概率论与数理统计总复习-ppt课件

1、: sdibtgltj163概率论与数理统计目 录CH1 随机事件与概率CH2 随机变量及其概率分布CH3 二维随机变量及其概率分布CH4 随机变量的数字特征CH5 大数定律与中心极限定理CH6 抽样分布CH7 参数估计CH8 假设检验1.1 随机事件1.2 随机事件的概率1.3 概率的运算法那么1.4 全概率公式与贝叶斯公式1.5 独立性 CH1 随机事件与概率一一. 随机事件随机事件1.随机实验的样本空间2.随机事件根本、复合、3.事件的关系7个关系,包含-并-交-互斥-差-对立-完备4.事件的运算4个定律:交换,结合,分配,对偶律5. A+B的分解BAABABBABAABBA1.统计定义

2、(频率的稳定性)2.公理化定义(3个公理:非负,规范,可列可加)3.古典定义(古典概型,计算公式,四个模型)二. 随机事件的概率nmAP)(mnAmnCmn4.陈列组合三三. 概率的计算概率的计算 )AB(P)B(P)A(P)BA(P)AB(P)B(P)AB(P)AB(P)A(P)AB(P)BA(P)B(P 12121312121nnnAAAAPAAAPAAP)A(P)AAA(PB, )A|B(P)A(P)B(Piii1j,)A|B(P)A(P)A|B(P)A(P)B|A(Piiijjj11.古典概率2.加法公式：并3.减法公式：差4.乘法公式：交5.全概率公式：分解6.贝叶斯公式nm)A(P

3、n , ,k ,qpC)k(Pknkknn10110qp,q ,p四四. 概率模型概率模型1.古典概型： 摸球、放球、随机取数、配对2. n重伯努利概型：)AA(Pn1)AA(P)AA(P)AA(Pnnn11111五五. 概念概念六六. 注注ABP)()(APABP)B(P)A(P)AB(P1.条件概率2.独立性3.4.2.有放回、无放回1.互斥与对立、独立2.1 随机变量的概念2.2 离散型随机变量2.3 延续型随机变量2.4 随机变量的分布函数2.5 正态分布2.6 随机变量函数的分布CH2 随机变量及其概率分布一一.离散型离散型r.v.1.概率分布律2个性质2.分布函数4个性质3.分布律

4、与分布函数互求4.求概率2个工具：分布律、分布函数5.常见分布50-1,二项,超几何, 泊松,几何, 2, 1,)(kpxXPkkx),xX(P)x(FBxkBxkkkp)xX(P)BX(P最能够取值，极限分布，泊松定理最能够取值，极限分布，泊松定理)()(aFbF)(bXaP二二.延续型延续型r.v.1.概率密度2个性质2.分布函数4个性质,意义3. 密度函数与分布函数互求4.求概率2个工具：密度、分布函数5.常见分布4(均匀,指数,柯西,正态及规范化)x(pxt) t ( p)x(Fxd)x(F)x(pBdx)x(p)BX(P无记忆性X N ( , 2) ),(NX103公式公式,查表查表

5、)()(aFbF)(bXaP三三.r.v.函数的分布函数的分布 Y = f ( X )1.离散型: 列举法2. 延续型：分布函数法)y(FY)y( h)y( F)y(pYYy)x(fdx)x(pX)y(h)y)X(f(P)yY(PX N ( ,2) , Y = a X +b N ( a +b, a22 )结论结论3.1 二维随机变量及其分布函数3.2 二维离散型随机变量3.3 二维延续型随机变量3.4 条件分布3.5 随机变量的独立性3.6 二维随机变量函数的分布CH3 二维随机变量及其概率分布一一. 二维离散型二维离散型r.v.1. 结合分布律2个性质2.结合分布函数5个性质3.结合分布律与

6、结合分布函数关系yYxXPyxF,),(,p)yY ,xX(Pijji,),(xxyyijijpyxF4. 边缘分布律与边缘分布函数5.求概率2个工具：分布律、分布函数)x(FX),( xF)y(FY),(yF D)y ,x(ijjip)D)Y ,X(P,i,pjij211jp ip,j,piij2116.结合与边缘分布律表111pjp11 ipijppip jp1p jp1piyjy1结合分布律及边缘分布律结合分布律及边缘分布律xix1XY 二二. 二维延续型二维延续型r.v.1. 结合密度2个性质2. 结合分布函数5个性质3.结合密度与结合分布函数关系4.边缘密度与边缘分布函数 xydvd

7、u)v ,u(p)y, x(Fp(x,y)y, x(pyx)y, x(F2dy)y, x(p)x(pXdx)y, x(p)y(pY)x(FX),( xF)y(FY),(yF 5.求概率2个工具：密度、分布函数6.常见分布 (二维均匀,二维正态分布 )D)Y,X(PDdxdy)y, x(p其它,D)y, x(,S)y, x( p)Y ,X(D01( X ,Y ) N(1,12;2,22; ),(NX211),(NY2220XYX，Y相互独立二维正态结论二维正态结论(1)(2)X ,Y 相互独立),(),(222211NYNX那么),(222121NYX(3)(3)三三. 随机变量的独立性随机变量

8、的独立性1.二维离散型:结合分布律=边缘分布律的乘积2.二维延续型:结合密度=边缘密度的乘积3.二维随机变量二维随机变量: 结合分布结合分布=边缘分布的乘积边缘分布的乘积4.结论结论:)()(),(yFxFyxFYXRy , xjiijppp)y(p)x(p)y , x( pYXRy , xj , iX ,Y 相互独立,那么 u ( X ) , v (Y ) 也相互独立.四四. 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 Z = f ( X,Y )1.二维离散型：列举法,可加性泊松，二项2.二维延续型：分布函数法)()(zZPzFZ),(zYXgP)z( hdxdy)y, x(pz)y ,

9、x(g)z( h)z( F)z(pZZdx)xz , x(p)z(pZdy)y, yz(p)z(pZ) 1 (z) 2 (z)3 (zdx)xz(p)x(p)z(pYXZdy)y(p)yz(p)z(pYXZ) 4(z公式法：公式法：Z=X+Y卷积公式卷积公式3.几个结论：二维正态，极值的分布假设X ,Y 相互独立,),(),(222211NYNX那么),(222121NYXnXXX,21相互独立相互独立nixFXiii, 2 , 1),(设设,min,max2121nnXXXNXXXM那么niiNniiMvFvFuFuF11)(1 (1)()()(1)(1)(2)(2)4.1 数学期望4.2

10、期望的性质与随机变量函数 的期望4.3 方差4.4 协方差与相关系数CH4 随机变量的数字特征一.期望：1kkkpxEXdx)x(xpEX1iiip)x(f)X(f(E)Y(Edx)x(p)x(f11ijijjip)y,x(f)Y ,X(f(EEZ dxdy)y, x(p)y, x(fr.v.依概率取值的平均，均值E (X + Y ) = E X + E Y 1.意义意义2.定义定义3.性质性质4. r.v.函数的期望函数的期望二.方差D X = E ( X EX )2 22)()(EXXEDX描画 r.v. X 的取值偏离平均值的平均偏离程度)EYY)(EXX(EDYDX)YX(D22.定义

11、定义4.性质3.常用公式1.意义意义:DYDX)YX(DX,Y 独立时三.协方差与相关系数：)EYY)(EXX(E)Y ,Xcov(DYDX)Y,Xcov(XYEYEX)XY(E)Y ,Xcov(1.协方差协方差1|XY1|XY)b ,b ,a()bXaY(P01均常数2.相关系数相关系数0XYX, Y 不相关不相关|XY越大, X,Y线性相关程度越强 不相关与独立的关系不相关与独立的关系概率意义：概率意义：四四.方法：分解法求期望、方差方法：分解法求期望、方差niinii)X(EXE11niinii)X(DXD11nXX,1相互独立常见离散常见离散r.v.的期望与方差的期望与方差p1分布期望

12、概率分布参数p的0-1分布q)X(P,p)X(P01pB(n,p)nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0)1 ()(npP(), ,k,!ke)kX(Pk210G(p),k ,pq)kX(Pk211方差pqnpq2pq分布期望概率密度U(a,b)其它, bxa,ab)x( p012baE()其它,x,e)x(px001N(, 2)22221)x(e)x(p柯西分布 不存在)x()x(p211Rx , Rx , 方差122)ab( 212不存在常见延续常见延续r.v.的期望与方差的期望与方差CH5 大数定律与中心极限定理5.1 切比雪夫不等式5.2 大数定律5.3 中心极限定理20DX

13、)|EXX(|P或21DX)|EXX(|P一一. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式(估计事件的概率估计事件的概率)01,)|aX(|Plim:aXnnPn依概率收敛1.切比雪夫niiPniiEXnXn1111二二. .大数定律大数定律2.辛钦PniiXn11意义：以样本均值近似替代总体均值3.贝努利pnXP意义：频率依概率收敛于概率意义：频率依概率收敛于概率)n,n(NXnii21近似),(NnnXnii101近似)n,(NXnnii211近似三三.中心极限定理中心极限定理1.X B( n , p)npq,np(NX近似当n无穷大时 当n很大，p很小，np不大时)np(PoiX近似2. 二项分布的

14、近似6.1 总体和样本6.2 统计量6.3 抽样分布 CH6 抽样分布nXXX,21一. 概念1.总体X2.样本独立同总体分布3.统计量：不含未知参数的样本函数样本均值样本均值niiXXnS12211(2)样本方差样本方差S(3)样本规范差niiXnX11(1)nii)XnX(n12211nikikXnA11(4)样本的样本的k 阶原点矩阶原点矩nikikXXnB11(5)样本的k 阶中心矩1. 1. 正态分布正态分布XnXnii11n,N2二二. . 抽样分布抽样分布(1)10,NnXU(2)(2)1022212121,Nnn)()YX(UnXXX,21),(NX22SX-2-1120.10

15、.20.30.4z -2-1120.10.20.30.4/2 /2 z/2-z/2zXP2zXP212)z(上侧 分位点双侧 分位点X N 0，1 (3)(3)分位数分位数2.2. 卡方分布卡方分布),(NiidX,X,Xn1021 niinX1222)( n)n(D,n)n(E222可加性可加性2SX 与相互独立221Sn)n(12(1)(1)定义定义(2)性质性质(3)统计量统计量2(n)(4)(4)上上分位数分位数)(22)n()n(P)x(p)n(2(查附表3)3. t 3. t 分布分布)n( tnYXT ),(, ) 1 , 0 (2nYNX)n( tnSXT1(1)(1)定义定义

16、(2)统计量统计量)nn( tnnnnS )n(S )n()()YX(T21121121212122221121)n(t)n( tP/2)x(p)n( t/2(3)(3) 双侧双侧 分位数分位数(查附表查附表4)X, Y 相互独立4. F 4. F 分布分布),n(Y),n(X2212X,Y 相互独立)n,n(Fn/Yn/XF2121(1)定义定义(2)统计量统计量)n,n(F)n,n(F12211)n ,n(FSS112122222121(3)(3)上上分位数分位数( (查附表查附表5)5)n,n(F)n,n(F(P2121)n,n(F)n,n(F122111F(n1,n2)F1- (n1,

17、n2)x(p)n ,n(F217.1 点估计及其评选规范7.2 求点估计量的方法7.3 一个正态总体参数的区间估计 CH7 参数估计(1) 无偏性无偏性(3) 一致性(2) 有效性有效性一一. 评选规范评选规范)(E不具有不变性不具有不变性)()(21DD算术均值比加权均值更有效P具有不变性)(E)(E21EXX无偏、有效一致- - - - - - - - - - - - - - -DXS无偏一致- - - - - - - - - - - - - - -2结论结论二二. 求法求法1.矩法：总体矩存在用样本矩交换总体矩矩法：总体矩存在用样本矩交换总体矩),(g)X(Eaklll21k ,l1)a ,a ,a(hkll21)a ,a ,a(hkll21步骤步骤nililXna11llEXa 用用替代替代得得 步骤步骤a.写总体分布c.求 L 的最大值点),; x( pk21b.写似然函数列似然方程组否那么，前往cniki),;x( p121021),(Llnkik ,i21),(Lk21 解得k,21方法方法极大似然估计值一次实验就出现的事件有较大的概率一次实验就出现的事件有较大的概率 2.极大似然估计法总体分布类型知极大似然估计法总体分布类型知注：具有一致性,有效性,不变性三.一个正态总体参数的区间估计121)(P1.置