地下水动力学电子教案课件

1、第一章 地下水运动的基本概念与基本概念本章概述：掌握典型体元、非均质各向异性、非均质各向同性、均质各向异性、均质各向同性的等概念；正确区分地下水质点实际流速、空隙平均流速和渗透流速；详细叙述研究地下水运动规律所遵循的基本定律达西定律；掌握流网的特征并及其在实际中的应用， 重难介绍：掌握典型体元的概念和地下水运动基本定律；流网的应用。本章学时数：4学时（180分钟）教学内容：1.1地下水运动的基本概念我们以前学过水力学，从课程名字来看他们很相似，那地下水动力学和水力学有什么异同点？1、水力学与地下水动力学异同点相同点：都是研究水的运动规律的学科。相异点：水力学是研究水在管道或渠道中的运动。地下水

2、动力学则是研究水在岩石空隙中（孔隙、裂隙、岩溶）运动规律。2、渗流与渗流场我们把由由固体骨架和空隙两部分组成的介质，叫多孔介质。如砂层、裂隙岩体等。地下水在多孔介质中的运动，称为渗流，渗流所占据的空间就叫渗流场。1.1.1渗流与典型单元体我们刚才讲到地下水地下水渗流，那渗流和实际的水流又有什么区别呢？由水力学我们知道普通水流的流向是从总水头高的地方流向总水头低的地方，水流量的大小取决于水头差和水头损失，同样地下水水的流向也是从高水头流向低水头，流量的大小也水头差和水头损失。但是从图1-1-0b和1-1-3a可以看出，普通水流在管道中运动取决于管道大小、形状及管壁的粗糙度，而渗流运动取决于多孔介

3、质空隙大小、形状以及其连通性。我们知道在自然界中多孔介质中固体的边界的集合形状是各种各样的，形状十分复杂，其通道是曲折的，地下水在这样复杂的介质中流动，其质点运动轨迹弯曲，通常其渗流速度缓慢，流态多为层流，水只在空隙中流动，在固体物质中无渗流发生，因此从整个渗流空间来说是不连续的，而此也其运动要素（如流速矢量）的分布变化无常，是非稳定流，但是大部分是缓变流。图1-1-3a 地下水实际流动 图1-1-3b 基于渗流流速的流线从微观角度研究地下水运动的难度有两个方面：A）如果从微观角度来看地下水运动（渗流）：地下水是在不同的空隙中运动的。要获得微观角度每一个空间点的水流运动参数，首先必须获得空隙的

4、几何参数（查明每一个空隙与固体颗粒之间的边界位置等），这是十分困难的。B）从微观角度来看地下水流在空间上是不连续的。固体颗粒部分是没有水流的，因此从微观角度地下水的运动参数在空间上是不连续的，有很多地方运动参数是零。也就是说描述水流运动的物理量是非连续函数，因此基于连续函数的许多微积分方法无法应用。因此在研究地下水运动规律时，我们通常要从宏观水平上来考察。于是我们就提出了渗流的概念。现在我们为了克服上面所提到的困难和研究方便我们引用一个假想的水流来代替真实的水流(如图1-1-3b)，这种假想水流是：我们不是说从实际水流运动的物理量是非连续函数吗？现在我们就假设：1、这种假想水流充满整个多孔介质

5、的连续体；所谓的整个多孔介质它包括空隙和固体部分，不仅仅是空隙了，主要处处有空隙，处处有水流。当然为了使假设水流更加符合实际情况我们有一下2各假设：2、这种假想水流（渗流）的阻力与实际水流在空隙中所受到的阻力相同；也就是说，我们假设在这个空隙中的有一点，这一点的假想的水流和实际的水流所受的阻力是相等的。3、渗流场任意一点的水头H和流速矢量v等运动要素与实际水流在该点周围一个小范围内的平均值相等。这种假想水流便是宏观水平的地下水流，我们称之为渗流。它所占据的空间称为“渗流场”。我们刚才在假设3中提到渗流场任意一点的水头H和流速矢量v等运动要素与实际水流在该点周围一个小范围内的平均值相等。这个小范

6、围到底是多少？，比如说在二维流中，是1平方厘米、1平方分米、1平方米等等。下面我们引入一个典型体元，有些书也叫典型单元体（Representative Elementary Volume）的概念：下面我们是空隙率为例来讲解什么是典型单元体。我们在水文地质学基础中学过空隙率n的定义是： 其中：VvV中空隙中的体积那么要取多大的V才能代表典型单元体的体积呢？现在假设P点为多孔介质的内的某一点，这一点可以在落在固体颗粒上也可以在空隙中，以该点为中心，如果以P点为形心取一体积，当P点位于颗粒上时，所取的体积小于或等于颗粒的体积是我们知道空隙率n=0；当P点位于空隙中时，所取的体积小于或等于颗粒的体积是

7、我们知道空隙率n=0，随着所取的体积V的增大，空隙率n的值因为随机划进来的颗粒或空隙体积产生明显的波动，但是随着体积V的逐渐增大波动逐渐减少，当体积V取至某一个体积时，空隙率趋于一平均值n，此时的体积V称为典型体元V0。若体积再继续增大把P点外围的非均质区(K2区)也划进来平均，此时又会产生明显的变化。因此典型单元体是有一定体积，但是不能太大，因为太大掩盖了多孔介质的非均质性。因此通过上述分析，我们可以通过利用典型体元V0来定义任意点P的空隙率n(P)，即： 或其中V0v为典型体元V0中的空隙。如果使二维面积上或线上取平均值，则称为面空隙率或线空隙率。 或1.1.2 渗流的运动要素1、地下水质

8、点实际流速、空隙平均流速和渗透流速在水力学的学习中知道，由于由于水具有一定的粘滞性，在流动时水和颗粒间有阻力和粘滞力，因此从微观上看颗粒间的水的流速分布如图1-1-2a所示，并不是相等的，那怎么才能得到典型体元上的平均流速呢？设空隙中地下水水质点的流速矢量为u。现在有2种取平均值的方法。A） 将u在以P为中心的典型体元空隙部分V0v上取平均值，其表达式为： 我们也知道在固体颗粒部分水的流速为0，因此积分的范围可以用V0来代替V0v。我们通常把这样平均的流速叫空隙平均流速，用u表示。B）将u在以P为中心的整个典型体元V0（包括空隙和固体两个部分）上取平均值渗透流速（达西流速），用v（p）每表示：

9、这就是我们刚才讲到的渗流时假设的流速，因此通常把这样平均的流速叫渗透流速，用v表示。我们刚才提到了质点流速u、空隙平均流速u和渗透流速v。这三者有什么关系呢？我们现在看某一个时刻一个多孔介质放大的流速分布示意图。地下水流速图图，红线是质点的实际流速u，蓝线为空隙平均流速u，紫色为渗透流速v。现在用空隙平均流速u和渗透流速v的相除可以得到因此空隙平均流速u和渗透流速v的的关系是我们知道在多孔介质中，互不连通的孤立孔隙对地下水的储存和运动都是没有意义的，另外研究地下水运动时，一般情况下可以忽略结合水的运动，因此也可以忽略结合水所占据的空间。因此严格意义上n应该是有效空隙度ne，去掉与地下水运动没有

10、作用的空隙（结构空隙、盲孔等）。2、压强、水头和水力坡度在中学我们学过压强的有关概念，压强是指单位面积上所受的压力。它是一个平均的概念。通过刚才讲过我们研究地下水流动不是研究它的微观运动而是研究在一定范围的各项运动要素的平均值。因此，地下水的压强也是指典型体元宏观水平上的平均压强。用下式表示：与水力学一样，为了研究方便，地下水的压强的大小也用水柱的高度表示，因此宏观水平的水头H定义为图1-1-4a潜水含水层中的压强及水头 图1-1-4b潜水含水层中的压强及水头在水力学中我们知道总水头应表征渗流场中任意点具有的位置势能，压力势能和动能三者之和。即由于在地下水运动中，地下水孔隙平均流速很小（岩溶管

11、道除外）因此相对前两项小得多，一般情况下忽略不计。因此因此在在研究地下运动时，一般不去严格区分总水头或测压水头，而通称水头，用H表示。由上面公式可以看出，水头H随着位置高度z而变，而位置高度又处决于基准面的选取，那又如何选择基准面呢？这主要要考虑我们使用方便，一般来说，隔水底板水平的含水层，其基准面要取在隔水底板处，其它情况通常以海平面为基准。水头值（H）的大小可以用水头来表示。量纲为L,因而任意点的水头值大小可以从基准面到揭穿该点井孔的水位处的垂直距离来表示。图1-1-5 水力坡度概念土在渗流场内水头值相等的点连成面（线）成为等水头（面）线。即图上的H1、H2、H3。沿着等水头面（线）的法线

12、方向（n1、n2、n3）S水头变化最大，沿法线方向的水头变化称为水力坡度。即 在各向同性岩层中，流线是垂直穿过等水头面，与等水头面的法线方向重合。因而水力坡度可以表示为： s是指流线方向（也就是等水头面的法线方向）。在此条件下，水力坡度J表示水头H沿流线方向的变化率（最大变化率）。那水力坡度J在空间直角坐标系又如何来表示呢？表达为三个分量，即 1.2 渗流基本定律1.2.1线性渗流定律及渗透系数一、达西实验（稳定流）在水文地质学基础中我们做个这个实验，下面我们来回顾一下：这个实验由法国水力工程师亨利达西(Henry Darcy)在装有均质砂土滤料的圆柱形筒中做了大量的渗流实验(图1-2-1)，

13、于l856年发现：渗透流速与水力坡度成正比，即线性渗流定律，这是渗流基本定律，后人称之为达西定律，其形式为式中：Q为渗透流量；A为渗流断面面积；H1、H2为l和2断面上的测压水头值；L为1和2两断面间的距离；J为水力坡度，圆筒中渗流属于均匀介质一维流动，渗流段内各点的水力坡度均相等；K为比例系数，称为砂土的渗透系数(也称水力传导系数)。达西定律的另一表达形式为式中：为渗流速度，又称达西速度，量纲为L。渗流速度与水力坡度成正比，所以称它为线性渗透定律，这也说明此时地下水的流动状态为层流。若将达西定律用于二维或三维的地下水运动，则水力坡度不是常量，沿流向可以变大也可以变小。刚才我们讲过，它的微分形

14、式；是沿流线任意点的水力坡度。在直角坐标系可表示为二、不稳定条件下渗流实验达西实验是在定水头稳定流条件下进行的，那么在变水头条件下的不稳定渗流是否同样满足线性渗流定律呢?下面我们用如图1-2-2这样的装置，来验证了达西线性定律同样适用于不稳定渗流。图1-2-3 变水头渗流实验的tlgH图在某一时刻t时刻这一瞬间（按下暂停，按钮），若该流动符合达西定律，则可以得到：式中：H(t)是随t时刻的水头差；l为砂柱的长度；A为砂柱的横断面积；Q(t)是t时刻的流量。那么在dt时段内通过砂柱断面的体积应该是由水均衡可知： 式中的负号表示了随着通过砂柱断面水体积(V)的增加，水头(H)值在减小则 积分由上式

15、可以看出，如果不稳定渗流服从达西定律，则观测数据(t，H)在t-lgH坐标系中呈线性关系；否则呈非线性关系。反之，我们可根据实验曲线t-lgH的形态来判断渗流是否服从达西线性定律。如果这些点基本在一条直线上，表示遵循达西定律的一次实验数据。如果落在一条曲线，那表示不遵循达西定律。另外也可以通过不稳定渗流实验来求得砂样的渗透系数值。其渗透系数的大小就是这条直线的斜率。三、渗透系数在水基中我们就学过渗透系数的这个概念，知道渗透系数是一个极其重要的水文地质参数。它反映岩层的透水性能，是地下水计算中一个不可缺少的指标。那么渗透系数的大小取决于哪些因素呢?下面通过两个简单的理想模型，以帮助我们从本质上理

16、解渗透系数的概念。在水力学中我们得到：在层流条件下，圆管中过水断面的平均流速为式中：d为圆管的内直径；为液体的粘滞动力系数，；为液体的密度；为液体的粘滞运动系数；为液体的重率。如果把空隙介质的透水性理想化，看成由一系列细小的圆管组成而保留其孔隙率不变(图1-2-4)，则沿圆管方向的渗透流速为 （1-2-10）地下水在裂隙岩层中的运动，可以利用两平行板间液体的运动来对比。两平行板间的宽度可视为理想化的裂隙岩层的裂隙宽度。当液体作层流运动时，其平均流速为式中：B为两平行板的宽度。如果将裂隙岩体中裂隙系统，想象成一系列等宽的、平直的裂隙所组成(图1-2-5)，则沿裂隙组的交线方向的渗透流速为 （1-

17、2-12）如果将(1-2-10)式和(1-2-12)式与线性渗透定律进行比较，得出下列结论：(1)上述两式中，渗流速度和水力坡度都成正比关系。说明它们和达西定律的条件相同，都属于层流状态。(2)渗透系数K在孔隙岩层中相当于，在裂隙岩层中相当于。前面的因子表示透水岩层的空隙性，后面的因子表示液体的物理性质。从而证明：渗透系数的大小不仅取决于岩石的空隙性，而且与渗透液体的物理性质有关。若以k表示纯粹由岩石空隙性所决定的渗透性能，则k称为渗透度(也称渗透率)， (或)。它是不随液体的物理性质而变化的。显然，k的数值决定于空隙的大小(d和B)和空隙率(n)，这是对上述理想化了的空隙介质而言的，至于对实

18、际的介质，k还与空隙形状、空隙的曲折性、连通性等有关。从上式可以看出：空隙的大小(d，B)对k起主要作用(因为它们是平方关系)，而空隙率起次要作用。实际资料表明：粘土的孔隙率一般为5060，但它的渗透率仅是粗砂土(孔隙率约为3040%)的00001000001。这充分说明了上述结论的正确性。当然，这里还存在结合水几乎不参与流动的问题。 (3)液体的物理性质对渗透系数的大小有直接的影响。它与成正比，与粘滞动力系数成反比。可以想象，若=0(例如在失重的人造卫星上)，即使有水头差，液体也不会运动；在其他条件相同的情况下，愈大则愈易流动。但若液体粘滞性愈大，则愈不易流动，例如油不如水容易流动。对于地下

19、水来讲，和决定予水的矿化度、水温和压力等因素。其中温度对粘滞性的影响较大。(四)线性定律的适用条件达西定律是我们水文学中这么重要的定律，那他有什么限制条件呢？、实验证明，仅当Re10时，渗透流速和水力坡度呈现曲线关系，达西定律不再适用。、液体要处于层流状态，也就是说液体流速要小于它的临界流速vc, 对于孔隙岩层，应用前苏联学者巴甫洛夫斯基公式：实际资料说明，自然界孔隙岩层中的地下水运动基本上属于层流状态。、对于裂隙岩层，罗米捷在裂隙模型中做了大量实验，得到判别裂隙岩层流动状态的临界水力坡度Jc、裂隙宽度及裂隙相对粗糙度间关系的经验公式为：裂隙含水介质中一般情况下的地下水运动也是呈层流状态。仅仅

20、在宽裂隙和溶洞发育地区可以形成局部的紊流地段。、有些学者还研究了达西定律的下限问题。他们通过实验发现某些粘性土存在一个起始水力坡度J0。若实际水力坡度JJ0时，渗流才服从达西定律。1.2.2非线性渗流定律线性渗流定律必须符合上面提到的条件才能成立，否则是非线性的。对于非线性定律研究也很多，但具有代表意义的是：1901年，福希海默(Forchheimer)提出在大雷诺数(Re10)条件下，渗流速度和水力坡度之问的非线性关系式，即 式中：A和B都是系数，它们取决于流动状态，若渗流属层流，则系数B=0，这与线性定律(v=KJ)的表达形式一致，此时；反之，若渗流属紊流，系数A=0，。1912年，克拉斯

21、诺波里斯基提出了当地下水呈紊流状态时的渗流基本定律表示形式这表达式和福希海默提出的(1216)式呈紊流态时的表达式一致。1.2.3 各向异性岩层中地下水的运动规律一、渗流的分类稳定流（各运动要素不随时间变化）、按运动要素(v,p,H)是否随时间变化非稳定流（运动要素随时间变化）层流、按地下水质点运动状态的混杂程度 过渡区流态紊流承压流、按地下水有无自由表面： 无压流 、 承压无压流隔水层、按岩层透水性以及对地下水所起作用分 含水层 透水层（弱透水层）一维流（仅沿一个方向存在流速(图1-2-8a)）、按渗流速度在空间上变化的特点 二维流： 二维流 (图1-2-8b1)（沿两个平面方向存在分流速）

22、剖面二维流(图1-2-8b2) 三维流（三个方向均存在分流速）(图1-2-8c) （这好比我们在学校开运动会，100m跑人在一直线方向运动是一维流，400m跑人在平面上跑圈运动是二维流，400m障碍跑既在平面上跑圈，还要上下跳跃就是三维流。） 、按岩层渗透性随空间和方向变化特点，分均质各向同性、均质各向异性、非均各向同性、非均质各向异性。（一）、按岩土的渗透性是否随方向变化，将岩土分为各向同性和各向异性两类。各向同性：渗透系数值与渗流方向无关。或者说，同一点在不同渗流方向上的渗透系数都相等，若用渗透系数图表示，它是一个圆如图1-2-8(a) 。因此可以认为K是一个标量。各向异性：渗透系数值随渗

23、流方向而变化，它可用渗透系数平方根椭圆来表示图1-2-8(b)，在三维上来看是一个椭球体。因此可以认为K是一个矢量，通常用标量的形式来表示，其表达形式如下： （a） (b)图1-2-8各向同性(a)及各向异性(b)渗透系数图（二）、按岩土透水性在空间上是否变化分为均质岩土和非均质岩士。若空间各点同方向上渗透系数相等，称为均质岩土；否则为非均质岩土。自然界中，根据岩土结构的特点可以存在：均质各向同性岩土，如均匀砂或砾石土；均质各向异性岩土，如均质并发育垂直大孔隙的黄土层；非均质各向同性岩土，如双层结构的土层；非均质各向异性，裂隙、岩溶含水介质大多属于此类岩土二、各向异性介质中地下水流的达西定律在

24、前面我们得到达西定律的表达形式为： 或 在这里我们把它进行推广，在各向同性介质中： 各向异性介质中：式中：、和是渗透流速矢量v分别在x、y和z方向的分量；、和分别是水力坡度矢量J在x、y、z轴向上的分量；、9个系数构成的矩阵是各向异性介质渗透系数张量K的分量。三、渗透系数张量的坐标转换一个客观存在的各向异性介质，其渗透系数张量K的分量、会随着坐标轴x、y和z的取向而变化。这正如一个确定的矢量，如流速v的三个分量、会随x、y和z轴的取向而变，但张量K和矢量v又是确定的。我们知道，转动坐标轴，当某轴(例如x轴)的轴向与矢量v方向一致时，,且。同样，当坐标轴转到某个合适的方向时，即渗透系数张量变换为

25、对角线张量，即这时的x、y和z方向称为各向异性介质渗透系数的主方向。若、和互不相等，则介质属于三度各向异性介质；若，则属于二度各向异性介质；若则属于各向同性介质。显然，当坐标轴取向与各向异性介质渗透系数主方向一致时，渗透流速v的三个分量为：渗透主轴方向与所选x,y,z方向不一致时，须进行坐标转换。如何转换呢？以平面二维流问题为例：取o坐标系的坐标轴与各向异性介质主方向一致，该坐标系称局部坐标系；xoy为整体坐标系；前者对后者逆时针旋转角(图1-2-10)。图1-2-10局部坐标系与整体坐标系图依上面讨论，对于xoy坐标系，渗流速度分量 （1-2-25） 对于o坐标系，渗透流速分量 （1-2-2

26、6）两者存在下列关系 （1-2-27）设旋转矩阵R则则(1-2-27)式可表为 把上式代入1-2-26得解得 （1-2-32）对比（1-2-25）式和（1-2-32）式得 （1-2-26）由此可以得出一个重要的结论，渗透系数张量分量所构成的矩阵是一个对称矩阵。1.3地下水通过非均质岩层突变界面的折射现象我们在中学中学过，光从一种介质进入到另外一种介质中会在接交界面发生折射现象，地下水也有类似似的的现象，地下水在非均质岩层中运动，当水流通过渗透系数突变的分界面时，出现流线改变方向的现象，我们叫做地下水的折射现象。图1-3-1地下水流线折射原理概念图折射现象应满足下列的关系式：(1)当，且10时，

27、为什么流线穿过层界面时会发生折射？折射的根本原因是为了改变渗流断面的面积，以满足渗流连续性原理。(2)当K1=K2，1= 2说明在均质岩层中流线无折射现象。 (3)当KlK2时，若，则亦等于0。；若也等于90。也就是说，当水流平行或垂直层界面时，流线不发生折射而仍然平行或垂直于层界面流动。因此，只有当时，才有折射现象产生。 (4)在层界面上发生的流线折射并不改变地下水流动的总方向，地下水流动的方向仍然受边界条件和源汇项等的控制（上面几点结合光线折射的现象，类比进行讲解） 1.4 流 网流网：渗流场内由一系列等水头线(面)和一系列流线(面)组成的网格。各向同性和各向异性岩层的流网特征不同，下面我

28、们将分别叙述。1.4.1、各向同性岩层地下水的流网特征各向同性的岩层由于各方向的透水性(K值)均相等，所以流线(面)和等水头线(面)必定互相垂直。由它们组成的网格是一系列矩形网格。若为非均质各向同性岩层，流线通过层界面产生折射现象。一、流网的实用意义、流网能集中反映渗流场地下水运动的水动力特征，因此对流网的分析可以了解地下水运动方向及补排关系；图l-4-1的剖面流网表示了地下水与地表水之间的水力联系。图中aa是条分流线。在aa分流线以上，一侧的地下水先流入河槽转变为地表水，再由河槽流向另一侧，转变为地下水。然而在aa分流线以下的地下水由河流的一侧直接向河流的另一侧流动。、定性确定水文地质条件

29、河流与地下水的补、排关系； 等水头线的疏密反映导水性的大小； 流线绕流时，遇弱透水层图l-4-2(b) 流线汇集时，遇强透水层 图l-4-2(a) 、流网的研究对水文地质计算方法的选择有重要意义；、流网特征的分析还可以确定渗流场的边界性质；若流线和已知边界平行，说明没有水流通过该边界，为不透水边界图1-4-3(a)；若流线和边界相正交，该边界为等水头边界图1-4-3(b)；假如流线和边界斜交，则它是属于非等水头的补给或排泄边界图1-4-3(c)。、精确的流网可用来计算渗流区的渗流速度、渗流量以及区内任意点的水力坡度(第十一章介绍)。、不稳定的流场，可以分别作出不同时间的流网图，即可用来分析水文

30、地质条件的变化，也可求得各渗流要素随时间的变化。 二、绘制流网的方法绘制流网的方法很多，大体上有以下三类：、利用野外实地观测到渗流区各已知点的水位资料结合边界条件来绘制；、可采用物理模拟或数值模拟方法获得(这将在以后章节和后续课程中讲解)；、有时为了分析渗流区的水文地质条件，通常根据研究区已知的补给、排泄及边界特征来绘制。三、绘制信手流网图步骤 、要确定补给区、排泄区，依此来确定地下水流向，即流线的起点和终点；、绘制肯定的流线与等水头线根据渗流场边界性质来确定天然的流线与等水头线，如隔水边界、无入渗补给的潜水面一定是一条流线。河流、湖泊、海、 井孔边界一定是一条等水头线。、当出现两个以上排泄区

31、时，依据概念分析渗流场内由于源汇形成的分流面。、已经流网的性质绘制其他地方的流网。1.4.2、各向异性岩层地下水的流网特征在各向异性介质中，流线和等水头一般不再呈正交关系。本章小结：、假想一种水流能充满整个多孔介质(包括空隙和固体部分)的连续体；而且这种假想水流的阻力与实际水流在空隙中所受的阻力相同；它的任意一点水头H和流速矢量V等要素与实际水流在该点周围一个小范围内（即典型体元）的平均值相等。这种假想水流便是宏观水平的地下水流，我们称之为“渗流”，它所占据的空间称“渗流场”。、质点流速u、空隙平均流速u和渗透流速v是三个不同的概念，其中空隙平均流速u和渗透流速v的关系是：、沿法线方向的水头变

32、化称为水力坡度。即 在各向同性岩层中，流线是垂直穿过等水头面，与等水头面的法线方向重合。因而水力坡度可以表示为： 那水力坡度J在空间直角坐标系表达为三个分量，即 、达西定律：稳定流：非稳定流：适用范围：层流条件下。、渗透系数能反映岩层的透水性能，是地下水计算中一个不可缺少的指标。那么渗透系数的大小除了受到空隙介质的影响外还受到液体物理性质的影响。、按岩土的渗透性是否随方向变化，将岩土分为各向同性和各向异性两类， 按岩土透水性在空间上是否变化分为均质岩土和非均质岩士。 、在各项同性介质中，K是个标量，在各向异性介质中K是一个张量。、地下水通过非均质岩层突变界面的折射现象，折射现象满足。、流网是渗

33、流场内由一系列等水头线(面)和一系列流线(面)组成的网格。、各向同性的岩层流线(面)和等水头线(面)必定互相垂直。由它们组成的网格是一系列矩形网格；在各向异性介质中，流线和等水头一般不再呈正交关系。第二章 地下水运动的基本微分方程及定解条件 本章概述：重点理解地下水弹性储存的含义，掌握弹性释水系数和重力给水度的概念；掌握渗流的连续性方程，潜水、承压水和越流含水层中地下水非稳定运动的基本微分方程的推导过程；熟悉定解条件，并能够正确建立数学模型。重难介绍：了解地下水三维流动基本微分方程的基本形式以及几种简单条件下的流动微分方程本章学时数：4学时（180分钟）教学内容：2.1 渗流连续性方程在上节课

34、中，为了研究的方便，引入了“渗流”、“典型体”的概念，因此可以地下水的渗流看作是连续介质，所以流体在运动过程中是连续充满着它所据的空间。流体运动时的这种连续性，若用数学方程式来表示，那就是连续性方程。 连续性方程是质量守恒定律应用于流体运动的具体表现形式。 在渗流场中，各点的渗流速度的大小、方向都可能不相同。为了反映流体运动中的质量守恒，就需要建立以微分方程表达的连续性方程。为了反映含水层中地下水运动的普遍规律，我们选定在各向异性多孔介质中建立地下水三维不稳定流动的连续性方程。2.1.1方程建立的假定条件 水是可压缩的； 忽略多孔介质固体颗粒的压缩性； 多孔介质骨架在垂直方向上是可压缩的，但水

35、平方向不可变形；为了方便，取直角坐标系的x、y，z轴分别平行于各向异性岩层渗透系数的主方向。2.1.2 方程建立的过程我们在各向异性含水介质中取一微小立方体(图2-1-1)，以这个微小立方体的多孔介质为均衡体，以t为均衡时段，建立其质量守恒方程，即渗流连续性方程。（1）t时间段内，三个方向净流入均衡体的质量：x方向上，水净流入均衡体的质量：在t时段内，沿x方向通过左侧x断面流入均衡体的质量为 在同一t时段内，沿x方向通过右侧x+x断面流出均衡体的质量为那么，在t时段内，沿x方向通过左右侧断面净流入均衡体的质量为同理：y方向上，水净流入均衡体的质量为同理：z 方向上，水净流入均衡体的质量为那么，

36、在t时间段内，三个方向净流入均衡体的质量为 （a）（2）t时间段内，均衡体内所储存地下水质量的变化m：当地下水为不稳定流动时，m0，这个增量m将表现为均衡体内所储存的地下水质量的变化，即 （b）（3）质量守恒在连续流动条件下，依据质量守恒定律，从均衡体外部流入水的质量等于均衡体内部水的质量变化量，即a、b两式相等：方程两端除以t：并取x0，y0，z0和t0 ，则有 2-1-1式2-1-1即为渗流的连续性方程。它用数学的形式表达了渗流区内任何一个“局部”所必须满足的质量守恒定律，又称为质量守恒方程。2.1.3 小结连续性方程是研究地下水运动的基本方程。即使有时不直接采用式2-1-1，但建立有关关

37、系式时，也必须应用能反映质量守恒原理的另一种形式的连续性方程来代替。包含vx、vy、vz和、n、z等变量的地下水活动连续性方程只是建立地下水运动基本微分方程的基础之一。为建立以水头H为因变量的地下水运动的基本微分方程，要引入渗流基本定律，将vx、vy、vz转化为以水头H为变量的关系式。至于要解决、n、z与水头或水压P的关系时，要涉及水和多孔介质的压缩性问题。2.2 水及多孔介质的压缩方程2.2.1 地下水的压缩方程在等温条件下，水近似地符合弹性变形，依虎克定律，有 （2-2-3）式中：p水压； V水的体积； 水的体积弹性压缩（或膨胀系数），为正值，单位为1/MPa，的倒数为体积弹性模量E；E和

38、值随其温度而变化，但变化不大，一般可视为常数。因为：其中：水的密度。所以： 所以： （2-2-6）式2-2-6表征与p的关系。对式2-2-3进行积分 得： （2-2-4） 同理可得： （2-2-4）将2-2-4、4中的指数项用马克劳林公式展开 当压强变化不大时， 值很小，上两式可近似取前两项，得到水的压缩状态方程： （2-2-5） （2-2-5）式2-2-5、5表征V与p、与p的关系。2.2.2 多孔介质（岩土）的压缩方程假定多孔介质变形符合虎克定律，于是有 （2-2-7）式中：作用在岩土骨架上的有效应力； Vb岩土的体积； 岩土的体积弹性模量（或膨胀系数）。依 ，有 ，将其代入2-3-7，得

39、 （ 2-2-8）而 ， 所以，式2-3-8可转化为 （2-2-9）式中：e=Vv/Ve，为岩土的空隙比（无因次）。2.2.3 小结建立水和多孔介质的压缩状态方程的目的，是为了解决、z三者与水头H或水压p的关系，为下一步建立地下水运动的基本微分方程奠定了基础。 2.3 承压水运动的基本微分方程 前述建立的渗流连续方程、水与多孔介质的压缩方程、达西定律，为建立以水头为因变量的渗流基本微分方程作了必要的准备。2.3.1 方程推导 从渗流的连续性方程2-1-1为基础，推导承压水非稳定运动的基本微分方程。（1）式2-1-1的右端改写由于承压含水层的侧向受到限制，可假设x、y为常量，仅考虑垂直方向上的压

40、缩。于是只有水的密度、孔隙度n和单元体高度z三个量随压力变化。式2-1-1的右端可改写为是多孔介质均衡体中固体部分的厚度。根据前述假定，固体颗粒部分不可压缩，即多孔介质单元体中的固体厚度不随时间变化。也就是说，虽然z和e虽然随时间都可发生变化，但不发生变化。这样，式2-1-1的右端可进一步改写为 （2-3-1）把式2-2-6、9代入式2-3-1得 （2-3-2）（2）式2-1-1的左端改写把式1-2-24 代入式2-1-1左端得 （2-3-3） 而由于一般条件下 所以： （2-3-4-1）同理 （2-3-4-2） （2-3-4-3）把式2-3-4代式2-3-3中（3）式2-1-1的改写把上式和

41、式2-3-2 代入式2-1-1 得 上式两端同除以xyz，得 （2-3-5） 而 ，则式2-3-5可表示为 （2-3-7）式2-3-7是各向异性承压含水层中地下水三维不稳定流的基本微分方程。它表示在达西流条件下，单位体积、单位时间的水均衡关系。2.3.2 us的物理意义 为了讨论水头降低时含水层释出水的特征，我们取单位体积的含水层（面积为1m2、厚度为1m），考察当水头下降H=1m时释放水量。此时有效应力增加了由式2-2-8 可知，相应的含水层的体积变化 2-3-8 可见, 的物理意义是:当水头下降一个单位时,由于空隙介质受压缩(厚度变薄,空隙率变小),从单位体积空隙介质中所释放出的水量.同时

42、，水压变化由式2-2-3 可知，相应的水的体积变化 可见, 表示单位空隙介质体积中,当水头下降一个单位时,由于水的膨胀释放出来的水量(体积).那么二者之和为 2-3-9综上所述，us表示：当水头下降一个单位时，从单位体积空隙介质中释放的水量(体积)，其量纲为L-1。2.3.3 讨论 对于解析方法求解式2-3-7，是非常难以求解的，因而往往引入均质含水层的条件，并忽略含水介质在压缩过程所引起介质渗透性的变化，于是式2-3-7可写为 （2-3-10）对于水平方向渗透系数为各向同性，而垂向与水平向间为各向异性，即那么式2-3-10可改写为 （2-3-11）对于轴对称流动问题，采用柱坐标系更方便，式2-3-11可改写为 （2-3-12）对于等厚度的承压含水层，若属于平面二维流，则那么，式2-3-10可改写为 （2-3-13）若记 ， 和那么式2-3-13可改写为 （2-3-16）同样，由式2-3-12可得极坐标系下均质、等厚、各向同性承压含水层轴对称流的基本微分方程 （2-3-17）或记 （2-3-18）则 （2-3-19）如果我们研究的是稳定流，即 ，则： （2-3-20）考虑源汇项： 由式2-3-12可得柱坐标系下均质、水平与垂向各向异性、轴对称流的基本微分方程 （2-3-21）由式2-3-