常系数微分方程

1、常系数微分方程基本点v常系数线性微分方程及可化为这一类型的方程的解法-只须解解一个代数代数v某些特殊的非齐次微分方程也可通过代数运算和微分运算求得它的通解。掌握：v特征方程与特征根，及求常系数线性方程的通解v待定系数法与拉普拉斯变换法求非齐次线性方程的特解。4.2.1 复值函数与复值解复值函数v定义v极限与连续 v导数与微分 000lim ( )lim( )lim( )ttttttz ttit( )( )( ), , z ttita b其中 (t), (t)是定义在上的实函数.00lim ( )( )ttz tz t000000( )( )lim( )( )( ).ttz tz tz tttt

2、dz tz tdt存在,称在 处有导数(可微),记为或可微函数的性质可微函数的性质 1. 复值可微函数与实值可微函数一样具有线性性。复值可微函数与实值可微函数一样具有线性性。()2. , , (cossin).KtittKiteeetit 设这里为实数, 为实变量, 定义 1cos(+), 21 sin(-). 2ititititteetee则 1212()(1);(2 );(3),; ().K tK tKKtK tKtK tK tnK tnK tneeeeed eK etd tdeKed t其 中 为 实 变 量. , .3 , KtKiKite 设令=这里为实数,为实变量,则函数有如下性质

3、:1111( ).( )( )( ) (4.1)nnnnnndxdxdxatatat xftdtdtdt是方程的复值解, 则( )(1,., )ia t in都是实值函数( )( )( )xz ttit而定理定理8如果方程(4.2)中所有系数( )z t的实部 (t),虚部 (t)和共轭复值函数( )(4.2)z t 也都是方程的解.复值解：复值解：如果定义于区间a,b上的实值变量复值函数x=z(t)称为方程(4.1)的，如果1111( )( )( ) ( ).( )( ) ( )( )nnnnnnd z tdz tdz tatatat z tf tdtdtdtatb对 于恒 成 立 .和和有

4、复值解( )(1,., )( ), ( )ia t inu t v t这里及都是实( )( ),xU tiV t定理定理9 如果方程,UV函数 那么实部 (t)和虚部 (t)分别是方程1111 ( ).( )( )( )nnnnnnd xdxdxa tatat xv tdtdtdt的解.1111( ).( )( )( )( )nnnnnnd xdxdxatatat xu tiv tdtdtdt1111( ).( )( )( )nnnnnnd xdxdxa tatat xu tdtdtdt4.2.2 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程常系数齐次线性微分方程和欧拉方程 定义：定义：设齐次线性微分方程

5、中所有系数都是常数，即1111111111 ( .) .(),().tttttnntttnnnnnnnnnnnnxeL xdddLaaadtdtdeeeeeeFeaFtaaaaa将代 入得其 中(1)1111.0 (4.19)nnnnnndxdxdxL xaaa xdtdtdt解法解法 ：用欧拉待定系数法求方程：用欧拉待定系数法求方程(4.19)的基本解组的基本解组.12,.,naaa其中是实常数. 称(4.19)为n阶常系数齐次线性微分方程.111.0 (4.21)( )(2) nnnnaaFa求方程的-称为方(4.21)程的,相应地称为方程(4.根(4.19)19)的特征根特征方程. (3

6、)根据特征根的不同情况分别进行讨论根据特征根的不同情况分别进行讨论: 特征根是单根的情形特征根是单根的情形. 1212,.,(4.21) ,., (4.22)nntttnneee 设是特征方程的 个彼此不相等的根,则方程(4.19)有如下 个解: 如果特征根有复根，由于方程如果特征根有复根，由于方程(4.19)的系数为实常数，因此复的系数为实常数，因此复根总是成对出现的。根总是成对出现的。11 cos, sinttiietet设是一特征根,则也是特征根,可求得与之对应的两个实解代替对应的两个复值解:1111111.0 (4.19)().0 (4.21)nnnnnnnnnndxdxdxL xaa

7、a xdtdtdtFaaa 特征根是有重根的情形特征根是有重根的情形.11111111(4.21) ,., (4.25)ttktkketete设 是特征方程的 重特征根,则方程(4.19)如下 个解: 如果特征根有重复根，由于方程如果特征根有重复根，由于方程(4.19)的系数为实常数，因此复根的系数为实常数，因此复根总是成对出现的。总是成对出现的。11111111-1-122 cos, cos, . , cos, sin, sin, . , sin . ktttktttikikkkettettetettettet设是 重特征根,则也是 重特征根,可求得与之对应的个实解代替对应的个复值解:111

8、1111.0 (4.19)().0 (4.21)nnnnnnnnnndxdxdxL xaaa xdtdtdtFaaa作业vP164 2()v思考 p164 1 特征根是有重根的情形特征根是有重根的情形.11111111(4.21) ,., (4.25)ttktkketete设 是特征方程的 重特征根,则方程(4.19)如下 个解: 证明证明 分两种情况：分两种情况：1111()()()(1)2(2 )111(1)0. 0. , ()(1) (.,2!ttmmtmmmmxyexyem meymyyy1此 时 证 明 过 程 很 简 单 .(2)作 变 量 变 换注 意 到 可得可得1111111

9、1(.) ,nnnnntnttyyyeeyedddL ybbbdtdtdtLy1111111.0 (4.19)().0 (4.21)nnnnnnnnnndxdxdxL xaaa xdtdtdtFaaa1111112111.,.,0, (4.23) ()0. (4.2.4). .nnnnnnnnnnndddLbbbdtdtdtbbbyyyybbGby其 中仍 为 常 数 ,而 相 应 的 特 征 方 程 为 直接计算易得直接计算易得111()(11)()=()()ttttteeeFeeLGL 因此因此1()( )FG 于是于是(4.19)化为化为1txye1111111.0 (4 .1 9 )(

10、).0 (4 .2 1)nnnnnnnnnndxdxd xL xaaa xd tdtd tFaaa 从而从而( )( )11()( ), 1,2,.,.jjFGjk11 (4.21)(4.24)0, 可见的根 = 对应的根而且重数相同.问题就化为情形(1)了.y=f(x)只要找到y，就能找到x（通过f,且通过等式联系）1txye1111111.0 (4 .1 9 )().0 (4 .2 1)nnnnnnnnnndxdxd xL xaaa xd tdtd tFaaa1111111 ,., (4.25)tttkkketete因此,对应于特征方程(4.21)的 重特征根,方程(4.19)有 个解:1

11、1113231211,.,.,;1(1,.,1),.,(),(4.19),., . (,.,mmmmmmimjittktttktkkkkimkkknjieteteetete 2假设特征方程(4.21)的其他根的重数依次为单根时重数为而且当则方程有解4.26) 于是于是(4.26)全体全体n个解构成方程个解构成方程(4.19)的基本解组。的基本解组。1txye1111111.0 (4 .1 9 )().0 (4 .2 1)nnnnnnnnnndxdxd xL xaaa xd tdtd tFaaa31212,.,.,;1(1,.,1),.,(), mmimjik kkkimkkknji 12假设特

12、征方程(4.21)的根的重数依次为单根时重数为而且当则证明（反证法）证明（反证法） 假若这些函数线性相关，则有假若这些函数线性相关，则有111111,.,. (4.26) ,.,(4.19)mmmmttktttkteteteetete构 成 方 程的 一 个 基 本 解 组 .1()()()01111()(.)=( )=0, (4.27) rrrrmmkttrrrkrrrrjAAtAtePt eA其 中是 常 数 ,不 全 为 0.1txye1111111.0 (4 .1 9 )().0 (4 .2 1)nnnnnnnnnndxdxd xL xaaa xd tdtd tFaaa证明（反证法）证

13、明（反证法） 假若这些函数线性相关，则有假若这些函数线性相关，则有()()()011111()(.)=( )=0, (4.27) rrrrmmttrrrkrrrjkrAAtAePt eAt其 中是 常 数 ,不 全 为 0.( )( )tt mm 不 失 一 般 性 ,假 定 多 项 式 P至 少 有 一 个 系 数 不 等 于 0,因 此 P110.(4.27),tetk微 分两 边 除 以然 后 对次 我 们 得 到1()2( )=0, (4.28) rmtrrQ t e11 ( )(-)( )( ),( )( )( )( ), ( )krrrrrrrrmQ tP tS tS tP tQ

14、tP tQt其中为次数低于的次数的多项式.与次数相同 且0.这就产生了矛盾。因此证明了这就产生了矛盾。因此证明了(4.26)全部全部n个解线性无关，从而构个解线性无关，从而构成了方程成了方程(4.19)的基本解组。的基本解组。( )( )( )011111(.)=( )=0, (4.27)rrrrmmtrrrkrrrkttAAtAeP t e1()2( )=0, (4.28) rmrrtQ t e1212)()(4.28)(4.28),(4.27) ( )=0,mmttmtRtkee等 式与 (4.27)类 似 ,但 项 数 减 少 了 .如 果两 边除 以然 后 对次 我 们 得 到 项 数

15、 更 少 的 类 似于的 恒 等 式 ,如 此 继 续 下 去 ,经 过 m-1次 后 ,就 可 得到 等 式微 分112121( )() () .()( )( )mkkkmmmmmmmRtP tWt其中 0111111,., . (4.26),.,mmmmttktttkteteteetete例例1 求方程440d xxdt 例例2 求方程330d xxdt.1212312333 (cossin), 22,ttxc eectctc c c其中为任意常数. 解解 特征方程特征方程41234101,1,.ii 的根为12341234 cossin ,.ttxc ec ectctc cc c其中,为

16、任意常数 故方程的通解为故方程的通解为 解解 特征方程特征方程312,3131 01,22i 有特征根因此通解为例例3 求方程3232330d xd xdxxdtdtdt 例例4 求方程424220d xd xxdtdt.因此方程有四个实值解四个实值解cost, tcost, sint, tsint. 故通解为12341234 ()cos()sin , ,.xcc ttcc ttcc c其中c,为任意常数 解解 特征方程特征方程323331 0,(1)1, 即=0,得为方程的三重根2123123 () ,.txcc tc tec cc其中, 为任意常数 因此方程的通解为因此方程的通解为 解解

17、特征方程特征方程422221 0,(1)(),i 即=0,得特征根二重根 欧拉方程：欧拉方程：1111 ,ln, .0, (4.30) tnnnnnnxetxdydydybba ydtdtdt则代 入 方 程 (4.29),可 得考 虑 到 令11111.0 (4.29)nnnnnnnndydydyxa xaxa ydxdxdx12,.,naaa其中是实常数. 此方程可以通过变量变换化成常系数齐次线性微分方程.欧拉方程解法欧拉方程解法 ：1(-1).(-1)(-1).(-2).0 (31 4.)KnyxK KK na K KK naK根方程(4.29)有的解,将其代入(4.29)可得的-称(4

18、.30)特征方程,为方程的解方程(4. 1)求出3.12,.,nb bb其中是实常数. 11111.0 (4.29)nnnnnnnndydydyxa xaxa ydxdxdx00001021 (-1).(-1)(-1).(-2).0 (4.31),(4.29) ,ln |,ln |,.,ln|.nKKKKmKK na K KK namKKmxxxxxxx(4.29)的特征方程有 重实根对应于的 个解)若为111 (-1).(-1)(-1).(-2).0 (4.31),(4.29) , ln |,.,lncos(ln |)cos(ln |, )cos(ln |)sin(ln |)s , ln |

19、in(|nmmmKKna K KKnaKixxxxxxxxxxxx(4.29)的特征方程有对应于的实值解为2重复根2 个)若1ln |)sin(ln |),., ln|,mxxxx例例5 求方程2220d ydyxxydxdx例例6 求方程222350d ydyxxydxdx.212, (1)1 0,(1)0,1. KKK KKKKyxK 得解到应满足的方程即因此设方程的通解为1212 y(ln |) ,.ccx xc c其中为任意常数21,2, (1) 350, 250,1 2 , KKK KKxKiyKK 得到 应满足的方程或因此,而方程设解 的通解为12121 ycos(2ln |)si

20、n(2ln |),.cxcxxc c其中为任意常数4.2.3 非齐次线性微分方程求非齐次线性方程的通解的的方法：求非齐次线性方程的通解的的方法：v常数变易法常数变易法v比较系数法v拉普拉斯变换法常系数非齐次线性微分方程：1111 .( ) (4.32)nnnnnndxdxdxL xaaa xftdtdtdt12,.,( )naaaf t其中是实常数,是连续函数. 称(4.32)为n阶常系数非齐次线性微分方程.(1) 比较系数法比较系数法 类型类型I10110, ( ).mmmmf tb tb tbtb)如 果则(11 011( )(.),mmtmmftb tb tbtbe设比较系数法确定比较系

21、数法确定(4.33)中的待定常数：中的待定常数：1,.,mb0其中b ,b及是实常数,那么方程(4.32)有形如1 011 (.)(4.33)kmmtmmxtB tB tBtBe,()0(1,0).kFkk重的 特 解 其 中为 特 征 方 程的 根的单 根非 特 征 根数10110, ( )(.).mmtmmf tb tb tbtbe则(2)如 果1111 .( ) (4.32)nnnnnndxdxdxL xaaa xftdtdtdt1011, ( ).0.mmmmf tb tb tbtb)如 果则(11 011( )(. .,.)mmtmmf tb tb tbtbe1 011 (. (4.

22、3 ).)3kmmtmmxtB tB tBtBe特 解()0Fk其 中为 特 征 方 程的 根的 重 数 .10111 .(4.32)0,.,.,mmmmmxB tB tBtBBtB0不 是 特 征 根 则 取 k=0,于 是比 较 的 同 次幂 的 系 数(a)将,得 到 常 数入B代方 程1111 .( ) (4.32)nnnnnndxdxdxL xaaa xftdtdtdt分两种情形讨论：分两种情形讨论：(-1)()-1-1-0,(0)(0).(0)0(0). .0,0.(4.32)kknnn kn kkFFFFaaaa是重 特 征 根 则,而0 ,也 就 是 说这 时方 程(b)将 为

23、111.( ) (4.35)nnknknnkdxdxdxaaftdtdtdt下面对此加以证明下面对此加以证明.()()()(1)2(2 ), ()(1) (.,2!(40.32)tmtmtmmmmxyexyem meymyyy则 作 变 量 变 换注 意 到将 方 程(2)如 果化 为1 011( )(. .,.)mmtmmf tb tb tbtbe1 011 (. (4.3 ).)3kmmtmmxtB tB tBtBe特 解()0Fk其 中为 特 征 方 程的 根的 重 数 .1111 .( ) (4.32)nnnnnndxdxdxL xaaa xftdtdtdt11110111. (4.3

24、 ).7mmmmnnnnnnd ydydyAAA ydtdtdb tbtbtbt12,.,nAAA其中是实常数.而且特征方程(4.21)的根对应于方程(4.37)的特征方程地零根,并且重数也相同.由此易得(4.33)111( ).0 (4.21)nnnnFaaa例例7 求方程222331.d xdxxtdtdt 的通解例例8 求方程2223.td xdxxedtdt的通解 先求对应的齐次线性微分方程的通解,然后求出非齐次线性微分方程的一个特解. 可求解得其通解为312121 .3,.ttxc ec etc c 其中为任意常数 先求对应的齐次线性微分方程的通解,然后求出非齐次线性微分方程的一个特

25、解. 可求解得其通解为312121 .4,.tttxc ec etec c其中为任意常数例例9 求方程323233(5).td xd xdxxetdtdtdt 的通解 先求对应的齐次线性微分方程的通解,然后求出非齐次线性微分方程的一个特解. 可求解得其通解为231231231 ()(20 ),24,.ttxcc tc tet tec cc其中, 为任意常数作业vP164 2(7,10), 3(1,3), 4(1)v思考 2(15)(1) 比较系数法比较系数法 类型类型II ( )( ) cos) sin,(tftA ttB tt e设,( ),( )A tB tt 其中, 为常数 而是带实系数

26、的 的多项式,其中一个的次数为m,另一个的次数不超过m,那么方程(4.32)有形如 ( ) cos( ) si (4.38n) ) ktxtP ttQ tt e,()0(1,0),( ),( )FikkP tQ ttkm的其 中为 特 征 方 程的 根的单 根非 特 征 根而均 为 待 定的 带 实 系 数 的 次 数 不 超 过的 的 多 项 式 ,可 以 通 过 比 较系 数 的 方 法特 解重 数来 确 定 .1111 .( ) (4.32)nnnnnndxdxdxL xaaa xftdtdtdt ( )( ) cos( ) sin,tf tA ttB tt e1111 .( ) (4.

27、32)nnnnnndxdxdxL xaaa xftdtdtdt将将f(t)表为指数形式表为指数形式() () ( )( )( )( )( )22,ititA tiB tA tiB tftee根据非齐次线性微分方程的叠加原理(习题4.1第2题)，方程() 1( )( ) ( )2itA tiB tL xfte() 2( )( ) ( )2itA tiB tL xfte与的解之和必为方程(4.32)的解.()()121112( )( ) ( )( )(cos(), )( ) (i)s nkitkitktxt D t et D t etP ttQ tt eftftxL xftxL xft注 意 到易

28、 知 ,若为的 解 ,则必为的 解 .因 此 ,利 用 类 型 I的 结 果 ,可 知 方 程(4.32)有 解 形 如 ( ) ( )cos( )sin,tf tA ttB tt e1111 .( ) (4.32)nnnnnndxdxdxL xaaa xftdtdtdt( ),( )2 Re( ),( )2 Im ( ).D ttmP tD tQ tD t其 中为 的次 多 项 式 而()() ( )( ) ( ) cos( ) sin(4.32)kitkitktxt D t etD t etP ttQ tt e有 解 形 如例例10 求方程2244c s.od xdxxtdtdt的通解例例

29、11 利用复数法求方程 先求对应的齐次线性微分方程的通解,然后求出非齐次线性微分方程的一个特解. 可求解得其通解为212121 ()sin2 .8,.txcc t etc c其中为任意常数2244c s.od xdxxtdtdt的通解(2) 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法0( ( )stF seft dt由 积 分 ,Mt所定义的确定于复平面(Re s)上的,称为函数,其中f(t)于t0有定义,且满足复变数s的函数F(s)f(t)的拉普拉斯变不等式|f(t)|Me这里为某两个正常数.我们称f(t)为,而F(s)称为原数换函像函数.拉普拉斯变换拉普拉斯变换0 ( )( )stF seft dt-0

30、-0( )(4.32),( )( )(1,2,., ) ( )( )( ), ( ) ( )( ).ststx tx tx tknF sL f tef t dtX sL x tex t dt 如果是方程的任意解 则及其各阶导数均是原函数.记1111(1)(1)00012 .( ) (4.32) (0),(0),.,(0),.,( )nnnnnnnnndxdxdxaaa xftdtdtdtxxxxxxaaaft及 初 始 条 件其 中是 常 数 ,而连 续 且 满 足 原 函 数 的 条 件 . 给定微分方程0( )11(1)000 ( )( ), . , ( )( )., nnnnnL x t

31、sX sxL xts X ssxsxx则0 ( )( )stF seft dt11(1)000123(2)100010 ( ). ( ). .( )(, )nnnnnnnnnns X ssxsxxa sX ssxsxxasX ssFxXsa于是,对方程(4.32)两端施行拉普拉斯变换,并利用线性性质得1111(1)(1)000 .( ) (4.32) (0),(0),.,(0).nnnnnnnndxdxdxaaa xftdtdtdtxxxxxx微 分 方 程初 始 条 件 -12110n-23(1)12n11001 (s.)( ) ( )( )(.) (s.).( ),nnnnnnnnna s

32、asaXsa saxa saxxB ssF sF s即对方程(4.32)两端施行拉普拉斯变换,得1111(1)(1)00012 .( ) (0),(0), (4.3.,(0),.,( )2)nnnnnnnnndxdxdxaaa xftdtdtdtxxxxxxaaaft微 分 方 程初 始 条 件 其 中是 常 数 ,而连 续 且 满 足 原 函 数 的 条 件 .-12110n111n-23(1)1200(.) (s.)(s.)( )( )( ),.( )nnnnnnnnnsa saxa sasaX sa saxxB sF sF s ( )( ),( )( )( ), ( ) ( )( )(

33、)AX sF sF sB sX sxB stA sx t或故 这是的像函数.可直接通过查拉普拉斯变换表或反变换公式计算求得.拉普拉斯变换拉普拉斯变换0 ( )( )stF seft dt例例12 求方程2(0)0.txxdtxde满足初始条件的解, 对方程两端施行拉普拉斯变换,得到方程的解的像函数所满足的1方程 sX(s)-x(0)-X(s)=s-2解(0)0,111 ( ).(1)(2)21xX sssss注意到得 , te2t查拉普拉斯变换表,得 x(t)=e这就是所要求的解.例例13 求解方程211( )( )0.txxxxxe,的解-(1)-1 2, (0)(0)0,txxxexx 令,将解问题化为231 1( )2( )( ),111 ( ).(1)s X sX sX sseX sse对新方程两边作拉普拉斯变换,得 因此2- -121 ( ), 21( )(1),2txex