高考专题复习第二节　圆的方程

1、第二节圆的方程学习要求-公众号：新课标试卷:掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.1.圆的定义在平面内与 定点 的距离等于 定长 的点的 集合 叫做圆. 2.确定一个圆最基本的要素是 圆心 和半径. 3.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中 (a,b) 为圆心, r 为圆的半径. 4.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是 D2+E2-4F>0 ,其中圆心为 -D2,-E2 ,半径r= D2+E2-4F2 . 提醒(1)若没有给出r>0,则圆的半径为|r|.(

2、2)在圆的一般方程中:当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点-D2,-E2;当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义,不表示任何图形.5.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种(已知圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点的坐标为(x0,y0):(1)点在圆上: (x0-a)2+(y0-b)2=r2 ; (2)点在圆外: (x0-a)2+(y0-b)2>r2 ; (3)点在圆内: (x0-a)2+(y0-b)2<r2 . 知识拓展1.几种特殊位置的圆的方程标准方程的设法一般方程

3、的设法圆心在原点x2+y2=r2x2+y2-r2=0过原点(x-a)2+(y-b)2=a2+b2x2+y2+Dx+Ey=0圆心在x轴上(x-a)2+y2=r2x2+y2+Dx+F=0圆心在y轴上x2+(y-b)2=r2x2+y2+Ey+F=0与x轴相切(x-a)2+(y-b)2=b2x2+y2+Dx+Ey+14D2=0与y轴相切(x-a)2+(y-b)2=a2x2+y2+Dx+Ey+14E2=02.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+

4、Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C0,B=0,D2+E2-4AF>0.()(2)方程x2+2ax+y2=0一定表示圆.()(3)(x-2)2+(y+1)2=a2(a0)表示以(2,1)为圆心,a为半径的圆.()(4)圆x2+2x+y2+y=0的圆心是1,12.()(5)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x02+y02+Dx0+Ey0+F<0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1

5、)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4答案C3.(新教材人教A版选择性必修第一册P88复习巩固T3改编)已知圆C的半径为1,圆心在第一象限,若圆C与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1答案A4.若点(2a,a-1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,则a的取值范围是. 答案-15,15.已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是. 答案(-2,-4);5求圆的方程典例1(1)

6、圆E经过A(0,1),B(2,0),C(0,-1)三点,且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为() A.x-322+y2=254B.x+342+y2=2516C.x-342+y2=2516D.x-342+y2=254(2)圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的方程为. (3)已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切,且圆心在直线y=-x上,则圆C的方程为. 答案(1)C(2)(x+1)2+(y+2)2=10(3)(x-1)2+(y+1)2=2解析(1)根据题意,设圆E的圆心坐标为(a,0)(a>0),半径为r,则圆E:(x-a

7、)2+y2=r2,则有(a-2)2=r2,a2+(0+1)2=r2,a2+(0-1)2=r2,解得a=34,r2=2516,则圆E的标准方程为x-342+y2=2516.故选C.(2)设C为圆心,因为点C在直线x-2y-3=0上,所以点C的坐标为(2a+3,a).又该圆经过A,B两点,所以|CA|=|CB|,即(2a+3-2)2+(a+3)2=(2a+3+2)2+(a+5)2,解得a=-2,所以圆心C的坐标为(-1,-2),半径r=10,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.(3)易知直线x-y=0和直线x-y-4=0之间的距离为|-4|2=22,所以圆的半径为2.易知直线y=-x

8、与直线x-y=0,x-y-4=0均垂直,由y=-x和x-y=0联立得交点坐标为(0,0),由y=-x和x-y-4=0联立得交点坐标为(2,-2),所以圆心坐标为(1,-1),故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.名师点评1.求圆的方程的两种方法(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆的圆心坐标和半径,进而写出圆的方程.(2)待定系数法:若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则选择设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.2.确

9、定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上;(3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线.提醒解答圆的有关问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.1.(2020河北邢台高三二模)圆心在直线3x-y=0上,与x轴相切且被直线x-y=0截得的弦长为27的圆的方程为. 答案(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9解析设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,可得圆心坐标为(a,b),半径为r(r>0),由圆心在直线3x-y=0上,可得3a-b=0,即b=3a,又由圆与x轴相切,可得r=|b|=|3a|,所以

10、圆的方程为(x-a)2+(y-3a)2=9a2,则圆心到直线x-y=0的距离d=|a-3a|2=|2a|2,所以|2a|22+2722=9a2,化简得a2=1,解得a=±1,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.2.(2020湖北随州一中高三期中)过三点A(-1,5)、B(5,5)、C(6,-2)的圆的方程为. 答案x2+y2-4x-2y-20=0解析点A(-1,5)、B(5,5)的中点为(2,5),kAB=0,所以线段AB的中垂线为直线x=2.点B(5,5)、C(6,-2)的中点为112,32,kBC=-7,所以线段BC的中垂线

11、的斜率为17,方程为x-7y+5=0.将x=2与x-2y+5=0联立,解得x=2,y=1,所以圆心坐标为(2,1),半径r=5.所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25,即x2+y2-4x-2y-20=0.与圆有关的轨迹问题典例2已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.解析(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)设M(x,y),因为点M为线段AB的中点,所以C1MAB,所以kC1M·kAB=-1,所以当x3时,可得yx

12、-3·yx=-1,整理得x-322+y2=94,当直线l与x轴重合时,M点的坐标为(3,0),满足上式.设直线l的方程为y=kx,将y=kx与x2+y2-6x+5=0联立,消去y得(1+k2)x2-6x+5=0.令=(-6)2-4(1+k2)×5=0,得k2=45,代入得95x2-6x+5=0,解得x=53,因此53<x3.所以线段AB的中点M的轨迹方程为x-322+y2=9453<x3.名师点评求与圆有关的轨迹方程的方法已知定点M(-3,4),点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.解析如图所示,设P(x,y),N(

13、x0,y0),则线段OP的中点坐标为x2,y2,又M(-3,4),所以线段MN的中点坐标为x0-32,y0+42.由于平行四边形的对角线互相平分,故x2=x0-32,y2=y0+42.从而x0=x+3,y0=y-4.又N(x+3,y-4)在圆上,所以(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求轨迹为圆,且方程为(x+3)2+(y-4)2=4,当O,M,N三点共线时,N65,-85或N-65,85,所以x-95且x215,故除去点-95,125和点-215,285.与圆有关的最值问题角度一利用几何意义求最值典例3已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求:(1)y-x的最大值和最小值;(2)

14、yx的最大值和最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值.解析原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆.(1)y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时|2-0+|2=3,解得b=-2±6.所以y-x的最大值为-2+6,最小值为-2-6.(2)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,设yx=k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取得最大值或最小值,此时|2k-0|k2+1=3,解得k=±3.所以yx的最大值为3,最小值为-3.(3)x2+y2表示圆上一点与原点距离的平方,由

15、平面几何知识知,其在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值.易得圆心到原点的距离为2,所以x2+y2的最大值是(2+3)2=7+43,x2+y2的最小值是(2-3)2=7-43.角度二利用函数关系求最值典例4若点P为圆x2+y2=1上的一个动点,A(-1,0),B(1,0)为两个定点,则|PA|+|PB|的最大值为() A.2B.22C.42D.4答案B由已知得线段AB为圆的直径.所以|PA|2+|PB|2=4,由基本不等式得|PA|+|PB|22|PA|2+|PB|22=2,所以|PA|+|PB|22,当且仅当|PA|=|PB|=2时,等号成立.名师点评与圆有关的最值问题的四

16、种常见转化法(1)形如=y-bx-a的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(4)形如|PA|+|PQ|的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:减少动点的个数;“曲化直”,即折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.1.设P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值是()A.6B.25C.26D.36答案D(x-5)2+(y+4)2表示点P(x,y)到(5,-4

17、)的距离的平方,P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点,(x-5)2+(y+4)2的最大值为圆心(2,0)到(5,-4)的距离与半径1之和的平方,即(x-5)2+(y+4)2max=(2-5)2+(0+4)2+12=36.2.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.524B.17-1C.6-22D.17答案A因为P是x轴上的动点,所以|PM|的最小值为|PC1|-1,同理,|PN|的最小值为|PC2|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|

18、PC2|-4.作点C1关于x轴的对称点C1,则C1(2,-3).所以|PC1|+|PC2|=|PC1|+|PC2|C1C2|=52,则|PC1|+|PC2|-452-4,所以|PM|+|PN|的最小值为52-4.A组基础达标1.(2020辽宁沈阳高三期末)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y+1=0的距离为1,则a=()A.-53B.125C.5D.3答案B2.圆(x-3)2+(y-1)2=5关于直线y=-x对称的圆的方程为()A.(x+3)2+(y-1)2=5B.(x-1)2+(y-3)2=5C.(x+1)2+(y+3)2=5D.(x-1)2+(y+3)2=5答案C3.已知

19、一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52答案A4.(2020湖北孝感高三月考)圆心在直线2x-y=3上,且与两条坐标轴相切的圆的标准方程为()A.(x-3)2+(y-3)2=9B.(x-1)2+(y+1)2=1C.(x-3)2+(y-3)2=16或(x-1)2+(y+1)2=4D.(x-3)2+(y-3)2=9或(x-1)2+(y+1)2=1答案D5.(2020河南濮阳高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆C

20、与圆O:x2+y2=1外切,且与直线x-2y+5=0相切,则圆C的面积的最小值为()A.45B.35C.3-52D.(6-25)答案C6.已知定点A(2,0),B(-2,0),且P(x,y)是圆x2+(y-3)2=a2(a>0)上的动点,PAB的面积的最大值为8,则a的值为()A.1B.2C.3D.4答案A7.自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为()A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0答案D由题意得,圆心C的坐标为(3,-4),半

21、径r=2,如图.由题意可知|PQ|=|PO|,且PQCQ,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以点P的轨迹方程为6x-8y-21=0,故选D.8.已知A(2,0)为圆x2+y2=4上一定点,B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点的轨迹方程;(2)若PBQ=90°,求线段PQ的中点的轨迹方程.解析(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知点P的坐标为(2x-2,2y).因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1,故线段AP的中点的

22、轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设PQ的中点为N(m,n).在RtPBQ中,有|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON,OP,则ONPQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以m2+n2+(m-1)2+(n-1)2=4,即m2+n2-m-n-1=0,故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.9.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解析(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),设

23、A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+16>0,故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2.由题设知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圆的方

24、程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.B组能力拔高10.(多选题)已知圆M与直线x+y+2=0相切于点A(0,-2),圆M被x轴所截得的弦长为2,则下列结论正确的是()A.圆M的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M的面积的最大值为50C.圆M的半径的最小值为1D.满足上述三个条件的圆M的半径之积为10答案ABD圆M与直线x+y+2=0相切于A(0,-2),直线AM与直线x+y+2=0垂直,直线AM的斜率为1,则点M在直线y=x-2,即x-y-2=0上,故A正确;设M(a,a-2),圆M的半径r=|AM|=a2+(a-2+2)2=2|a|,圆M被x轴截得的弦

25、长为2,2r2-(a-2)2=2a2+4a-4=2,解得a=-5或a=1.当a=-5时,圆M的面积最大,为r2=50,故B正确;当a=1时,圆M的半径最小,为2,故C错误;满足上述三个条件的圆M的半径之积为52×2=10,故D正确.11.已知椭圆C:x26+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,如图,AB是过F1且垂直于长轴的弦,则ABF2的内切圆方程是. 答案x+432+y2=49解析易知A-2,63,B-2,-63,F2(2,0),设内切圆的圆心为(t,0)(t>-2),半径为r,则SABF2=12×AB×F1F2=12×(AB+A

26、F2+BF2)×r=12×4a×r,故有263×4=46r,解得r=23,由|t-(-2)|=23得t=43或t=83(舍去),所以ABF2的内切圆方程为x+432+y2=49.12.已知实数x,y满足x2+y2-6x+8y-11=0,则x2+y2的最大值为,|3x+4y-28|的最小值为. 答案11;5解析x2+y2-6x+8y-11=0可化为(x-3)2+(y+4)2=36,其表示的是圆心为(3,-4),半径为6的圆,而x2+y2表示圆上的点到坐标原点的距离,(x2+y2)max=32+(-4)2+6=11.由(x-3)2+(y+4)2=36可设圆上的点的坐标为(6cos +3,6sin -4)(为参数),|3x+4y-28|=|18cos +24sin -35|=|30sin(+)-35|其中tan =34,当sin(+)=1时,|3x+4y-28|min=5.13.已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.(1)若此方程表示圆,求实数m的取值范围;(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0交于M,N两点,且OMON(O为坐标原点),求m的值;(3)在(2)的条件下,求以MN