第四章债券价格波动性及其衡量第二部分201603

1、第四章 债券价格波动性及其衡量/债券风险的度量和度量工具 知识点 债券价格的波动性及其原因 债券价格与市场利率的基本关系 债券价格对市场利率变动的敏感性及其影响因素分析 久期 久期的计算 久期的应用 久期的性质 凸性 凸性的计算 凸性的应用 凸性的性质久期与凸性的进一步应用：债券利率免疫与套期保值非附权债券价格波动性（价格-收益率关系）必要报酬率Required yield价格Pr 上升，P下降瞬时变化Instantaneous change凸性convexnnttrMrCP)1 ()1 (1债券久期和凸性的进一步应用 债券久期与债券平衡点 使用久期进行债券/债券组合免疫 使用久期进行债券/债

2、券组合套期保值 使用久期，凸性和债券时间效应进行风险管理久期 从期限的角度理解 债券的久期是债券本息支付时间的加权平均 现金流/本息支付的平均时间 权重：每一笔现金流的现值/P（债券现值/价格） 以年为单位 需要慎重对待以期限含义理解久期 结构类债券产品久期可能大于其期满期限现象ntntnnrMnrCtPDmPrMnrCnrCrCMacaulay12)1 ()1 (11)1 ()1 (.)1 (2)1 (1久期定义：久期与债券平衡点 从期限的角度 债券比率久期代表着大约在该时间点 无论市场利率如何变化 债券的价格风险与再投资风险抵消，债券价值保持基本稳定 在持有期限等于久期时，债券价格对市场利

3、率活动反映不敏感期限风险收益/风险损失A：计划持有期限价格风险再投资风险久期与债券平衡点 从期限的角度 - 例1问题：该债券比率久期数量是多少？从期限看比率久期，试证明无论市场利率现在发生怎样的变化，该债券在比率久期代表的时间，债券价值基本不变。rc7%M100N10n10r7.0%假设某只债券：假设某只债券：久期与债券平衡点 从期限的角度 - 例1期限（年）到期收益率 贴现因子现金流量现值t倍现值17.0%0.934676.546.5427.0%0.873476.1112.2337.0%0.816375.7117.1447.0%0.762975.3421.3657.0%0.713074.99

4、24.9567.0%0.666374.6627.9977.0%0.622774.3630.5187.0%0.582074.0732.5997.0%0.543973.8134.27107.0%0.508310754.39543.93100.00751.52Dm对应的金额久期7.52dP/dr7.02Dm7.52%7.52%MD7.02%债券比率久期作为投资期限下，投资总收益对利率变动免疫85.16604. 1710)04. 1 (7)04. 1 (704. 1*7.04. 1*704. 1*74%5 . 75 . 25 . 15 . 05 . 05 . 55 . 6债券价格市场利率下降为情形一：

5、债券购买后，年时刻的价格讨论债券在71.1661 .1710)1 .1 (7)1 .1 (71 .1*7.1 .1*71 .1*710%5 .75 .25 .15 .05 .05 .55 .6债券价格市场利率上升为情形二：债券购买后，年时刻的价格讨论债券在利用久期进行利率风险免疫 Immunization Techniques 如何使投资价值不随市场利率变动而变动 投资组合对于市场利率波动不敏感 利用久期进行免疫是一种消极的投资策略 无能力准确预测利率变动情况下 基金经理人往往并不是通过利率预测去追求超额回报，而是通过组合的构建，在回避利率波动风险的条件下实现既定的收益率目标 方法之一 利用久

6、期对投资组合进行利率免疫债券/债券组合久期匹配的免疫策略期限风险收益/风险损失A：计划持有期限价格风险再投资风险计划投资期等于债券比率久期，债券价格效应等于再投资效应，债券价值对利率变动免疫计划投资期小于比率久期，债券价格效应大于再投资效应，利率上涨是风险反之，则利率下降是风险利用久期进行利率风险免疫基本思路 在某市场利率环境下，构造 资产组合价值 = 负债组合价值 资产组合久期 = 负债组合久期 目标：市场利率变动下，组合价值变动 = 负债价值变动 任何久期不相匹配，调整组合构成 市场利率变化 组合情况变化 利用久期进行利率风险免疫 例1单一负债免疫。假定一个投资人10年后必须偿还1931元

7、，到期收益率曲线是水平的，为10%。负债的现值是745元，负债的久期是10。市场上现有一只债券，期限20年，面值1000元，票面利率7%，一年附息一次，价格745元。如何利用这只债券对负债进行免疫？市场收益率资产债券价值负债债券价值资产债券Dm负债债券Dm10%745.00745.0010.0010.006%1114.701078.2611.7910.008%901.82894.4310.8810.0012%626.53621.739.1710.00如果与负债久期不相匹配，则需要调整资产规模和构成利用久期进行利率风险免疫 例2投资者负债是5年期分期付款，每年支付100元。假设现有一年期债券，票

8、面利率是6%，1年支付1次；4年期债券的票面利率是8%，1年支付1次。即期利率是10%。如何对负债进行免疫？债券债券Dm5年期债券2.814年期债券3.561年期债券1构建方程式：w1+w4=1w1*1+w4*3.56=2.81负债的现值为$379.07，所以$111.21投资于1年期债券,$267.86 投资于4年期债券利用久期进行利率风险免疫 例3 假设到期收益率曲线如下表。目前，投资人的资产包括305个单位的3年期零息债券，面值是11522.6元。投资人的负债包括300个单位的20年期附息债券，该附息债券面值是1万元，票面利率是6.162%。投资人希望持有这个20年期的债券，但愿意调整3

9、年期零息债券资产的头寸，投资人希望购买或者发行20年期的零息债券加入资产组合，该20年期零息债券的面值是34940.6元。 问如何调整资产结构才能够让这个投资人实现净权益免疫?利用久期进行利率风险免疫 例3期限（年）即期利率/到期收益率 贴现因子1/3654.24%0.99990.54.42%0.978614.51%4.51%0.95691.54.59%0.934924.68%0.91274.76%0.890334.84%0.867944.99%0.822955.14%0.778365.28%0.734475.41%0.691485.54%0.649795.66%0.6094105.77%0.

10、5708115.87%0.5339125.97%0.4989136.05%0.4658146.13%0.4345156.21%0.4052166.27%0.3778176.33%0.3523186.38%0.3285196.42%0.3065206.46%0.2862利用久期进行利率风险免疫 例3资产市场价值（万元）负债+权益市场价值（万元）305300个单位20年期附息债券300.0权益5.0投资人资产负债表投资人资产负债表305个单位3年期零息债券利用久期进行利率风险免疫 例3 在某市场利率环境下，构造 资产组合价值 - 负债组合价值=权益价值 资产组合久期 = 负债组合久期5 .1535

11、 .1511175300200030050000100003001000010000203203203NNNNNN利用久期进行利率风险免疫 例3面值11522.634940.610000市场价格10000.09998.910000Dm对应的金额久期300.020001175dP/dr287.061913.561124Dm3.0%20.00%11.75%MD2.87%19.14%11.24%债券3年期零息债券20年期零息债券20年期附息债券利用久期进行利率风险免疫 例3资产组合资产组合成分债券数量资产组合成分债券价值N3151.51,514,993.14 N20153.51,534,830.21

12、 资产组合价值3,049,823.34 负债价值2,999,926.83 权益价值49,896.51 利用久期进行投资套期保值（hedging) 一般情况下，同类商品现货市场和期货市场价格变动方向相同在现货市场上未来需要卖出，但是，担心未来价格下跌 则在期货市场上做卖出套期保值在现货市场上未来需要买入，但是，担心未来价格上升 则在期货市场上做买入套期保值 一般情况下，债券市场上，债券价格变动方向相同价格与市场利率反方向变动 担心所持有债券价格下降，则选择其他债券做卖出套期保值利用久期进行投资套期保值（hedge) 例1怎样通过国债1和国债2进行现有公司债券的套期保值？假设债券到期收益率上升1%

13、，该投资人结清套期保值头寸后，结果如何？如果该投资人要卖空这两只国债，应当各卖空多少数量？N5n 10M1,000,000rc6.90%C34500P1,000,000ry6.90%已知现在持有一只公司债券，希望对其进行套期保值：NnMrcPC国债1102010008%110940国债23610006.30%1008.131.5市场中可以利用进行套期保值的两只债券，条件如下：利用久期进行投资套期保值（hedge) 例1 目标 持有债券价值变化数量 = 套期保值组合价值变化数量利用久期进行投资套期保值（hedge) 例1时间10年期国债年期国债0-1109贴现因子现值t倍现值1400.96853

14、8.738.72400.938037.575.03400.908536.3109.04400.879935.2140.85400.852234.1170.46400.825433.0198.17400.799432.0223.88400.774231.0247.89400.749930.0269.910400.726329.1290.511400.703428.1309.512400.681227.2327.013400.659826.4343.114400.639025.6357.915400.618924.8371.316400.599424.0383.617400.580623.2394

15、.818400.562322.5404.819400.544621.8413.92010400.5274548.510970.83.25%1109.01109.016040.9ry6.50%Dm对应的金额久期80.23.75%dP/dr77.68Dm7.23%MD7.0045%7.0045%利用久期进行投资套期保值（hedge) 例1时间3年期国债年期国债-1008.1贴现因子现值t倍现值131.50.97086932230.630.58231.50.9425872429.759.38331.50.91512903428.886.48431.50.88847070428.0111.95531.

16、50.8625889527.2135.8661031.50.837461148863.85183.053.00%1008.11008.15607.306.00%Dm对应的金额久期28.04rydP/dr27.22Dm2.78%MD2.70%2.70%利用久期进行投资套期保值（hedge) 例1品种修正久期价格10年期国债7.0045%11093年期国债2.70%1008.15年期公司债4.1688%1,000,000.00 债券特征利用久期进行投资套期保值（hedge) 例16 .1531%1688.4100000%7 .21 .1108N35 .535%1688.4100000%0005.7

17、1109N101033101010NNNN则，年期国债数量为卖空则，年期国债数量为卖空利用久期进行投资套期保值（hedge) 例12.问题：如果到期收益率上升问题：如果到期收益率上升1%，结果如何？，结果如何？5年期债券新价格959.34 债券价格损失(元)40,660.00 注：面值1000元，实际面值1百万元。10年期债券新价格1,034.74 债券价格收益(元)39,852.85 3年期债券新价格981.35 债券价格收益(元)40,968.46 利用久期进行投资套期保值（hedge) 例13，如果同时卖空2只国债N10+N3=1N10*7.0045%+N3*2.7%=4.1688%N1

18、034.12%N365.88%N10价值341,200.00 N3价值658,800.00 久期与凸性在债券投资组合中的应用 其他因素都一样，凸性被认为是有价值的。如何获得凸性价值? 有着相同久期的债券投资组合并不一定拥有相同的凸性，所以它们对于市场利率变动的反应敏感程度也可能是不同的 常用债券投资组合策略 - Barbells 杠铃式vs. Bullets子弹式 Bullet payment = 现金流一次性支付 Barbell payments = 现金流支付两端分布杠铃式债券投资组合与子弹式债券投资组合 Barbells and bullets A barbell bond portfo

19、lio 主要包含了短期债券和长期债券 从久期来看，这样的投资组合包含了低久期债券和高久期债券，从而组合久期大约是中等水平的久期 这样的投资组合策略结果是组合的一部分可以获得高收益，而另一部分则可以降低风险 A bullet bond portfolio通常集中选择的是中等期限债券，久期也是中等水平久期杠铃式债券投资组合与子弹式债券投资组合杠铃式债券投资组合与子弹式债券投资组合 Barbells and bullets 债券投资组合久期和凸性是成分债券久期和凸性的加权平均 资产组合和负债组合的久期相等匹配容易 资产组合和负债组合的凸性相等匹配不容易 子弹式债券投资组合的久期与杠铃式债券投资组合的

20、久期相匹配容易 子弹式债券投资组合的凸性一般会小于杠铃式债券投资组合的凸性tnttmdCttPC1)1(1定义：比率凸性（值）Barbells and bullets，例1 假设一个杠铃式投资组合甲中有两只债券A和B，各占组合的50% ，A是一年期短期债券，久期为1；B是30年期长期债券，久期是30， 则组合的久期是15.5 (31/2 = 15.2) 但是，该组合的凸性值大约是450 (900/2 = 450)tnttmdCttPC1)1(1定义：比率凸性（值）Barbells and bullets，例1 假设使用一个子弹式投资组合乙匹配上面的杠铃式组合甲的久期 该组合有两只债券A和B，

21、可以全部投资于两只16年期的债券 或者投资于一只15年期的债券和一只16年期的债券，从而得到组合的久期是15.5 这样，两个组合的久期匹配，但是，子弹式组合的凸性会低于杠铃式组合的凸性 此时投资人可以买入杠铃组合，卖空子弹组合，从而实现组合久期对冲，同时获得正凸性的投资效果Bullet vs. Barbell 策略，例2国债票面利率期限到期收益率修正久期修正凸性A8.558.5419.81B9.5209.58.88124.2C9.25109.256.4355.45Bullet策略：只投资于 债券CBarbell策略：投资于A 和 B要求：两个策略组合的修正久期相等即，A 投资 50.2% ,B

22、 投资 49.8%0.502*(4.00) +0 .498*(8.88) = 6.43Bullet vs. Barbell 策略，例2 Bullet策略：只投资于 债券C Barbell策略：投资于A 和 B 要求：两个策略组合的修正久期相等 即，A 投资 50.2% ,B 投资 49.8% 0.502*(4.00) +0 .498*(8.88) = 6.43 组合的凸性值 0.502*19.81+0.498*124.4=71.89 大于55.45 组合的到期收益率大约 0.502*8.5%+0.498*9.5%=8.998%小于组合C的9.25%市场利率变化时， Barbell组合凸性更大，

23、更优，但放弃了一些收益率，买的价格高阶梯式债券投资组合及其策略Bond Ladder 债券到期形成有规律的间隔，例如，每一年，每两年等 连续的规律性债券到期，组合具有规律性收益，持续的流动性 降低了组合债券赎回风险 债券到期交错实现，一般不会同时被赎回现象收益率曲线变化与投资组合策略选择 利用不同的债券组合策略实现收益率曲线变化时所产生的潜在利益 不同的策略有不同的久期和凸性特征 子弹策略一是应对特定时期的资金需求，二是投资人预期未来某个特定期限的利率会发生变化，利用这样的变化寻找潜在利益 如果预期收益率曲线在短期利率和长期利率发生变动，则选择杠铃策略 如果预期收益率曲线整个发生变化，则可以在

24、组合策略上选择梯式策略 梯式策略也可以看作是多个子弹策略或子弹策略的扩展非附权债券价格变化的主要原因 必要报酬率/市场利率的变化 债券发行人信用风险的变化 现金流的偿还风险 如何在市场预测到这个变化之前能够进行预测 可比金融工具收益率的变化 折价或溢价债券趋近到期日nnttrMrCP)1 ()1 (1债券价格随着其生命周期而趋近于面值到期的年份债券价格路径的时间效应溢价债券折价债券相同期限不同的票面利率即使市场利率未发生变动nnttrMrCP)1 ()1 (1P (% of Par)100零息债券价格的时间效应值 在市场利率曲线不发生变化时，零息债券价格变化的时间效应持有期无穷小时，零息债券的

25、升值水平 值相当于贴现函数在某一时期上的斜率，即dtdP值的近似求法 由于零息债券价值的瞬间变化难以计量，因此采用近似的办法 如果能够得到间隔很短的收益率曲线，那么可以计算在间隔很短的时间内零息债券价格的时间效应，计算公式为tP为时间变化2ttPP价格风险可以量化，但时间效应的量化很难找到合适的公式值的近似求法 例1 一个零息债券将在12.5年后支付1元，利用前面的折现函数，求该12.5年的零息债券的值。03199.012132878.03198.0121321312ddddtt即期利率曲线与折现方程 即期利率曲线可以用来给风险相似的现金流定价 贴现方程是未来时间点的$1在0时点的价格 被表示

26、为 通常 t 用年来表示 (例如， 3个月为 0.25, 10 天为 10/365 = 0.0274). 贴现因子与年有效收益率的关系为tdtttyd)1 (1即期利率曲线与值值越精确时间变化越小，值的时点根据即期利率曲线，求03047.02.04958.05019.09.111.1203456.08.04866.05134.06.114.12121.129.11124.126.1112dddd期限期限(年年)到期收益率 到期收益率 贴现因子贴现因子值值115.8705%0.533911.65.9002%0.514311.95.9645%0.5019125.9659%0.498912.15.9

27、700%0.495812.45.9805%0.4866136.5370%0.46582ttPP即期利率曲线与值期限期限 到期收益率 到期收益率贴现因子贴现因子值值1/3658.24%0.99980.080.58.42%0.96040.078418.51%0.92160.07671.58.59%0.88370.074928.68%0.84670.0732.58.76%0.81070.071138.84%0.77560.069148.99%0.70860.06559.14%0.64580.060769.28%0.58710.056579.41%0.53270.052389.54%0.48240.0

28、48299.66%0.43620.0443109.77%0.39380.0405119.87%0.35510.037129.97%0.31980.03361310.05%0.28780.03041410.13%0.25890.02751510.21%0.23270.0248即期利率曲线与值期限期限到期收益率 到期收益率 贴现因子贴现因子值值1610.27%0.20920.02231710.33%0.18810.021810.38%0.16910.0181910.42%0.15210.01612010.46%0.13690.01442110.48%0.12330.01282210.50%0.11

29、110.01142310.51%0.10030.01022410.52%0.09070.00912510.51%0.08220.00812610.50%0.07450.00722710.48%0.06780.00642810.46%0.06180.00572910.42%0.05640.0053010.38%0.05170.0045值几何图形值0.00000.02000.04000.06000.08000.1000期限12.55811141720232629值债券价格的时间效应与到期期限密切相关。到期期限越短，时间效应越强，反之则弱。时间与零息债券价格变化及其值期限从长到短至0单位零息债券价格

30、dtdPnrMP)1 ( 零息债券1债券投资组合的时间效应值的计算 组合的时间效应就是其所含零息债券时间效应的加权总和，权数是单个零息债券的数量。即：iipC即期利率曲线与值期限期限 到期收益率 到期收益率贴现因子贴现因子值值1/3654.2387%0.99990.54.4181%0.97860.0431214.5056%0.95690.043741.54.5914%0.93490.0442224.6753%0.91270.044582.54.7574%0.89030.0448134.8377%0.86790.0448744.9927%0.82290.0447755.1404%0.77830.

31、0442965.2807%0.73440.0434675.4136%0.69140.0423485.5391%0.64970.0409995.6570%0.60940.03944105.7675%0.57080.03775115.8705%0.53390.03595125.9659%0.49890.03408136.0537%0.46580.03217146.1340%0.43450.03026156.2067%0.40520.02835206.4557%0.28620.01957296.4212%0.16450.00853债券投资组合的时间效应值的计算，例1假设一个债券投资组合由下列零息债券

32、构成 10个单位的2年期零息债券，5个单位的9年期零息债券，3个单位的30年期零息债券 单一种类的负债，7个单位的20年期零息债券 利率期限结构如前所示则，该组合的权益价值为100.9127+50.6049+30.1645-70.2862 =10.6641资产的值为100.04456+5X0.03944+30.00853=0.66895负债是值为70.01957=0.13699权益的值为资产的值减去负债的值， 即0.66895-0.13699=0.53196凸性在固定收益证券投资中的应用 普通债券具有正凸性，即给定的市场利率大幅波动，债券价格上升的幅度大于价格下降的幅度 正凸性是有价值的，改善了债券价格的风险状况 债券投资存在努力实现组合凸性最大化的动机 负凸性是指对于给定的市场利率的大幅波动，债券价格上升的幅度小于价格下降的幅度 附嵌入式期权的债券，例如可