微分方程整章ppt课件

1、 常微分方程常微分方程 常微分方程的基本概念与常微分方程的基本概念与 分离变量法分离变量法 一阶线性微分方程与可降 阶的高阶微分方程 二阶常系数线性微分方程 一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念 二、分离变量法二、分离变量法 第一节第一节 常微分方程的基本概念与常微分方程的基本概念与分离变量法分离变量法第一节第一节 常微分方程的基本概念与分离变量法常微分方程的基本概念与分离变量法 微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数定义为该微分方程的阶数阶数定义为该微分方程的阶数 微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微微分

2、方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数时，这分方程特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数时，这时的微分方程就称为时的微分方程就称为 常微分方程常微分方程 线性微分方程：当微分方程中所含的未知函数及其各阶线性微分方程：当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程在线性导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程在线性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则称这样的微分方程为常系数线性微分方程称这样的微分方程为常系数线性微分方程 一、微分方程的基

3、本概念一、微分方程的基本概念如如果果将将函函数数y)( xy代代入入微微分分方方程程后后能能使使方方程程成成为为恒恒等等式式，这这个个函函数数就就称称为为该该微微分分方方程程的的解解 初初始始条条件件： 用用未未知知函函数数及及其其各各阶阶导导数数在在某某个个特特定定点点的的值值作作为为确确定定通通解解中中任任意意常常数数的的条条件件，称称为为初初始始条条件件 一一阶阶常常微微方方程程的的初初始始条条件件为为00)(yxy, ,其其中中 0 x，0y是是两两个个已已知知数数. . 二二阶阶微微分分方方程程的的初初始始条条件件为为0000(),().y xyyxy 微分方程的解：微分方程的解：

4、微分方程的解有两种形式：一种不含任意常数；一种微分方程的解有两种形式：一种不含任意常数；一种含有任意常数如果解中包含任意常数，且独立的任意常含有任意常数如果解中包含任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为常微分方程数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为常微分方程的通解，不含有任意常数的解，称为微分方程的特解的通解，不含有任意常数的解，称为微分方程的特解 例例 1 1 验证函数验证函数xxCCy221ee ( ( 12,C C为任意常数为任意常数) )为二阶微分方程为二阶微分方程023 yyy的通解，并求的通解，并求该该方程满方程满足初始条件足初始条件1)0(, 0)0

5、(yy的特解的特解 所所以以，函函数数y 1C ex+ +2Cx2e是是所所给给微微分分方方程程的的解解又又因因为为，这这个个解解中中有有两两个个独独立立的的任任意意常常数数，与与方方程程的的阶阶数数相相同同，所所以以它它是是所所给给微微分分方方程程的的通通解解 xxCCy221ee , 212e2e ,xxyCC 212e4e ,xxyCC将将yyy ,代入方程代入方程023 yyy左端，得左端，得 )ee(2)e2e(3e4e221221221xxxxxxCCCCCC 0e)264(e)23(2222111xxCCCCCC ,由由初初始始条条件件0)0(y， 我我们们得得021CC， 由由

6、初初始始条条件件1)0( y，得得. 1221 CC所所以以12C，11C于于是是，满满足足所所给给初初始始条条件件的的特特解解为为xxy2ee 设函数设函数)(),(21xyxy是定义在区间是定义在区间( , )a b内的函数，若存在两个不全为零的数内的函数，若存在两个不全为零的数21,kk，使得对于，使得对于( , )a b内的任一内的任一 x恒有恒有 成立，则称函数成立，则称函数21,yy在在( , )a b内线性相关，否则称为线性内线性相关，否则称为线性无关无关 02211ykyk定义定义1 （线性相关，线性无关）（线性相关，线性无关） 21, yy线线性性相相关关的的充充分分必必要要

7、条条件件是是21yy在在( , )a b区区间间内内恒恒为为常常数数 若若21yy不不恒恒为为常常数数， 则则21, yy线线性性无无关关 当当 1y与与 2y线线性性无无关关，函函数数 2211yCyCy中中含含有有两两个个独独立立的的任任意意常常数数 1C和和2C 定定义义 2 2 形形如如 )()(ddygxfxy的的方方程程，称称为为可可分分离离变变量量的的方方程程. . 可分离变量方程的特点：等式右边可以分解成两个函数之可分离变量方程的特点：等式右边可以分解成两个函数之积积，其中一个只是，其中一个只是 x的函数，另一个只是的函数，另一个只是 y的函数的函数 二、分离变量法二、分离变量

8、法（1 1） 分离变量： 将该方程化为等式一边只含变量） 分离变量： 将该方程化为等式一边只含变量 y ，而另一边只含变量而另一边只含变量 x的形式，即的形式，即 xxfygyd)()(d其中其中0)(yg 例例2 2 求0 xyy的通解 解解 方方程程变变形形为为 xyxydd, 分离变量得分离变量得 xxyydd 0y, 两两边边积积分分得得 xxyydd, , 求求积积分分得得 1221|lnCxy, , 所以所以 21122121eee|xCCxy, , 即即 22111122e ee(e )xxCCyCC , 方程通解为方程通解为221exCy（ C为任意常数）为任意常数）. . 例

9、例 3 3 设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度成正比，降落伞离开塔顶成正比，降落伞离开塔顶)0( t时的速度为零求降落时的速度为零求降落伞下落速度与时间伞下落速度与时间 t的函数关系的函数关系. . 解解 设降落伞下落速度为设降落伞下落速度为)(tv时伞所受空气阻力为时伞所受空气阻力为 kv（负号表示阻力与运动方向相反，（负号表示阻力与运动方向相反，k为常数） 另外，为常数） 另外，伞在下降过程中还受重力伞在下降过程中还受重力mgP 作用，故由牛顿第二定律作用，故由牛顿第二定律得得kvmgtvmdd且有初始条件：且有初始条件：0|0tv于是， 所给

10、问题归于是， 所给问题归结为求解初值问题结为求解初值问题 0d,d|0,tvmmgkvtvkv R mg P 对对上上述述方方程程分分离离变变量量得得 mtkvmgvdd, 两边积分两边积分得得 mtkvmgvdd ， 可可得得 1|ln1Cmtkvmgk ， 整整理理得得 1e1ekCtmkkCCkmgv . . 由由初初始始条条件件得得00emgCk， 即即kmgC ， 故故所所求求特特解解为为 )e1 (tmkkmgv . . 由此可见，随着由此可见，随着 t的增大，速度的增大，速度 v逐渐变大且趋于逐渐变大且趋于常数常数 kmg，但不会超过，但不会超过kmg，这说明跳伞后，开始阶段，这

11、说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动 1.1.微分方程通解中的任意常数微分方程通解中的任意常数 C最终可表示为最终可表示为2sin,e1CC( (12,C C为任意实数为任意实数) )，3lnC3(C为实数，为实数，03C) )等形式吗？等形式吗？ 2.2.微分方程的特解的图形是一条曲线 （积分曲线） ，微分方程的特解的图形是一条曲线 （积分曲线） ，通解的图形是一族积分曲线， 问通解中的积分曲线是否通解的图形是一族积分曲线， 问通解中的积分曲线是否相互平行相互平行( (注：两曲线平行是指两曲线在横坐标相等的注：两曲线平行是指两曲线在横坐标相等的

12、点处切线斜率点处切线斜率相同相同) ) 思考题思考题 第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程 二、可降阶的高阶微分方程二、可降阶的高阶微分方程 第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程 定定义义 形形如如)()(ddxQyxPxy 的的方方程程, ,称称为为一一阶阶线线性性方方程程, ,其其中中)(),(xQxP为为已已知知函函数数. . 当当0)(xQ时时, ,有有0)(ddyxPxy 称其为齐次线性方称其为齐次线性方程；程； 当当0)(xQ时时, ,称称)()(ddxQyxPxy为非齐次线性方为非齐次线性方程程. . 一、一阶线性微分

13、方程一、一阶线性微分方程（1 1） 先先求求齐齐次次线线性性方方程程的的解解 分分离离变变量量得得 d( )dyP xxy , 两两边边积积分分得得 1ln |( )dyP xxC , 即即 xxPCyde)(. （2 2）常常数数变变易易法法求求非非齐齐次次线线性性方方程程的的通通解解 令令( )d( )eP xxyC x为为非非齐齐次次线线性性方方程程的的解解, ,代代入入得得 )(e )(d)(xQxCxxP，即即xxPxQxCd)(e )()(. 两边积分得两边积分得 CxxQxCxxde )()(d)p(. 一一阶阶线线性性微微分分方方程程的的解解法法 p( )d_ p( )d (

14、)ed e. xxxxyQ xxC 上上式式称称为为一一阶阶线线性性非非齐齐次次程程的的通通解解公公式式. . 上上述述求求解解方方法法称称为为常常数数变变易易法法, ,用用常常数数变变易易法法求求一一阶阶非非齐齐次次线线性性方方程程的的通通解解的的步步骤骤为为： （1 1）先先求求出出非非齐齐次次线线性性方方程程所所对对应应的的齐齐次次方方程程的的通通解解 . . （2 2）根根据据所所求求出出的的齐齐次次方方程程的的通通解解设设出出非非齐齐次次线线性性方方程程的的解解( (将将所所求求出出的的齐齐次次方方程程的的通通解解中中的的任任意意常常数数 C 改改为为待待定定函函数数)(xC即即可可

15、) ). . （3 3）将将所所设设解解代代入入非非齐齐次次线线性性方方程程, ,解解出出)(xC, ,并并写写出出非非齐齐次次线线性性方方程程的的通通解解. . 两两边边积积分分得得 Cxylnlnln , ,即即 Cxylnln 将将通通解解中中的的任任意意常常数数 C换换成成待待定定函函数数)(xC, ,即即令令xxCy)(为为方方程程（1 1）的的通通解解, ,将将其其代代入入方方程程( (1 1) )得得( )lnxC xx. .于于是是 xxxCln1)(, 所所以以 CxxxxxxxC2)(ln21lndlndln)(, 将将所所求求的的)(xC的的代代入入式式( (3 3) )

16、, ,得得原原方方程程的的通通解解为为 2(ln )2xyxCx. . 1 1. .)()(xfyn型型的的微微分分方方程程 方程解法：通过方程解法：通过 n 次积分就可得到方程的通解次积分就可得到方程的通解. . 例例 3 3 求求方方程程xycos)3(的的通通解解 . . 解解 因为因为xycos)3(, ,所以所以 1sindcosCxxxy, , 211cosd)(sinCxCxxCxy, , 2121231( cos)dsin.2yxC xCxxC xC xC 二、可降阶的高阶微分方程二、可降阶的高阶微分方程 2 2. .),(yxfy 型型的的微微分分方方程程 . . 方程的特点

17、：方程右端不显含未知函数方程的特点：方程右端不显含未知函数 y. . 方程的解法：令方程的解法：令)(xpy , ,则则)(xpy 代入方程得代入方程得)(,()(xpxfxp. 例例 4 4 求求方方程程2)(12yyyx 的的通通解解. . 解解 因因为为方方程程2)(12yyyx 不不显显含含未未知知函函数数 y, ,所所以以令令)(xpy , ,则则)()(xpxy ，将将其其代代入入所所给给方方程程, ,得得 212pppx, 分分离离变变量量得得 xxpppdd212, , 两两边边积积分分12lnln)1ln(Cxp，得得xCp121. 即即 11xCp , ,也即也即 11xC

18、y. . 所所以以 132211212(1) d(1)3yC xxC xCC 为为所所求求方方程程的的通通解解. . 方程的解法：求解这类方程可令方程的解法：求解这类方程可令)(ypy 则则 pypxyyypxyydddddddd )(, , 于是于是, ,方程方程),(yyfy 可化为可化为 ),(pyfyppdd. . 这这是是关关于于y和和p的的一一阶阶微微分分方方程程, ,如如能能求求出出其其解解),(1Cyp, ,则则可可由由),(1Cyxydd求求出出原原方方程程的的解解. . 3 3. .),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 方方程程的的特特点点：右右端端不不显显含含自自变变

19、量量x. . 思思考考题题 1 1. .是是否否可可以以通通过过给给一一阶阶线线性性微微分分方方程程的的通通解解中中的的任任意意常常数数指指定定一一个个适适当当的的值值而而得得到到该该方方程程的的任任一一解解？ 2 2. .可可降降阶阶的的高高阶阶微微分分方方程程有有哪哪几几种种类类型型？各各自自的的求求解解方方法法怎怎样样？ 第三节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线性微分方程解的性质一、二阶常系数线性微分方程解的性质 二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法 三、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解三、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解 方法方法

20、 定定义义 1 1 形形如如 0 qyypy 的的方方程程（其其中中qp,为为常常数数）, ,称称为为二二阶阶常常系系数数齐齐次次线线性性微微分分方方程程. . 定定理理 1 1（齐齐次次线线性性方方程程解解的的叠叠加加原原理理） 若若21, yy是是齐齐次次线线性性方方程程的的两两个个解解, ,则则2211yCyCy也也是是的的解解, ,且且当当1y与与2y线线性性无无关关时时, ,2211yCyCy就就是是方方程程的的通通解解. . 一、二阶常系数线性微分方程解的性质一、二阶常系数线性微分方程解的性质)()()(221122112211yCyCqyCyCpyCyC )()(22221111

21、qyypyCqyypyC 00021CC 所以所以2211yCyCy是方程是方程0 qyypy的解的解. . 由于由于1y与与2y线性无关线性无关, ,所以所以, ,任意常数任意常数 1C和和 2C是两个是两个独立的任意常数独立的任意常数, ,即解即解 2211yCyCy中所含独立的任意中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同常数的个数与方程的阶数相同, ,则它是方程的通解则它是方程的通解, ,证毕证毕. . 证证 将将2211yCyCy直直接接代代入入方方程程的的左左端端, ,得得 称称 0 qyypy 为为方方程程所所对对应应的的齐齐次次方方程程. . 定定理理 2 2 （非非齐齐次次线

22、线性性方方程程解解的的结结构构）若若py为为非非齐齐次次线线性性方方程程的的某某个个特特解解, ,cy为为齐齐次次线线性性方方程程的的通通解解, ,则则 pcyyy为为非非齐齐次次线线性性方方程程之之通通解解. . 定义定义 2 2 形如形如 )(xfqyypy 的方程的方程 （其中（其中q, ,p为常数）为常数）, , 称为二阶常系数非齐次称为二阶常系数非齐次线性微分方程线性微分方程. . 又又因因为为cy中中含含有有两两个个独独立立的的任任意意常常数数, ,所所以以 pcyyy中中也也含含有有两两个个独独立立的的任任意意常常数数, ,故故pcyyy为为方方程程的的通通解解. . 这这就就是

23、是说说, , pcyyy确确为为方方程程的的解解. . )()()(cpcpcpyyqyypyy )()cccpppqyypyqyypy （ )(0)(xfxf 证证 将将pcyyy代入方程的左端有代入方程的左端有 由齐次线性方程解的叠加原理知，欲求齐次线性由齐次线性方程解的叠加原理知，欲求齐次线性方程方程的通解的通解, ,只须求出它的两个线性无关的特解即只须求出它的两个线性无关的特解即可可. . 令令y= =rxe为为方方程程的的解解, ,并并代代入入方方程程得得 0eee2rxrxrxqprr 因因为为erx0, ,所所以以有有 02qprr 该该方方程程称称为为微微分分方方程程的的特特征

24、征方方程程, ,称称方方程程的的根根为为特特征征根根. . 二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法(1) (1) 当特征方程当特征方程有两个不同的实根有两个不同的实根 1r和和 2r时时, ,则方程则方程有两个线性无关的解有两个线性无关的解 11= er xyx, , 22= er xyx此此时时, ,方程有通解方程有通解 1212eer xr xyCC. . ( (2 2) )当当特特征征方方程程有有两两个个相相同同的的实实根根时时, ,即即rrr21 , ,方方程程只只有有一一个个解解 1= erxyx, ,这这时时直直接接验验证证可可知知 2=

25、erxyx是是方方程程的的另另一一个个解解, ,且且 1y与与 2y线线性性无无关关, ,所所以以, ,此此时时有有通通解解 rxrxrxxCCxCCyeee)(2121 . （3 3）当当特特征征方方程程有有一一对对共共轭轭复复根根时时, ,即即ir（其其中中,均均为为实实常常数数且且0）, ,此此时时方方程程有有两两个个线线性性无无关关的的解解(i )1=exy和和(i )2= exyx, ,故故方方程程的的通通解解为为 )i()i(eexxxxBAy )ee(ei -ixxxBA sinicosei, ,还还可可得得到到实实数数形形式式 的的 通通 解解 )sincos(e21xCxCy

26、x. 其其 中中)(,21BACBAC（读读者者自自证证）. .通通常常情情况况下下, ,要要求求写写出出实实数数形形式式的的解解. . 利用欧拉公式利用欧拉公式 根根据据如如上上讨讨论论, ,求求二二阶阶常常系系数数齐齐次次线线性性微微分分方方程程的的通通解解的的步步骤骤为为： 第一步第一步, ,写出微分方程的特征方程写出微分方程的特征方程02qprr； 第二步第二步, ,求出特征根求出特征根； 第三步第三步, ,根据特征根的情况按下表写出所给微分方根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解程的通解. . 特征方程的解 通解形式 两个不等实根21rr 1212eer xr xyCC 两个相

27、等实根 rrr21 12erxyCC x 一对共轭复根 ir xCxCyxsincose21 例例 1 1 求求方方程程065 yyy的的通通解解. . 解解 方方程程065 yyy的的特特征征方方程程为为 0652 rr, 其其特特征征根根为为 3, 221rr, 所所以以 213221(CCCCyxx，ee为为任任意意常常数数） 为为所所给给微微分分方方程程的的通通解解. . 例例 2 2 求求方方程程02 yyy的的通通解解 . . 解解 方程的方程的02 yyy的的特征方程为特征方程为 0122 rr, , 其特征根其特征根121rrr（二重特征根）（二重特征根）, ,故所求通解为故所

28、求通解为 xxCCye )(21. . 例例 3 3 求方程求方程032 yyy满足初始条件满足初始条件1)0(, 1)0(yy的特解的特解 . . 解解 032 yyy的的特特征征方方程程为为0322 rr, ,所所以以, ,特特征征根根2i1, 2i121rr. .所所以以, ,所所给给微微分分方方程程的的通通解解为为 )2sin2cos(21xCxCyxe, 由初始条件由初始条件1)0(y, ,得得11C，又因为，又因为 2ecos2esin2e(cos22sin2 )xxxyxCxxx 2e( sin22cos2 )xCxx, , 由由1)0( y得得2211C, ,从而得从而得22C

29、. 由非齐次线性方程解的结构定理可知由非齐次线性方程解的结构定理可知, ,求非齐次方程求非齐次方程的通解的通解, ,可先求出其对应的齐次方程的通解可先求出其对应的齐次方程的通解, ,再设法再设法求出非齐次线性方程的某个特解求出非齐次线性方程的某个特解, ,二者之和就是方程二者之和就是方程之通解之通解. . 二二阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程)(xfqyypy 特特解解确确定定 1.1.若若xmxPxfe )()(，其中，其中 为常数为常数, , mP为为 x 的的 m 次多次多项式项式, ,即即011)(axaxaxPmmmmm , ,则方程为则方程为 xmxPqyypy

30、e )( 设设方方程程有有形形如如xpxQye )(的的解解, ,其其中中)(xQ是是一一个个待待定定多多项项式式. . 三、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解三、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解 方法方法为为使使 xpxQye )( 满满足足方方程程, ,将将xpxQye )(代代入入方方 程程, ,整整理理得得 )()()()2()(2xPxQqpxQpxQm( 上上式式右右端端是是一一个个m次次多多项项式式, ,所所以以, ,左左端端也也应应该该是是m次次多多项项式式, ,由由于于多多项项式式每每求求一一次次导导数数, ,就就要要降降低低一一次次次次数数, ,故故有有三三种种情情形形：

31、 (1)(1) 当 时当 时02qp, , 即即 不 是 特 征 方 程不 是 特 征 方 程02qp的根时的根时, ,式左边式左边)(xQ与与 m次多项式次多项式)(xPm的次数相同的次数相同, ,所以所以, , Q)(x为一个为一个 m次待定多项次待定多项式式, ,可设可设 110)(mmxbxbxQ)(1xQbxbmmm 其中其中mbbb,10 为为1m个待定系数个待定系数, ,将式代入式将式代入式, ,比比较等式两边同次幂的系数较等式两边同次幂的系数, ,就可得到就可得到mbbb,10 为未知为未知数 的数 的1m个 线 性 方 程 的 联 立 方 程 组个 线 性 方 程 的 联 立

32、 方 程 组 , , 从 而 求 出从 而 求 出mbbb,10 , ,即确定即确定 )(xQ于是可得方程的一个特解为于是可得方程的一个特解为py= =xxQe )(. . (2)(2)当当02qp, ,但但02 p时时, ,即即 为特征方程为特征方程02qp的单根的单根, ,那么式成为那么式成为)(2(xPQp)Qm, ,由此可见由此可见, , Q与与)(xPm同次幂同次幂, ,故应设故应设 ( )( )mQ xxQx, , ( (3 3) )当当02qp且且02 p时时, ,即即 是是特特征征方方程程 02qprr的的 特特 征征 重重 根根 时时 , , 式式 变变 为为)()(xPxQ

33、m, ,此此时时应应设设 )()(2xQxxQm. . 将它代入方程将它代入方程, ,便可确定便可确定)(xQm的系数的系数, ,即可得即可得方程方程的一个特解为的一个特解为 xmpxQxye )(2. 其中其中)(xQm为为m次待定多项式次待定多项式, ,同样将它代入式同样将它代入式即可即可求得求得)(xQm的的1m个系数个系数, ,从而得到方程的一个特从而得到方程的一个特解解. . 综综上上所所述述, ,我我们们有有如如下下结结论论： 二二阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程 xmxPqyypye )( 具具有有特特解解形形如如 xmkpxQxye )( 其中其中)(xQm

34、为为m次多项式次多项式, ,它的它的1m个系数可由式个系数可由式中中的的)(xQxQ(x)mk代入式代入式而得而得, ,式式中的中的k确定如下：确定如下： 0,1,2不是特征根,不是特征根,是特征单根,是特征单根,， 是特征重根.， 是特征重根.k 2 2. . xxPxfaxmcos)()(e或或xxPxfaxmsin)()(e, , 其其中中,为为实实数数, , )(xPm为为 m次次多多项项式式 此此时时方方程程变变为为 xxPqyypyaxmcos)(e 或或 xxPqyypyaxmsin)(e 此时此时, ,我们可先令我们可先令i仍用仍用 1 1 中所述方法确中所述方法确定方程定方程 xmxPpyyqy e )( 的解的解, ,则式的解可写成则式的解可写成21iyyy的形式的形式, ,且可证且可证: : y的实部的实部 1y即为方程的解即为方程的解; ; y的虚部的虚部 2y即为方程即为方程的解的解. . 例例 1 1 求方程求方程xxyyy2332e 的一个特解的一个特解. . 解解 由于方程由于方程xxyyy2332e 的非齐次项（也叫自的非齐次项（也叫自由项）由项）xxxf23)(e中的中的2不是特征方程不是特征方程0322 rr的根的根, ,故可令故可令 xpBAxy2)(e 将将BAxx)(Q代入式代入式(6)(6)（不是将（不是将 py直接代入原方