微积分8-习题课ppt课件

1、第第8 8章章 多元函数微分法多元函数微分法一一 主要内容主要内容二二 典型例题典型例题1 1、多元函数、多元函数一、主要内容一、主要内容2 2、多元函数的极限、多元函数的极限3 3、多元函数的连续性、多元函数的连续性4 4、偏导数、偏导数5 5、全微分、全微分多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续 函数可微函数可微函数可偏导函数可偏导6 6、复合函数求导法则、复合函数求导法则7 7、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则8 8、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用9 9、方向导数和梯度、方向导数和梯度1010、多元函数的极值、多元函

2、数的极值1 1、区域、区域 设设),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一个个点点， 是是某某一一正正数数，与与点点),(000yxP距距离离小小于于 的的点点),(yxP的的全全体体，称称为为点点0P的的 邻邻域域，记记为为),(0 PU，（1邻域邻域),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域（2区域区域（3聚点聚点 设设 E 是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，P 是平面上的是平面上的一个点，如果点一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集多个点属于点集

3、 E，则称，则称 P 为为 E 的聚点的聚点.（4n维空间维空间 设设n为取定的一个自然数，我们称为取定的一个自然数，我们称n元数组元数组),(21nxxx的全体为的全体为n维空间，而每个维空间，而每个n元数元数组组),(21nxxx称为称为n维空间中的一个点，数维空间中的一个点，数ix称为该点的第称为该点的第i个坐标个坐标. 设设D是是平平面面上上的的一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点DyxP ).(，变变量量z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定的的值值和和它它对对应应，则则称称z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数，记记为为),(yxfz （或或记记为为)(Pfz

4、）. .2 2、多元函数概念、多元函数概念定义定义当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数定义定义 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为,D),(000yxP是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总存在，总存在正 数正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切点，都有点，都有 |),(|Ayxf成立，则称成立，则称A为函数为函数),(yxfz 当当0 xx ，0yy 时的极限，时

5、的极限，记为记为 Ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf这里这里|0PP ）. .3 3、多元函数的极限、多元函数的极限说明：说明：（1定义中定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2二元函数的极限也叫二重极限二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3二元函数的极限运算法则与一元函数类似二元函数的极限运算法则与一元函数类似4 4、极限的运算、极限的运算).0()()().3(;)()().2(;)()().1(,)(,)(0 BBAPgPfBAPgPfBAPgPfBPfAPfPP则则时，时，设设5 5、多元函数的连续性、多元函数的连续性

6、定义定义 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0, PD是是其聚点且其聚点且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 则称则称n元函数元函数)(Pf在点在点0P处连续处连续. . 设设0P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(Pf在在点点0P处处不不连连续续，则则称称0P是是函函数数)(Pf的的间间断断点点. 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值

7、，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介上取得介于这两值之间的任何值至少一次于这两值之间的任何值至少一次（1最大值和最小值定理最大值和最小值定理（2介值定理介值定理6 6、多元连续函数的性质、多元连续函数的性质定定义义 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义，当当y固固定定在在0y而而x在在0 x处处有有增增量量x 时时，相相应应地地函函数数有有增增量量 ),(),(0000yxfyxxf ，如如果果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处对对x的

8、的偏偏导导数数，记记为为7 7、偏导数概念、偏导数概念同理可定义函数同理可定义函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导数，的偏导数， 为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy.00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.如如果果函函数数),(yxfz 在在区区域域D内内任任一一点点),(yx处处对对x的的偏偏导导数数都都存存在在，那那么么这这个个偏偏导导数数就就是是x、y的的函函数数，它它就就称称为为函函数数),(yxfz 对对自自变变量

9、量x的的偏偏导导数数， 记记作作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导的偏导数，记作数，记作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.、高阶偏导数、高阶偏导数),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数. 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量),

10、(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为)( oyBxAz ，其中，其中 A,B 不依赖于不依赖于yx ,而仅与而仅与yx,有关，有关，22)()(yx ，则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，可微分，yBxA 称为函数称为函数),(yxfz 在点在点),(yx的的全微分，记为全微分，记为dz，即，即 dz=yBxA .、全微分概念、全微分概念多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导1010、全微分的应用、全微分的应用,),(),(yyxfxyxfdzZyx .),(),(),(

11、),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 有有很很小小时时当当,yx 主要方面主要方面:近似计算与误差估计近似计算与误差估计.1111、复合函数求导法则、复合函数求导法则定理如果函数定理如果函数)(tu 及及)(tv 都在点都在点t可可导，函数导，函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏导具有连续偏导数，则复合函数数，则复合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点t可可导，且其导数可用下列公式计算：导，且其导数可用下列公式计算： dtdvvzdtduuzdtdz 以上公式中的导数以上公式中的导数 称为全导数称为全导数.dtdz 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在

12、点点),(yx具具有有对对x和和y的的偏偏导导数数，且且函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有连连续续偏偏导导数数，则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 在在对对应应点点),(yx的的两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公式式计计算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .1212、全微分形式不变性、全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中的函数或中间变量间变量 的函数，它的全微分形式的函数，它的全微分形式是一样的是一样的.zvu、vu、dvvzduuzdz .0),()1( yxF隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设

13、函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),( yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隐函数的求导公式隐函数的求导公式1313、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点,(0 xP),00zy的某一邻域内有连

14、续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则方程,(yxF0) z在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),()2( zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF隐函数存在定理隐函数存在定理 3 3 设设),(vuyxF、),(vuyxG在在点点),(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续的某

15、一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且偏导数，且0),(0000 vuyxF, ,),(0000vuyxG0 ，且偏导数所组成的函数行列式，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（或称雅可比式）式） vGuGvFuFvuGFJ ),(),(在点在点),(0000vuyxP不等于零，则方程组不等于零，则方程组 0),( vuyxF、 0),( vuyxG在点在点),(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数组单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu ，),(yxvv ，它们满足条件，它们满足条件),(000yxuu , ,vv 0)

16、,(00yx，并有，并有,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 1414、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用切线方程为切线方程为.)()()(000000tzztyytxx 法平面方程为法平面方程为. 0)()()(000000 zztyytxxt (1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面).(),(),(:tztytx ()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线.

17、0),(: zyxF 切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为法线方程为.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 1515、方向导数、方向导数.),(),(lim0 yxfyyxxflf 的的方方向向导导数数沿沿方方向向则则称称这这极极限限为为函函数数在在点点在在，时时，如如果果此此比比的的极极限限存存趋趋于于沿沿着着当当之之比比值值，两两点点间间的的距距离离与与函函数数的的增增量量定定义义lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 记为记为定

18、理如果函数定理如果函数),(yxfz 在点在点),(yxP是可微分是可微分的，那末函数在该点沿任意方向的，那末函数在该点沿任意方向 L L 的方向导数都的方向导数都存在，且有存在，且有 sincosyfxflf ， 其中其中 为为x轴到方向轴到方向 L L 的转角的转角.),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 三元函数方向导数的定义三元函数方向导数的定义（ 其其中中222)()()(zyx ）定义定义 设函数设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域 D 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP ),(，都可定出一个向量都可定出一个向量jyfixf

19、 ，这向量称为函数，这向量称为函数),(yxfz 在点在点),(yxP的梯度，记为的梯度，记为 ),(yxgradfjyfixf .梯度的概念梯度的概念 函函数数在在某某点点的的梯梯度度是是这这样样一一个个向向量量，它它的的方方向向与与取取得得最最大大方方向向导导数数的的方方向向一一致致,而而它它的的模模为为方方向向导导数数的的最最大大值值梯梯度度的的模模为为 22| ),(| yfxfyxgradf.梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系1616、多元函数的极值、多元函数的极值 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，对对于于该该邻邻域域内内异异

20、于于),(00yx的的点点),(yx：若若满满足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ，则则称称函函数数在在),(00yx有有 极极 大大 值值 ； 若若 满满 足足 不不 等等 式式),(),(00yxfyxf ，则则称称函函数数在在),(00yx有有极极小小值值；定义定义极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然

21、为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件 定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点函数的驻点. .极值点极值点注意注意驻点驻点定定理理 2 2（充充分分条条件件）设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内连连续续，有有一一阶阶及及二二阶阶连连续续偏偏导导数数，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条

22、件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时有极值，时有极值， 当当0 A时有极大值，时有极大值， 当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值. .求求函函数数),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤：第一步第一步 解方程组解方程组, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出实实数数解解，得得驻驻点点.第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值CBA、.第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.拉拉

23、格格朗朗日日乘乘数数法法 要要找找函函数数),(yxfz 在在条条件件0),( yx 下下的的可可能能极极值值点点，先先构构造造函函数数),(),(),(yxyxfyxF ，其其中中 为为某某一一常常数数，可可由由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标.条件极值：对自变量有附加条件的极值条件极值：对自变量有附加条件的极值二、典型例题二、典型例题例例解解.)(lim2200yxxxyyx 求极限求极限)0(,sin,cos yx令令. 0)0 , 0(),( 等价于等价于则

24、则yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 . 0)(lim2200 yxxxyyx故故思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx讨论讨论.证证令令,cos x,sin y那那么么22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故故函函数数在在点点)0 , 0(连连续续, )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf当当)0 , 0(),

25、( yx时时， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0 , 0(时时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.所所以以),(yxfx在在)0 , 0(不不连连续续.同理可证同理可证),(yxfy在在)0 , 0(不连续不连续.)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx 2222(0,0)(0,0)0()()0)()()xyffxfyxyxy 故故),(yxf在点在点)0 , 0(可微可微. 0)0,0( df例例解解，具有

26、二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设)(),(3fxyxyfxz yz2214fxfx 22yz,222123115fxfxfx 2x .,222yxzyzyz 求求3xxf1( )12xf 4xxf11( )112xf xf21( )122xf yxz2134fx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx 2214fxfxyz 2x 4x 22xf),(3xyxyfxz xyz 2yf11 )(212xyf yf21 )(222xyf 例例解解).1(),(,(,()(,)1 , 1(,)1 , 1(, 1)1 , 1(,),(2 求求，可微可微xxfxfxfxb

27、faffyxfyx ),(,(,(2)(xxfxfxfx ),(,(,(),(,(,(21xxfxfxfxxfxfxf ),(,(),(,(21xxfxfxxfxf),(),(21xxfxxf )(12)1(bababa )(232bababa . 0),(, 0),(),()(zxhzyxgyxfuxu由方程组由方程组设函数设函数解解例例, 0, 0, zhyg且且所确定所确定.ddxu求求法法1 13 3个方程个方程, 4, 4个变量的方程组个变量的方程组, , )(),(),(xzzxyyxuu 确定了确定了3 3个个1 1元函数元函数: : xudd方程组两方程组两边对边对x求导求导

28、xgxhxfxyfydd xygydd xzgzdd 0 xzhzdd 0 xudd得得由由)3(得得代入代入)2(得得代入代入)1( xgxh,ddzxhhxz ,ddyxzyxzgghghgxy .ddzyxzyyxyxhghgfggffxu xfxyfydd )1(xygydd xzgzdd 0 )2(xzhzdd 0 )3(解解 法法2 2方程组两边微分方程组两边微分, , 得得yfxfuyxddd 0ddd zgygxgzyx0dd zhxhzx.ddxhhzzx )dd(1dzgxggyzxy xhhgggyzxzxyd)(1d . 0),(, 0),(),()(zxhzyxgyx

29、fuxu由方程组由方程组设函数设函数, 0, 0, zhyg且且所确定所确定.ddxu求求 . 0),(, 0),(),(zxhzyxgyxfu, 0, 0 zhyg.ddxu求求yfxfuyxddd xhhgggyzxzxyd)(1d xhghgfggffuzyxzyyxyxd)(d zyxzyyxyxhghgfggffxu dd解解点的最大方向导数点的最大方向导数在在并求并求方向导数方向导数的法向量的的法向量的点点在在面面处沿曲处沿曲在点在点求求MuMezeyexeeMzxeuuvvuvuy,:), 1 ,()ln(222 例例,nM的的法法向向量量为为设设曲曲面面在在把把v看成常数，看成

30、常数，u看成变量，得到曲面上的看成变量，得到曲面上的u曲线曲线,uTMu的的切切向向量量为为曲曲线线在在若若nTu 则则nTTMvvv 则则的的切切向向量量为为曲曲线线在在,同理同理,把把 u看成常数看成常数, v看成变量，得到曲面上的看成变量，得到曲面上的v曲线曲线11),( vuuvvuvuuveeeT), 1 ,(2ee )1, 0 ,11()cos,cos,(cos22eee 11),( vuuvvuvuuveeeT), 1 ,(2ee 11),( vuuvvuvuvueeeT), 1,(2ee )(vuTTn eeeekji1122)2, 0 ,2(2ee ), 0 , 1(/e 处

31、处的的方方向向导导数数为为在在点点 M coscoscosMMMMzuyuxunu )1, 0 ,11()cos,cos,(cos22eee ), 1 ,(, )ln(222eeMzxeuy点点 cos2cos)ln(2cos222222MyMyMyzxzezxezxe )1211(22222222eeeeeeeeee 22411) 11(eee Muu)grad( 22242124ln411eeee Mu|grad| 处的最大方向导数处的最大方向导数在点在点求求), 1 ,()ln(222eeMzxeuy 沿梯度方向的方向导沿梯度方向的方向导数为最大方向导数数为最大方向导数, 其值为梯度的模

32、其值为梯度的模.MMzu,yu,xuu gradMyyyzxzezxezxe)2),ln(2,(222222 )22,ln22,2(222222eeeeeee )1,2ln2,21(3224eeee )(xyxfz 曲面曲面解解),(000zyxM 2xyxyfxxyfzx xyfxyxyfxxyfxzy1 xyf那么那么 1),(),()(00000000 xyfxyfxyxyfn设曲面上的任意点为设曲面上的任意点为且在此点的且在此点的法向量法向量上的任意一点处的切平面上的任意一点处的切平面都过原点都过原点. .Myxzzn)1,( 例例那么那么切平面方程为切平面方程为: :)()()()(

33、0000000000yyxyfxxxyfxyxyf 0)(0 zz0)()()(00000000 zyxyfxxyfxyxyf显然显然,(0,0,0),(0,0,0)满足切平面方程满足切平面方程 1),(),()(00000000 xyfxyfxyxyfn)(xyxfz 曲面曲面上的任意一点处的切平面都过原点上的任意一点处的切平面都过原点. .2222 zyxyxz与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面例例解解,),(22上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设yxzzyxP 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法. .法法1 1之间的最短距离之间的最短距离,022dzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则

34、.2261 zyxd满足满足最小最小22)22(61 zyxd,2261最小时最小时当当 zyxd022 zyx),()22(61),(222yxzzyxzyxL 令令解此方程组得解此方程组得得得.81,41,41 zyx2222 zyxyxz与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面之间的最短距离之间的最短距离)1(, 02)22(31 xzyxLx )2(, 02)22(31 yzyxLy 1(22)( 2)0,(3)3zLxyz )4(,22yxz 最小最小即即)22(61(22 zyxd.647241414161min d),81,41,41(即得唯一驻点即得唯一驻点根据题意距离的最小值一定

35、存在根据题意距离的最小值一定存在, ,且有且有故必在故必在取得最小值取得最小值. .唯一驻点唯一驻点, ,)81,41,41(2261 zyxd2222 zyxyxz与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面之间的最短距离之间的最短距离 设设P(x, y, z)为旋转抛物面为旋转抛物面 22yxz 22),(yxzzyxF ,2xFx ,2yFy 1 zF211212 yx,41 y81 z,41 x.647 法向量法向量2261min zyxd2812414161 上的任一点上的任一点.)1 ,2,2(yxn )2, 1 , 1( 2222 zyxyxz与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面之间的最

36、短距离之间的最短距离法法2 2 例例 两种产品两种产品A1 ， A2，其年需要量分别为，其年需要量分别为1200件和件和2000件件,分批生产分批生产,每批生产准备费分别为每批生产准备费分别为40元和元和70元元. 每年每件产品的库存费为每年每件产品的库存费为0.15元元,按批按批量的一半收库存费量的一半收库存费,若两种产品的总生产能力为若两种产品的总生产能力为1000件件,试确定最优批量试确定最优批量Q1 ， Q2，使生产准备，使生产准备费与库存费之和最小费与库存费之和最小.解：总费用函数解：总费用函数( ( 库存费与生产准备费的和库存费与生产准备费的和) )为为: :;215.0215.0

37、200070120040),(212121QQQQQQF 100021 QQ);1000(215.0215.0200070120040),(21212121 QQQQQQQQG 000010075. 01400000075. 04800021222211QQGQQGQQG 631,369:21 QQ解解得得唯唯一一一一组组解解最优批量最优批量Q1 =369 ，Q2 =631 ，生产准备费，生产准备费与库存费之和最小与库存费之和最小.2019年考研数学年考研数学(一一), 7分分 例例 设有一小山设有一小山,取它的底面所在的平面为取它的底面所在的平面为xOy坐标坐标面面,其底部所占的区域为其底部所占的区域为,75),( 22 xyyxyxD 小山的高度函数为小山的高度函数为.75),(22xyyxyxh (1) 设设M(x0 , y0)为区域为区域D上一点上一点,问问h(x, y)在该在该点沿平面上什么方向的方向导数最大点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数若记此方向导数的最大值为的最大值为g(x0 , y0),试写出试写出g(x0 , y0)的表达式的表达式. (2) 现欲利用此小山开展攀岩活动现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登