函数的单调性2ppt课件

1、蒸蒸日上蒸蒸日上每况愈下每况愈下波澜起伏波澜起伏yxoyxoABCyxo连线题连线题: 观察下列各个函数的图象，并说说它们观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：分别反映了相应函数的哪些变化规律： 1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？2、随、随x的增大，的增大，y的值有什么变化？的值有什么变化？画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1、从左至右图象上升还是下降、从左至右图象上升还是下降 _?2、在区间、在区间 _上，随着上，随着x的增大，的增大，f(x)的值随着的值随着 _ f(x)

2、= x(-,+)增大增大上升上升1、在区间、在区间 _ 上，上，f(x)的值随着的值随着x的增大而的增大而 _2、 在区间在区间 _ 上，上，f(x)的值随着的值随着x的增大而的增大而 _ f(x) = x2(-,0(0,+)增大增大减小减小画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律： x-4-3-2-101234f(x)=x2 16941014916.0)()()()(,)(,0 2212122221121增增函函数数上是，在区间们就说函数，这时我时，有，当，得到上任取两个，在区间xxfxfxfxxxxfxxfxx y246810O-2-2x84121620246

3、210141822D图象在区间图象在区间D逐渐上升逐渐上升OxDy区间区间D内随着内随着x增大，增大，y也增大也增大x2x1f(x2)f(x1)NMxDy对区间对区间D内内 x1，x2 ，当当x2x1时，时， 有有f(x2)f(x1)图象在区间图象在区间D逐渐上升逐渐上升OxDy区间区间D内随着内随着x增大，增大，y也增大也增大x1x2f(x1)f(x2)MN对区间对区间D内内 x1，x2 ，当当x1x2时，时， 有有f(x1)f(x2)对区间对区间D内内 x1，x2 ，当当x1x2时，时， 有有f(x1)f(x2)xx1x2都都yf(x1)f(x2)OMN任意的任意的区间区间D内随着内随着x

4、的增大，的增大，y也增大也增大图象在区间图象在区间D逐渐上升逐渐上升D设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I. 如果对于区间如果对于区间D上的任意上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2， 当当x1x2时，都有时，都有f(x1 )f(x2 )， 区间区间D 称为称为 f (x)的单的单调增区间调增区间. 那么就说那么就说 f (x)在区间在区间D上上 是单调增函数，是单调增函数，定义定义 那么就说那么就说f(x)在区间在区间D上是减函数，上是减函数，D称为称为f(x)的单调的单调 减减 区间区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数类比单调增函数, ,

5、写出单调减函数的定义写出单调减函数的定义. .xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I. 如果对于定义域如果对于定义域I内某个区间内某个区间D上上的任意两个自变量的值的任意两个自变量的值x1,x2，设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I. 如果对于定义域如果对于定义域I内某个区间内某个区间D上上的任意两个自变量的值的任意两个自变量的值x1,x2， 那么就说那么就说f(x)在区间在区间 D 上是增上是增 函函数数,D称为称为f(x)的单调增区间的单调增区间.当当x1x2时，都有时，都有f(x1 ) f(x2 )，当当

6、x1x2时，都有时，都有 f (x1 ) f(x2 )， 1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；的性质，是函数的局部性质；注意：注意： 2 、必须是对于区间、必须是对于区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，x2；当；当x1x2时，总有时，总有f(x1)f(x2) 分别是增函数和减函数分别是增函数和减函数.（2 2函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; ;（1 1在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是 下

7、降的。下降的。判断判断:1):1)函数函数 f (x)= x2 f (x)= x2 在在 是单调增函数；是单调增函数；, xyo2yx（3 3） x 1, x 2 x 1, x 2 取值的任意性取值的任意性（1 1在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是 下降的。下降的。（2 2函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; ;yxO12f(1)f(2)判断：判断：2)2)定义在定义在R R上的函数上的函数 f (x)f (x)满足满足 f (2) f(1)f (2) f(1)，则函数则

8、函数 f (x)f (x)在在1,21,2上是增函数；上是增函数；例1、下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？解：函数解：函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 其中其中y=f(x)在区间在区间-5,-2), 1,3)上是减函数，上是减函数， 在区间在区间-2,1), 3,5 上是增函数。上是增函数。例例2、下图为函数、下图为函数 , 的图像，的图像，指出它的单调区间。指出它的单调区间。 4,7x y= f x123-2-3-2-1123456 7xo-4-1y-1.5-1

9、.5-1.5，33，55，66解：单调增区间为解：单调增区间为-4-4，-1.5-1.5，33，55，66，77单调减区间为单调减区间为 例例3、物理学中的玻意耳定律、物理学中的玻意耳定律 告告诉我们，对于一定量的气体，当其体积诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，减小时，压强压强p将增大。试用函数的单调性证明之。将增大。试用函数的单调性证明之。)( 为正常数kVkp 证明：根据单调性的定义，设证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义是定义域域(0，+)上的任意两个实数，且上的任意两个实数，且V1V2，那，那么么21121212( )()VVkkp Vp VkVVVV由V1，V2 (0

10、，+)且V10, V2- V1 0又k0,于是0)()(21VpVp)()(12VpVp 即 所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.),0(,VVkp取值定号变形作差结论结论 试用定义法证明函数 在区间 上是单调增函数。11)(xxf0, 例例4. 试判断函数试判断函数f(x)= x2 + x 在（，在（，）上是增函数还是增函数？并给予证明。上是增函数还是增函数？并给予证明。设设 x1，x2 为区间（为区间（ 1 ,+ ）上的任意两个值，且）上的任意两个值，且x1x2， 解：函数解：函数y= x2 + x 在（在（ 1 ,+ ）上是增函数）上是增函数证明：证明：则则f

11、(x1) f (x2)= (x12 + x1 ) (x22 + x2 ) =( x12 x22) + (x1 x2) = (x1 x2) (x1 + x2) + (x1 x2) = (x1 x2) (x1 + x2 +) x1 x2 ，x1 x2 0，又，又 x1 1, x2 1 ， x1 + x2 + 0, f (x1) f (x2) 0,即即f (x1) f (x2)所以函数所以函数y= x2 + x 在（在（ 1 ,+ ）上是增函数）上是增函数定号判断取值作差变形判断函数单调性的方法：判断函数单调性的方法：1、图象法、图象法 2、定义法、定义法证明函数的单调性常用步骤：证明函数的单调性常

12、用步骤：()取值取值 ()作差作差()定号定号 ()判断判断()变形变形证明函数单调性的方法证明函数单调性的方法判断函数单调性的方法步骤判断函数单调性的方法步骤 1 任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2 作差作差f(x1)f(x2)；3 变形通常是因式分解和配方）；变形通常是因式分解和配方）；4 定号即判断差定号即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5 下结论即指出函数下结论即指出函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的上的单调性）单调性） 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：考虑？考虑：画出反比例函数f(x)=1/x的图象1 这个函数的定义域是什么？2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论 证明：设证明：设x1,x2是是(0，+)上任意两个实数，且上任意两个实数，且x10,又又由由x10所以所以f(x1)- f(x2)0, 即即f(x1) f(x2) , 0因而因而 f(x)=1/x 在在(0，+)上是减函数。上是减函数。取值定号变形作差判断填表填表,.指出下列函数的单调区间指出下列函数的单调区间yoxyox在 是增函数在 是减函数ab2-，,2ab在 是增函数在 是减函数ab2-