高斯噪声和白噪声

1、12.3 高斯噪声和白噪声高斯噪声和白噪声引言: 噪声分析的两类方法： 随机噪声：服从统计规律，用随机函数描述 单（多）脉冲噪声：瞬态分析法 2一、高斯噪声（依噪声幅度分布特性判定） 1、定义：幅度起伏遵从高斯分布的噪声2、中心极限定理（李雅普诺夫定理）：大量N个统计独立的、具有有限的数学期望和方差的随机变量之和 的分布律在 的极限情况下趋于高斯分布律。3、高斯分布律： （1）一维概率密度函数: 是由均值 和均方差 唯一确定的函数NiixZ1Nm23 概率密度： (1.2.63) 分布函数: (1.2.64) 当 时, (1.2.65) 高斯变量X的 阶中心矩与 阶原点矩 中心矩: (1.2.

2、66-1)222)(21)(mxexpxmxdxexXPxF222)(21)()(0m22221)(xexpdxemxmxNN222)()(21NN4 原点矩: (1.2.66-2) （2）高斯分布的N维联合概率密度 (1.2.67) 其中 是联合二阶中心矩, 是行列式, 是元素 的余因子dxexxNn22221为偶数为奇数NNN0 )()(21exp)2(111212kkiiNiNkikNxxxxMMM),.,()(21NxxxpxpMikMikM5 和 (1.2.68) 当 是互不相关的, 对于 ，我们有 和 (1.2.69) 物理含义: 如果N个高斯随机变量之间是互不相关的,则它们 之间

3、也是统计独立的。NNNNNNM.212222111211)(kkiikiikxxxxixki 0ik0ikMNiiiiNiiNxxxp122122)(exp)2(1)()().()(21Nxpxpxp64、满足高斯分布的充分条件： （1）客观背景： 事实上，噪声函数的瞬时值可视为大量的相互独立的被加项之和,且任意一个被加项与其它被加项相比,在方差或功率上都相差无几。 （2）满足高斯分布的条件： 当被加项的数目很大而每一个被加项与所有被加项的总贡献比很小时，这些随机变量之和的分布即趋于高斯分布。（3）结果： 此时，个别分量在很宽范围内的分布特性无关紧要75、高斯分布的特点与高斯噪声特性：（1）高

4、斯分布的特点： 以 为轴，呈对称分布， 时取最大值。 时逼近横轴 处有拐点 域内的概率为99.7% 域内的概率为95.4% 域内的概率为68.3%mxmxxxmxm22mxm33mxm8 （2）高斯噪声特性： 高斯噪声的线性组合仍是高斯噪声 高斯噪声与一固定数值相加的结果只改变噪声平均值,不 改变其它特性 对独立的噪声源产生的噪声求和时, 按功率相加 高斯噪声通过线性系统后, 仍是高斯噪声9 6、光子噪声（1）定义: 光辐射强度随机起伏导致的探测器输出信号噪声。 （2）性质: 由纯正弦单色光波或宽带热辐射光束产生的光子计数， 服从泊松分布。（3）泊松分布: 概率密度： (1.2.70) 注意:

5、 光电子计数: : 上式中代表光电子计数的量为 (1.2.71)其中 是被检测点的坐标值， 是量子效率 ， 是入射位置 和时间 的光强 ， 是检测器的面积， 是面积元。 vmkvekmkp!)()(1!0 hdstrInmsv),(),(yxr),(trIt),(yxrsds10 均值与方差: 均值： (1.2.72) 方差 (1.2.73)注意: 对泊松分布有均值等于方差，即 泊松分布与高斯分布的关系 泊松分布是离散型分布，但当均值 足够大（光辐射足够强，使探测器接收到的光子数足够多）时，泊松分布将趋于高斯分布，光子噪声趋于高斯噪声。 即：强光：高斯分布；弱光：泊松分布。 0)(kvmkkp

6、kE)(22vkmkE02)()(kvvmkpmk2kvmvm11二、白噪声 （依噪声在频域分布特性判定）1、定义： 噪声功率谱按频率均匀分布在整个区间 的噪声。2、谱密度： (1) 若噪声功率谱按正负两个半轴上频谱定义，则噪声功率 谱密度为 。 (1.2.74-1) (2) 工程上取频域为 时, 。 (1.2.74-2) 3、相关函数： 因为相关函数与功率谱是一对傅立叶变换对, 又因为单位脉冲函数 的傅立叶变换是常数1, 故有 (1.2.75) ),(),0(0)(NPW2)(0NPW)(t2)()(2)(00NPNRW12 4、特点： : ( 1 ) 功率谱在 内均匀分布，故其平均功率无限

7、大。 ( 2 ) 在工程上，若考查的噪声在比选定频带宽得多的频带内 有均匀的功率谱，就可将其按白噪声处理。 5、限带白噪声： ( 1 ) 定义：具有矩形功率谱的白噪声称谓限带白噪声。 ( 2 ) 产生方法：将白噪声通过矩形特征滤波器产生 ),(13( 3 ) 分类： 低频限带白噪声： (1.2.76)式中: 为噪声平均功率 )2(2)(sin)(0BrectNPBBPRnnnfNBNPn00214 高频限带白噪声: （1.2.77） 0cos2)2sin()(BBPRnn)()(2)(000BrectBrectNPnfNBNPn002156、高斯白噪声：（1）定义: 具有高斯（幅度）分布的白噪声称为高斯白噪声。 若同时又是限带噪声的，称为高斯限带白噪声。 若噪声均值 、功率谱密度为 、限带宽度为 、 并具