过程控制与自动化仪表-第四章-微分方程

1、 被控过程数学模型被控过程数学模型数学模型的概念数学模型的概念 数学模型是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表数学模型是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。而被控过程的数学模型指过程的输入变量与输出变量之达式。而被控过程的数学模型指过程的输入变量与输出变量之间定量关系的描述。间定量关系的描述。1 1）过程的输入变量至输出）过程的输入变量至输出变量的信号联系称为变量的信号联系称为通道通道2 2）控制作用至输出变量的）控制作用至输出变量的信号联系称为信号联系称为控制通道控制通道3 3）干扰作用至输出变量的）干扰作用至输出变量的信号联系称为信号联系称为干扰通道干扰通道过程的输出为控制通

2、道与干扰通道的输出之和过程的输出为控制通道与干扰通道的输出之和 数学模型的类型数学模型的类型（1 1）：）：微分方程：微分方程：时域、其它模型的基础、直观、求解繁琐时域、其它模型的基础、直观、求解繁琐（2 2）：）：传递函数：传递函数：复频域、微分方程拉氏变换后的结果复频域、微分方程拉氏变换后的结果（3 3）：）：动态模型：动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程变量各阶导数之间关系的微分方程（1 1）：）：相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。（2 2）：）：简化性和准确性：忽略次要因素，简化之；准确体现简化性和准确性：忽略次要因素，简化之；

3、准确体现了系统性质。了系统性质。数学模型的特点数学模型的特点（3 3）：）：静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。（4 4）：）：动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。 （1 1）：全面、深入地掌握被控过程的数学模型是控制系统设计）：全面、深入地掌握被控过程的数学模型是控制系统设计的基础。的基础。 （2 2）：良好数学模型的建立是控制器参数确定的重要依据。）：良好数学模型的建立是控制器参数确定的重要依据。 （3 3）：数学建模是仿真或研究、开发新型控制策略的必要条件。）：数学建模是仿真或研究、开发新

4、型控制策略的必要条件。 （4 4）：通过对生产工艺过程及相关设备数学模型的分析或仿真，）：通过对生产工艺过程及相关设备数学模型的分析或仿真，可以为生产工艺及设备的设计与操作提供指导。可以为生产工艺及设备的设计与操作提供指导。 （5 5）：利用数学模型可以及时发现工业过程中控制系统的故障）：利用数学模型可以及时发现工业过程中控制系统的故障及其原因，并提供正确的解决途径。及其原因，并提供正确的解决途径。被控过程数学模型在过程控制中的重要性：被控过程数学模型在过程控制中的重要性：一般步骤一般步骤 1) 1) 分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、

5、输出量及内部中间变量，搞清各变量之间的关系。内部中间变量，搞清各变量之间的关系。 2) 2) 忽略一些次要因素，合理简化。忽略一些次要因素，合理简化。 3) 3) 根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式。根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式。 4) 4) 列写中间变量的辅助方程。（方程数与变量数相等）列写中间变量的辅助方程。（方程数与变量数相等） 5) 5) 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。程式。系统微分方程的建立系统微分方程的建立基本定理：基本定理：1.1.牛顿第二定律：牛顿第二定律：F=maF=ma2.2.简化

6、模型为阻尼器简化模型为阻尼器f f、弹簧、弹簧k k、质量块、质量块m m大小：大小：dtdyfvfFff粘滞摩擦系数粘滞摩擦系数大小：大小：ykFkk弹簧系数弹簧系数方向均为阻碍物体运动趋势方向均为阻碍物体运动趋势 例例 弹簧弹簧- -质量质量- -阻尼器串联系统。阻尼器串联系统。 试列出以外力试列出以外力F(t)F(t)为输入量，以质量的位移为输入量，以质量的位移y(t)y(t)为为输出量的运动方程式。输出量的运动方程式。 解：遵照列写微分方程的一般步骤有：解：遵照列写微分方程的一般步骤有： （1 1）确定）确定输入量输入量为为F(t)，输出量输出量为为y(t)，作用于质，作用于质量量m的

7、力还有弹性阻力的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力和粘滞阻力Ff(t)，均作为，均作为中间变量。中间变量。 （2）设系统按线性集中参数考虑）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，且无外力作用时，系统处于平衡状态。系统处于平衡状态。 KmfF(t)y(t)（3 3）按牛顿第二定律列写原始方程，即）按牛顿第二定律列写原始方程，即 （5 5）将以上辅助方程式代入原始方程）将以上辅助方程式代入原始方程, ,消去中消去中间变量间变量, ,得得)(22tFdtdyfkydtydm )()()(22 dtydmtFtFtFFfk （4 4）写中间变量与输出量的关系式）写中间变量与输出量的关系式kytFk

8、 )( )(dtdyffvtFfKmfF(t)y(t)sfTTTTdtdJ22TkdtdfdtdJ22f f 转动时粘滞摩擦系数转动时粘滞摩擦系数k k 弹性扭转变形系数弹性扭转变形系数课堂习题课堂习题 求图所示机械系统的微分方程式，图中求图所示机械系统的微分方程式，图中F(t)F(t)为输入量，位移为输入量，位移x(t)x(t)为输出量，为输出量，m m为质量，为质量，k k为弹簧的弹性系数，为弹簧的弹性系数，f f为粘滞阻尼系数为粘滞阻尼系数基本定理：基本定理：1.1.环路电压定律环路电压定律2.2.典型元件的电压与电流的关系典型元件的电压与电流的关系0iU和节点电流定律和节点电流定律oi

9、II 例例 电阻电感电容串联系统。电阻电感电容串联系统。R-L-CR-L-C串联电路，试串联电路，试列出以列出以u ur r( (t t) )为输入量，为输入量，u uc c( (t t) )为输出量的网络微分方程式。为输出量的网络微分方程式。 R C ur(t) uc(t) L 解：（解：（1 1）确定输入量为）确定输入量为ur(t)，输出量为，输出量为uc(t)，中间变量为，中间变量为i(t)。 （2 2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。 rcuuRidtdiL （4 4）列写中间变量）列写中间变量i i与输出变量与输出变量uc u

10、c 的关系式的关系式: : dtduCic （5 5）将上式代入原始方程，消去中间变量得）将上式代入原始方程，消去中间变量得 R Cur(t)uc(t) L（3 3）由）由KVLKVL写原始方程：写原始方程：i(t)rcccuudtduRCdtudLC22 下图是一个由理想运算放大器组成的电容负反馈电路。电压下图是一个由理想运算放大器组成的电容负反馈电路。电压ui(t)ui(t)和和uo(t)uo(t)分别表示输入量和输出量，试确定这个电路的微分方程式。分别表示输入量和输出量，试确定这个电路的微分方程式。 dttuudCIRutuoAAi)()(tudttduRCio课堂习题课堂习题 求图所示电气系统的微分方程式，图中求图所示电气系统的微分方程式，图中Ui(t)Ui(t)为输入量，为输入量，Uo(