AEMF 为菱形，EF 垂直平分 AM,可得/ AMF+ZEFM=90, tanZAMF=cotZ|EK| |yor可设 yo 0,则直线 AM 的方程为

22、y- yoJ(x- xo),贝Uyoy- yo2=px- pxo,化为 yoy=px+pxo,代入抛物线的方程 y2=2px,消去 x 可得，y2- 2yoy+2pxo=O,即为(y- yo)2=0,可得 y=yo, x=xo,即ZEAF 的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1.21.(18 分)已知无穷数列an的各项均为正数，其前 n 项和为 S, ai=4.(1) 如果 a2=2,且对于一切正整数 n,均有务品二且求$;(2) 如果对于一切正整数 n,均有 an?an+1=S,求 Sn；(3) 如果对于一切正整数 n,均有 an+an+1=3S,证明：a3n-1能被 8 整除.【解答】解：(1)v无穷数列an的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn, a1=4.&=2,且对于一切正整数 n,均有 务曰沽 g 二且二 1，当 n=1 时,卜】=4,成立.假设 n=k 时，成立，即二.：,由得务二 2 %11 an是首项为 4,公比