2019届湖南师大附中高三上学期月考(四)试卷数学理(解析版)

1、页1第湖南师大附中2019届高三月考试卷（四）数学（理科）时量：120 分钟满分：150 分一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知集合 A = x R R|x2-x - 2V0 , B= x Z Z|x= 2t+ 1, t A,则 AnB= （C）A . - 1, 0, 1 B . - 1, 0 C . 0 , 1 D . 02【解析】A = x|x - x - 2v0 =x| - 1vxv2,则 x = 2t + 1 - 1, 5),所以 B = 0 , 1 , 2, 3, 4,所以 A CB = 0 , 1,

2、故选 C.2.已知复数 z=J,给出下列四个结论：|z|= 2 :z2= 2i :z 的共轭复数 z=- 1 + i :z 的虚1 - i部为 i.其中正确结论的个数是（B）A . 0 B. 1 C . 2 D. 3【解析】由已知 z= 1 + i,则|z|= 2, z2= 2i, z= 1-i, z 的虚部为 1所以仅结论正确，故选 B.3.若向量 a a 与 b b 满足（a a + b b）丄 a a,且|a a|= 1,|b b|= 2,贝 U 向量 a a 在 b b 方向上的投影为（B）【解析】利用向量垂直的充要条件有：（a a + b b） a a = a a2+ a a b b

3、= 0,-ab b=- 1,向量 a a 在 b b 方向上的投影A. 3 B.-2 C.- 1 D.页2第a a b b|b b广12.页3第（结対4.五进制是以 5 为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指中国古代的五行学说也是采用的五进制，0 代表土，1 代表水，2 代表火，3 代表木，4 代表金，依此类推，5 又属土，6 属水，,减去 5 即得如图，这是一个把 k 进制数 a（共有 N 位）化为十进制数 b 的程序框图，执行该程序框图，若输入的 k, a, n 分别为 5, 1 203, 4,则输出的 b= （A）A . 178 B. 386C. 890 D . 14 303【解析】

4、 模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出b = 3 5+ 0 51+ 2 52+ 1 53= 178.故选 A.523455.若(1 x) = a0+ a1x + a2X+ a3x + a4x + a5x ,则|ai|+戲|+ |如一&|= (A)A . 0 B. 1C. 32 D. 1【解析】由二项展开式的通项公式Tr+1= C5(x)r= C5(1)rxr,可知 a1,a3, as都小于 0,则&|一旧卄+一 |a3| + |a4| |a5= a0+ a1+ a2+ a3+ a4+ a5,在原二项展开式中令 x= 1,可得比+ a1+ a2+ a3+ 色+ a5=

5、 0.故选 A.p2x y 0,6.若实数 x, y 满足 y x,且 z= 2x + y 的最小值为 3,则实数 b 的值为(C)y x + b,A. 1 B. 2页4第【解析】画出可行域如图阴影部分所示y=_ x +b,b 2bb 2b当目标函数 z = 2x + y 过点 B 时取得最小值，由得 B b 7?，则 2X舟+晋=3,解得 b|2x - y= 0I33，3 39=4.故选 C.7.气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续 5 天的日平均温度均不低于 22C”.现有甲、乙、丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）:甲地： 5 个数据的中位数为 24,众数为

6、 22;乙地： 5 个数据的中位数为 27,总体均值为 24;丙地： 5 个数据中有一个数据是32,总体均值为 26,总体方差为 i0.8.则肯定进入夏季的地区有（B）A .B .C.D .【解析】由统计知识，甲地：5 个数据的中位数为 24 ,众数为 22,可知符合题意；乙地：5个数据的中位数为 27，总体均值为 24,有可能某一天的气温低于22C,所以不符合题意；丙地：5 个数据中有一个数据是32，总体均值为 26,总体方差为 10.8若某一天的气温低于22C,则总体方差就大 于10.8,所以满足题意，故选 B.& 平面a过正方体 ABCD AiBiCiDi的顶点 A ,平面a/平

7、面 AiBD ,平面a门平面 ABCD = I,则直线 I 与直线 AiCi所成的角为（D）页5第C页6第A. 30 B. 45 C. 60 D. 90【解析】如图所示,平面a过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A ,平面a/平面 A1BD ,平面aQ平面ABCD = 1 = AF ,平面 AiBD 门平面 ABCD = BD ,BD /AF ,又 TAiCiAC ,则直线 l 与直线 AiCi所成的角即为直线 BD 与直线 AC 所成的角，为 90.故选 D.9.对于数列an,定义 Hn=a1+2比+；+2 an为an的“优值”，现已知某数列的“优值”S2 0192n，记数列an的前

8、 n 项和为 Sn,则 2019 = (B)A . 2 022 B . 1 011 C. 2 020 D . 1 010【解析】由 Hn=a1+ 2+2 an= 2n,得 a1+ 2a2+ +21an= n 2“,n 2n 1a1+ 2a2+ + 2an1= (n 1) 2,1an= n 2n (n 1)2n1= (n + 1) 2n1,即 an=n+1,Sn= “ 竽3),sin B = 2,贝 U a+ c 的取值范围是(B)cos B+ ,3sin B = 2 |cos B+sin B = 2sinn nnbB+6= 2，B= 3，洁=1,Hn=一得 2n-S2 019所以贡=1011.

9、故选 B.10.在锐角ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, cosB .cos Cin Ab, c,右+3sin C，cos B+3A.B.3,3C.于 3 D. J,3【解cos B cos C 2 ;3sin A 丁+= =3sin C 可得:ccos B+ bcos C sin Ccos B + sin Bcos C sin ( B + C)bcbsin Cbsin C2；3sinA3sin C ，n I：B+6 =2，页7第2nA+C 盲,页8第2n nn n n0C=亍A2，0A2，6A 2，2n33A=劳 in A+ycos A=3sin n n n2n6A 2，2A

10、 + 6亍，3 一 3sin故答案选 B.log2(2x),0 3x2 6x = 0,解得 x= 0 或 x = 2,当 x = 2 时，函数取得极小值一 1,当 x3 3x2+ 3= 1 时，解得 X1= 1, X2= 1 + .3, X3= 1 -3v0(舍),所以 2waw1+ 3,故选 B.sin A+6，a+ c= sin A + sin C = sin A + sin 13页9第12.设 A , B 是抛物线 y= x2上的两点，0 是坐标原点，若 OA 丄 OB,则以下结论恒成立的结论个数为(C)|OA| |OB| 2;直线 AB 过定点(1 , 0):O 到直线 AB 的距离不

11、大于 1.A . 0 B. 1 C. 2 D. 3、2 21【解析】 设 A(x1, x1) , B(X2, x2) ,= X1X2(1 + X1X2)= 0X2= , |OA| -|OB| =2 215.已知双曲线字一*=1(a0, b0),过 x 轴上点 P 的直线与双曲线的右支交于M, N 两点(M 在第一象限),直线 MO 交双曲线左支于点 Q(O 为坐标原点)，连接 QN.若/ MPO = 120 , / MNQ = 150 ,则该双曲线的渐近线方程为y = x.【解析】由题意可知：b2M , Q 关于原点对称，-kMN*kQN=2,akMN=计 3 ,kQN= 3 ，b22= 1,

12、渐近线方程为 y = ca16.某几何体的三视图如图所示，正视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为 3 2AB 的斜率=X2+ X1=X1方程为 yx2= X1 X1(x X1),过定点(0, 1),错误；原点到直线0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为则3=Tn2n【解析】由T=7,T = 得3=1.2 22314.已知函数 f(x)=(x+1(1wx0),#1-X2(0 2,正确；直线X1X2 X1AB :y +1= 0 的-1+1页10第的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36n,则该几何体的体积为_9_.页11第俯视图【解析】根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由

13、该几何体的外接球的体积为TtR3= 36n,R = 3,则球心 0 到底面等边 ABC 的中心 O的距离|OO|= 棱锥的高 h= 2|OO|= 2 , 3,故三棱锥的体积 V =143X（3 . 2）2X2 3= 9.34三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.（本小题满分 12 分）已知等比数列a*的前 n 项和为 Sn,满足 S4= 2a4 2, S3= 2a3 2.（I）求an的通项公式；b177 2n（n）记 bn= Iog2（an-1 an）,数列严1的勺前 n

14、 项和为 Tn,求使 Tn :-成立的正整数 n 的最小值.an60【解析】（I设an的公比为 q,由 S4 S3= a4得，2a4 2a3= a4,所以a= 2,a3正视图侧视图4一31兀1721 题为必考题，每个试=.3,可得三页12第所以 q= 2.2 分页13第又因为 Ss= 2a3 2,所以 ai+ 2a+ 4a= 8a一 2,所以 a= 2.所以 an= 2n.5 分ibn2n 一 1（D）由（J知 bn= log2（an-1an）= log2（2-x2n）= 2n 1,所以二=,6 分an22n+ 3所以 Tn= 3 2n, 10 分2n+ 3 177 2n 2n+ 3177 2

15、n 2n+ 3由Tn=32n60，得2n|=- - , 所以 a= 3.10 分V+ 3+ a2由于 PD 丄平面 ABCD ,所以 PB 在平面 ABCD 内的射影为 BD ,所以ZPBD 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角，PD易知在 RtBD 中，tanZPBD =而=a= .3,从而ZPBD = 60所以直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 6012 分19.（本小题满分 12 分）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表:阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围（单位：立方米）

16、0, 10)10, 15)15 ,)从本市随机抽取了 10 户家庭，统计了同一月份的月用水量 ，得到如图茎叶图：（I）现要在这 10 户家庭中任意选取 3 户，求取到第二阶梯水量的户数 X 的分布列与数学期望；（H）用抽到的 10 户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取 10 户，若抽到 k 户月用水量为一阶的可能性最大 ，求 k 的值.【解析】（1）由茎叶图可知抽取的 10 户中用水量为一阶的有 3 户，二阶的有 5 户，三阶的有 2 户.第二阶段水量的户数 X 的可能取值为 0, 1, 2, 3,P(x=0)=CCf=W，_512,P(X = 2)=C：0_512,页18

17、第C5C5P(X = 1) = 5 =C10所以 X 的分布列为页19第X0123P15511212121215513X 的数学期望 E(X) = OX12+ ix12+ 2X12+ 3X = -6分(2)设 Y 为从全市抽取的 10 户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得 YB 10,3,即从全市依次随机抽取10 户，抽到 3 户月用水量为一阶的可能性最大.12 分20.(本小题满分 12 分)2已知点 F 是椭圆 丄 y2= 1(a0)的右焦点，点 M(m , 0), N(0 , n)分别是 x 轴，y1 + a轴上的动点，且满足=0若点 P 满足=2 + (O 为坐标原点).(I)求点 P

18、 的轨迹 C 的方程；(H)设过点 F 任作一直线与点 P 的轨迹交于 A , B 两点，直线 OA, OB 与直线 x= a 分别交于点 S, T,试判断以线段 ST 为直径的圆是否经过点F?请说明理由.2Xo【解析】(IT椭圆-2+ y2= 1(a0)右焦点 F 的坐标为(a, 0), 1 分1+ a=(a, n) .=( m, n),n由=0,得 n + am= 0. 3 分设点 P 的坐标为(x, y),由=2+ ,有(m, 0) = 2(0, n) + ( x, y),即点 P 的轨迹 C 的方程为 y2= 4ax.5 分(D)解法一：设直线 AB 的方程为x= ty + a, A，

19、10), 9 分oqqq*由解得 10w廉和，又 k 取，所以当 k = 3 时概率最大.代入 n2+ am= 0, 得 y2= 4ax.kP(X = k) = C103,m= x,页20第页21第4a4a则 1OA: y = x, IOB：y = x. 6分 yiy24ay= y-x,由yi得 S - a,Ivx = a,x=ty +a,222由得 y 4aty 4a = 0, -yiy2= 4a .10 分y = 4ax,因此，以线段 ST 为直径的圆经过点F.12 分AB 时，A(a , 2a), B(a , 2a),贝 U IOA: y= 2x, IOB: y= 2x.y= 2x,由得

20、点 S 的坐标为 S( a, 2a),则=(2a, 2a).x = a,y= 2x,由得点 T 的坐标为 T( a, 2a),则=(2a, 2a).x = a, = ( 2a)x( 2a)+ ( 2a)x2a= 0. 7 分 当 AB 不垂直 x 轴时，设直线 AB 的方程为 y= k(x a)(k 和),A 4, y1,同解法一 ，得=4a2+16a.8 分y1y2y=k(xa),222由i得 ky 4ay 4ka = 0, -y1y2= 4a .9 分y2= 4ax,164则=4a? +O-= 4a? 4a? = 0. 11 分(4a)因此，以线段 ST 为直径的圆经过点 F. 12 分2

21、1.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) = a(x 1), g(x) = (ax 1)ex, a R R.4a2yi,4a2y2,4a2yi，同理得 T a,则=4a2+16a4(4a2)2 2=4a 4a = 0.解法二：当页22第(I)若直线 y= f(x)与曲线 y = g(x)相切于点 P(xo, yo),证明：0 xog(x)有且仅有两个整数解，求 a 的取值范围.【解析】(Jg (x)(ax+ a 1)ex,由导数的几何意义可知，(axo+ a 1)exo= a,1 分(axo 1) exo又直线 y= f(x)的图象过定点(1, 0),因此=a,xo 1即(axo 1)e

22、xo= a(xo 1),2 分联立消去 a 有 exo+ xo 2 = o.3 分设$ (x= ex+ x 2,贝 U =)ex+ 1o ,所以$ (x 在 R R 上单调递增.而0(o= 1o, $(o)$(1)o由函数零点存在性定理知oxog(x)得 ax 1,IeJXx 1x 2 e + x 2令 h(x) = x h,则 h (=1 +=孑，6 分由(J知$ (x= ex+ x 2 在 R R 上单调递增，且 xq8,xo)时，$(xo)o,故 h(x)在(8,xo)上单调递减，在(xo, +8上单调递增.xo 1 xoexo Xo+ 1h(X)min=h(Xo)= xo= ex .e

23、xoexo2xoexo Xo+ 1 xo+ 1易证ex+ 1, -h(Xo)= o, 8 分exoexo当 xw0 时，h(x) h(0) = 10 ;当 x 1 时，h(x) h(1)= 1.(1)若 a 0,贝Uah(x)w01 ,页23第此时 ah(x)1,即 fw1,因为 h(x)在(8,o上单调递减，在1, +8)上单调递增，页24第i所以 h(x)-无整数解，不合题意；10 分a1 11 1若 0a1,此时 h(0) = h(1) = 1，故 0, 1 是 h(x)的两个整数解，又 h(x)a，数解，因此1h (2) a，(二)选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答22.(本小题满分 10 分)选修 4 4:坐标系与参数方程x=a+acos6 ,在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 G: 0),曲线 C2:y=as in6x=bcos6 ,i(6为参数,实数 b 0).在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l:0=y=b+bsin6a p0,0 a 0),y=asin6化为普通方程为(x a)