正态分布17248

1、 正态分布是应用最正态分布是应用最广泛的一种连续型分布广泛的一种连续型分布. 正态分布在十九世纪前叶由正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高高斯加以推广，所以通常称为高斯分布斯分布. .德莫佛德莫佛 德莫佛最早发现了二项概德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式率的一个近似公式，这一公式被认为是被认为是正态分布的首次露面正态分布的首次露面.正态分布的定义是什么呢？正态分布的定义是什么呢？对于连续型随机变量，一般是给出对于连续型随机变量，一般是给出它的它的概率密度函数概率密度函数。 一、正态分布的定义一、正态分布的定义 若若r.v X的的概率密度为概率密度为),(2NX记作

2、记作 )(,21)(222)( xexfx 其中其中 和和 都是常数，都是常数， 任意，任意， 0，则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布. 22f (x)所确定的曲线叫作所确定的曲线叫作正态曲线正态曲线.正态分布有些什么性质呢？正态分布有些什么性质呢？ 由于连续型随机变量唯一地由它由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看看正态的密度函数所描述，我们来看看正态分布的密度函数有什么特点。分布的密度函数有什么特点。 正态分布正态分布请看演示请看演示 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯唯一确定，一确定， 当当和和不同时，是不同的正不同时，是不同的正态

3、分布。态分布。标准正态分布标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布（一）标准正态分布的概率计算（一）标准正态分布的概率计算1, 0的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布. .xexx,21)(22记作：记作：)1 , 0( NX其概率密度为：其概率密度为：)(x 其图像是关于其图像是关于y轴轴对称的钟罩形曲线，对称的钟罩形曲线，（如右所示）（如右所示）特点是特点是“两头小，中间大，关于两头小，中间大，关于y y 轴对称轴对称”. . 书末附有标准正态分布函数数值表（见书末附有标准正态分布函数数值表（见附表三）。附表三）。xxdtexXPxxt

4、2221)()( 表中给的是表中给的是x 0时时, (x)的值的值.)99. 40( x当当-x0时时)( x )(xXP )(xXP )(1xXP )(1x )99. 40( x0)(,5; 1)(,5 xxxx时时当当时时当当当当-x0), 分别代入分别代入f (x), 可可得得f (+ +c)=f (- -c)且且 f (+ +c) f (), f (- -c)f ()或或这说明曲线这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越向左右伸展时，越来越贴近贴近x轴。即轴。即f (x)以以x轴为渐近线。轴为渐近线。 xexfx,)()(22221 当当x 时，时，f(x) 0, ,用求导的方法可以证

5、明，用求导的方法可以证明，xexfx,)()(22221 为为f (x)的两个拐点的横坐标。的两个拐点的横坐标。x = 下面是我们用某大学男大学生的身高下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。的数据画出的频率直方图。红线红线是拟是拟合的正态合的正态密度曲线密度曲线可见，某大学男大学生的身高可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。应服从正态分布。人的身高高低不等，但中等身材的占大人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的

6、特面反映了服从正态分布的随机变量的特点。点。 除了我们在前面提过的身高外除了我们在前面提过的身高外, ,在正常在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声；学生的成的水平或垂直偏差；信号噪声；学生的成绩等等，都服从或近似服从正态分布绩等等，都服从或近似服从正态分布. .xexfx,)()(22221 服从正态分布服从正态分布 的随机变量的随机变量X的的概率密度是概率密度是),(2NX的分布函数

7、的分布函数P(Xx)是怎样的呢？是怎样的呢？ 设设X ,),(2NX的分布函数是的分布函数是xdtexFxt,)()(22221 设设X ,),(2NX的分布函数是的分布函数是)(,21)()(222)( xdtexXPxFxt 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯唯一确定，一确定， 当当和和不同时，是不同的正不同时，是不同的正态分布。态分布。 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N正态分布正态分布请看演示请看演示它的依据是下面的定理：它的依据是下面的定理： 标准正态分

8、布的重要性在于，标准正态分布的重要性在于，任何一个任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布标准正态分布. . 根据定理根据定理1,1,只要将一般正态分布的分布只要将一般正态分布的分布函数转化成标准正态分布，然后查表就可解函数转化成标准正态分布，然后查表就可解决一般正态分布的概率计算问题决一般正态分布的概率计算问题. .),(2NXXY, ,则则 N(0,1) 设设定理定理1)1 , 0(),(2NYNX 设设其概率密度分别为：其概率密度分别为：)(),(0yx 分布函数分别为：分布函数分别为：)(),(0yx 222)(21)( xex2

9、)(21211 xe)(10 x)(10y 则则(1) xxdttdttx)(1)()()2(0 xxdttdttx)(1)()()2(0 tydyyx )(0)(0 x),(2NXXY, ,则则 N(0,1) 即设即设),(2NX若若XYN(0,1) 因此有：因此有： YXaYaX aY)()( aYPaXP)(0 a)(bYaP)(bXaP )()(00 abbYabXa bYa bYa例例2).23(),3(),2(),4 , 3( XPXPXPNX求求若若解：解：)2(XP)232(0 )1 , 0(23)4 , 3(NXYNX )5 . 0(10 )5 . 0(0 3085. 069

10、15. 01 )233()233(00 )33()3(XPXP )3()0(00 )3(1 )0(00 49865. 0998650. 015 . 0 )51()23(XPXP )231()235(00 1)1(20 )1()1(00 6826. 018413. 02 由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区间区间内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. .当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X| 1)=2 ( (1)-)-1= =0.6826 0 例例3

11、3、3 3 准则准则P(|X| 2)=2 ( (2)-)-1= =0.95440 P(|X| 3)=2 ( (3)-)-1= =0.99740 将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布, , ),(2NY时，时，6826. 0)|(|YP9544. 0)2|(|YP9974. 0)3|(|YP可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在3,3区间内区间内. . 这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则” （三倍标准差原则）（三倍标准差原则）. .例例4 某科统考成绩服从正态分布某科统考成绩服从正态分布 及格人数为及格人数为100人，计算：人，计

12、算： （1）不及格人数；）不及格人数； （2）成绩前）成绩前20名的人数在考生中所占的比例；名的人数在考生中所占的比例； （3）第）第20名考生的成绩。名考生的成绩。 )10,70(2N解：设随机变量解：设随机变量X 表示考生该科的统考成绩。表示考生该科的统考成绩。则则)10,70(2NX设参加该科统考的人数为设参加该科统考的人数为n，首先求，首先求n。)60(1)60(XPXP )107060(10 )1(1 1)1(100 8413. 0)1(0 即及格人数占全体考生的即及格人数占全体考生的84.13%，及格，及格的有的有100人，故全体考生人数为人，故全体考生人数为8413. 0100

13、n(1)不及格人数在全体考生中所占比例为不及格人数在全体考生中所占比例为1-84.13%=15.87%,则不及格人数为则不及格人数为:n %87.15人人198413. 0100%87.15 (2)前前20名考生所占比例为名考生所占比例为1008413. 02020 n%8 .1616826. 0 (3)设第设第20名考生成绩为名考生成绩为 分分, 则有则有0 x16826. 0)(0 xXP)(1)(00 xXPxXP 16826. 0)1070(100 x83174. 016826. 01)1070(00 x查表可得查表可得:96. 010700 x分分806 .790 x例例5 公共汽车

14、车门的高度是按男人与车门公共汽车车门的高度是按男人与车门碰头的机会不超过碰头的机会不超过0.01而设计的而设计的. 设男人身高设男人身高服从服从 的正态分布的正态分布, 即即 , 问车门的高度应如何确定问车门的高度应如何确定?cmcm7,168 )7 ,168(2NX解解: 设车门的高度为设车门的高度为hcm,由题意知由题意知:01. 0)( hXP99. 0)7168()(0 hhXP即即查表可得查表可得33. 27168 hcmh184 例例6 某凶杀案中有某凶杀案中有A、B两个嫌疑人，从各两个嫌疑人，从各自住处到凶杀现场所需时间自住处到凶杀现场所需时间X（分钟）（分钟） 均服从均服从正态

15、分布。正态分布。A所用时间服从所用时间服从 ，B所用所用时间服从时间服从 。如果仅有。如果仅有65分钟可用，分钟可用，问谁的作案嫌疑较大？问谁的作案嫌疑较大？)10,50(2N)4 ,60(2N解：解：A 在在65分钟内从住处及时到达凶杀现场的分钟内从住处及时到达凶杀现场的概率为：概率为：)65( XP9332. 0)5 . 1(0 )105065(0 B 在在65分钟内从住处及时到达凶杀现场的分钟内从住处及时到达凶杀现场的概率为：概率为：)46065(0 8944. 0)25. 1(0 )65( XP可见，可见，A 作案的嫌疑较大。作案的嫌疑较大。 上一讲我们已经看到，当上一讲我们已经看到，

16、当n很大，很大，p接接近近0或或1时，二项分布近似泊松分布时，二项分布近似泊松分布; 如果如果n很大，而很大，而p不接近于不接近于0或或1，那么可以证明，那么可以证明，二项分布近似于正态分布二项分布近似于正态分布. 下面我们不加证明地介绍有关下面我们不加证明地介绍有关二项分二项分布近似于正态分布布近似于正态分布的一个定理，称为的一个定理，称为棣莫棣莫佛拉普拉斯定理佛拉普拉斯定理. . 二、二项分布的正态近似二、二项分布的正态近似定理定理( (棣莫佛拉普拉斯定理）棣莫佛拉普拉斯定理） 设随机变量设随机变量 服从参数服从参数n, p( (0p1) )的的二项分布，则对任意二项分布，则对任意x，有，

17、有Xdtext2221 定理表明，当定理表明，当n很大，很大，0p1是一个定值是一个定值时（或者说，时（或者说，np(1-p)也不太小时），也不太小时），二项二项变变量量 的的分布近似正态分布分布近似正态分布 N(np,np(1-p).X)1(limxpnpnpXPn 二项分布的正态近似二项分布的正态近似 实用中，实用中，n 30， np 10时正态近时正态近似的效果较好似的效果较好.即即)1()1 , 0(),(pqNnpqnpXpnBX 则近似有则近似有若若请看演示请看演示例例7 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷10000次，出现正面次，出现正面5800次，认为这枚硬币不均匀是否合理次，认为这枚硬币不均匀是否合理? 试说明理由试说明理由.解解: 设设X为为10000次试验中出现正面的次数，次试验中出现正面的次数，采用正态近似采用正态近似, np=5000, np(1-p)=2500,若硬币是均匀的，若硬币是均匀的，XB