数字电子技术西电课件

1、第1章 数制与编码2. 二进制数二进制数的进位规则是“逢二进一”，其进位基数R=2， 每位数码的取值只能是0或1，每位的权是2的幂。表1-1列出了二进制位数、权和十进制数的对应关系。表1-1 2的幂与十进制值第1章 数制与编码式中，n代表整数位数，m代表小数位数，ai(-min-1) 表示第i位数码，它可以是0 、1、2、3、9 中的任意一个，10i为第i位数码的权值。上述十进制数的表示方法也可以推广到任意进制数。对 于一个基数为R(R2)的R进制计数制，数N可以写为(N )R = an-1an-2 × × × a1a0 × a-1a-2× &

2、#215; ×a-m= a ´ Rn-1 + a ´ Rn-2 + × × × + a ´ R1 + a ´ R0 + a ´ R-1n-1n-210-1+ a ´ R-2 + × × × + a ´ R-m-2-m(1-2)n-1= åa Riii=-m式中，n代表整数位数，m代表小数位数，ai为第i位数码，它可以是0、1、 、(R-1)个不同数码中的任何一个， Ri为第i位数码的权值。第1章 数制与编码435 86 = 4 ´102

3、 + 4 ´101 + 5 ´100 + 8´10-1 + 6 ´10-2上式左边称为位置记数法或并列表示法，右边称为多项式表示法或按权展开法。一般，对于任何一个十进制数N， 都可以用位置记数法和多项式表示法写为(N )10 = an-1an-2 × × × a1a0 × a-1a-2× × ×a-m= a ´10n-1 + a ´10n-2 + × × × + a ´101 + a ´100 + a ´1

4、0-1n-1n-210-1-2-m+ a-2 ´10 + × × × + a-m ´10n-1= åa ´10iii=-m第1章 数制与编码1. 十进制数(Decimal) 采用 10 个不同的数码0、 1、 2、 、 9和一个小数点(.)。 进位规则是“逢十进一”。若干个数码并列在一起可以表示一个十进制数。这里102、101、100、 10-1、10-2 称为权或位权，即十进制数中各位的权是基数 10 的幂，各位数码的值等于该数码与权的乘积。第1章 数制与编码1.1 数 制1.1.1 进位计数制按进位的原则进行计数，称为进

5、位计数制。每种进位计数制中 使用的数码总数称为基数或底数。在任何一种进位计数制中，任何一个数都由整数和小数两部分组成， 并且具有两种书写形式：位置记数法和多项式表示法。第1章 数制与编码第1章 数制与编码1.1 数制1.2 编码第1章 数制与编码1.1.2 进位计数制之间的转换1. 二进制数与十进制数之间的转换1) 二进制数转换成十进制数 按权展开法二进制数转换成十进制数时，只要将二进制数按式(1- 3)展开，然后将各项数值按十进制数相加，便可得到等值 的十进制数。 例如：(10110 11) = 1´ 24 + 1´ 22 + 1´ 21 + 1´ 2

6、-1 + 1´ 2-2 = (22 75)210同理，若将任意进制数转换为十进制数，只需将数 (N)R写成按权展开的多项式表示式，并按十进制规则进行 运算， 便可求得相应的十进制数(N)10。第1章 数制与编码4. 十六进制数(Hexadecimal) 十六进制数的特点是： 采用的 16 个数码为0、 1、 2、 、 9、 A、 B、C、 D、 E、 F。 符号AF分别代表十进制数的1015。 进位规则是“逢十六进一”，基数R=16，每位的权是16的幂。任何一个十六进制数， 也可以根据式(1-2)表示为n-1( N ) = åa 16i16i例如：i =-m(3AB 

7、15; 11) = 3´´16-1 + 1´16-2 = (939 0664)1610第1章 数制与编码3. 八进制数(Octal)八进制数的进位规则是“进一”，其基数R=8，采用 的数码是0、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7， 每位的权是 8 的幂。任何一个八进制数也可以根据式(1-2)表示为n-1( N ) = åa 8i8i例如：i =-m210-1(376.4)8 = 3 ´ 8 + 7 ´8 + 6 ´ 8 + 4 ´ 8= 3 ´ 64 + 7 ´ 8 + 6 + 0.5 =

8、 (254.5)10第1章 数制与编码例如：第1章 数制与编码可见，一个数若用二进制数表示要比相应的十进制数的位数长得多，但采用二进制数却有以下优点： 因为它只有0、1 两个数码，在数字电路中利用一个具有两个稳定状态且能相互转换的开关器件就可以表示一 位二进制数，因此采用二进制数的电路容易实现， 且工作稳定可靠。 算术运算规则简单。第1章 数制与编码任何一个二进制数，根据式(1-2)可表示为(N )2 = an-1an -2 × × × a1a0 × a-1a-2× × ×a-m= a ´ 2n-1 + a

9、80; 2n-2 + × × × + a ´ 21 + a ´ 20 + a ´ 2-1n-1n-210-1+ a-2 ´ 2 + × × × + a-m ´ 2-2-mn-1= åa 2iii=-m例如：3210-1-2-3(1011 011)2 = 1´ 2 + 0 ´ 2 + 1´ 2 + 1´ 2 + 0 ´ 2 + 1´ 2 +1´ 2= (11 375)10第1章 数制与编码可见，小数部分乘2取

10、整的过程，不一定能使最后乘积为0，因此转换值存在误差。通常在二进制小数的精度 已达到预定的要求时，运算便可结束。将一个带有整数和小数的十进制数转换成二进制数 时，必须将整数部分和小数部分分别按除2取余法和乘2 取整法进行转换，然后再将两者的转换结果合并起来即 可。同理，若将十进制数转换成任意R进制数(N)R，则整 数部分转换采用除R取余法；小数部分转换采用乘R取整 法。第1章 数制与编码2F = a + (a ´ 2-1 + a ´ 2-2 + × ×× + a ´ 2-m+2 )1-2-3-4-m所得乘积的整数部分就是a-2。显然，

11、重复上述过程，便可 求出二进制小数的各位数码。例如，将(0.724)10转换成二进制小数。第1章 数制与编码 小数转换 乘2取整法。若将十进制小数(N)10转换为二进制小数(N)2，则可以写成(N ) = a ´ 2-1 + a ´ 2-2 + × × × + a ´ 2-m10-1-2-m将上式两边同时乘以2， 便得到-1-m+12(N )10 = a-1 + (a-2 ´ 2 + ×× × + a-m ´ 2)令小数部分 (a ´ 2-1 + a ´ 2-2 +

12、 × × × + a ´ 2-m+1) = F-2-3-m1则上式可写成2(N )10 = a-1 + F1因此，2(N)10乘积的整数部分就是a-1。若将2(N)10乘积的小数部分F1再乘以2，则有第1章 数制与编码例如，将(57)10转换为二进制数：第1章 数制与编码同理，这个商又可以写成Q = 2(a ´ 2n-3 + a´ 2n-4 + × × × + a ) + a1n-1n-221显然，若将上式两边再同时除以2，则所得余数是a1。重复上述过程，直到商为0，就可得二进制数的数码a0、 a1、an

13、-1 。第1章 数制与编码2) 十进制数转换成二进制数 整数转换 除2取余法。若将十进制整数(N)10转换为二进制整数(N)2，则可以写成(N ) = a ´ 2n-1 + a´ 2n-2 + × × ×+ a ´ 21 + a ´ 2010n -1n -210= （2 a ´ 2n-1 + a´ 2n-3 + × × × + a ´ 21 + a ）+ an-1n-2210= 2Q1 + a0如果将上式两边同除以2，所得的商为Q = (a ´ 2n-2

14、+ a´ 2n-3 + × × × + a ´ 21 + a )1n-1n-221余数就是a0。第1章 数制与编码1.2 编 码1.2.1 二十进制编码(BCD码)二十进制编码是用四位二进制码的10 种组合表示十进制数09，简称BCD码(Binary Coded Decimal) 。这种编码至少需要用四位二进制码元，而四位二进制 码元可以有 16 种组合。当用这些组合表示十进制数09时， 有六种组合不用。由 16 种组合中选用 10 种组合，有A10 =16!» 2.9 ´1010 16 (16 -10)!第1章 数制与编码

15、例如，分别求出(375.46)8、(678.A5)16的等值二进制数： 八进制 3 7 5 . 4 6二进制 011 111 101 . 100 110十六进制 678 . A5二进制 0110 0111 1000.1010 0101所以 (375 46) 8=(011111101 100110) 2, (678 A5) 16=(011001111000 1010 0101)2第1章 数制与编码例如，将(1101101011.101)转换为十六进制数：00 11 01 10 10 11 . 10 1036B .A所以(1101101011.101)2=(36B.A)16八进制数、十六进制数转换

16、为二进制数的方法可以采 用与前面相反的步骤，即只要按原来顺序将每一位八进制 数(或十六进制数)用相应的三位(或四位)二进制数代替即可。第1章 数制与编码例如，求(01101111010.1011)2的等值八进制数：二进制 001 101 111 010 . 101 100八进制 1 572 . 5 4所以(01101111010.1011)2=(1572.54) 8二进制数转换成十六进制数的方法和二进制数与八进制数的转换相似，从小数点开始分别向左、向右将二进制数按每四位一组分组(不足四位补0)，然后写出每一值的十六进制数。第1章 数制与编码2. 二进制数与八进制数、十六进制数之间的相互转换八进

17、制数和十六进制数的基数分别为8=23，16=24， 所以三位二进制数恰好相当一位八进制数，四位二进制数相当一位十六进制数， 它们之间的相互转换是很方便的。二进制数转换成八进制数的方法是从小数点开始， 分别向左、向右，将二进制数按每三位一组分组(不足三位的补0)，然后写出每一组等值的八进制数。例如，求(01101111010.1011)2的等值八进制数：第1章 数制与编码十进制数转换成任意R进制数方法： 整数部分转换（除R取余法）： 除以基数R取余数，先低位后 小数部分转换（乘R取整法）：乘以基数R取整数，先后低位第1章 数制与编码Gray码的 距离特性有很重要的意义。假如两个相邻的十进制数 1

18、3 和 14， 相应的二进制码为1101和1110。在用二进制数作加 1 计数时，如果从 13 变 14， 二进制码的最低两位都要改变， 但实际上两位改变不可能完全同时发生， 若最 低 位 先 置 0 ， 然 后 次 低 位 再 置 1 ， 则 中 间 会 出 现110111001110， 即出现暂短的误码1100，而Gray码因只有一位变化，因而杜绝了出现这种错误的可能。BCD Gray码是一种具有 距离特性的BCD码，其编码方案也很多，表1-2最右边仅列出了一种，它有前九组代码与典型的四位Gray码相同，仅最后一组代码不同，用1000代替 了Gray码的1101，这是因为从最大数 9 返回

19、到 0，也应具有距离特性。第1章 数制与编码1.2.2 可靠性编码1. Gray码(格雷码)Gray码也称循环码，其最基本的特性是任何相邻的两组 代码中，仅有一位数码不同，因而又叫 距离码。Gray码的编码方案有多种，典型的Gray码如表1-3所示。从表中看出，这种代码除了具有 距离码的特点外，还有一个特点就是具有反射特性，即按表中所示的对称轴为界， 除最 互补反射外，其余低位数沿对称轴镜像对称。利用这一反射特性可以方便地 位数不同的Gray码。第1章 数制与编码3. 余3 码余 3 码是8421 BCD码的每个码组加3 (0011)形成的。 余3 码也具有对 9 互补的特点，即它也是一种 9

20、 的自补码，所以也常用于BCD码的运算电路中。用BCD码可以方便地表示多位十进制数，例如十进制数(579.8)10可以分别用8421 BCD码、余 3 码表示为(579.8)10 = (01010111 1001.1000)8421BCD码= (10001010 1100.1011)余3码第1章 数制与编码2. 5421 BCD码和2421 BCD码5421 BCD码和2421 BCD码为BCD码，它们从到低位的权值分别为5、 4、 2、 1和2、4、2、1。 这两种有权BCD码中，有的十进制数码存在两种 方法，例如， 5421 BCD码中的数码5，既可以用1000表示，也可以用0101 表示

21、，2421 BCD码中的数码6，既可以用1100表示， 也可以用0110表示。这说明5421 BCD码和2421 BCD码的编码方案都不是惟一的，表1-2只列出了一种编码方案。表1-2中2421 BCD码的 10 个数码中，0和9、1和8、2和7、3和6、 4和5的代码的对应位恰好一个是0时，另一个就是1。我们称0和9、1和8互为反码。因此2421 BCD码具有的特点，它是一种对9的自补代码(即只要对某一位取反就可以得到9的补码)，在运算电路中使用。第1章 数制与编码1. 8421 BCD码8421 BCD码是最基本和最常用的BCD码， 它和四位自然二进制码相似， 各位的权值为8、 4、 2、

22、 1， 故称为 BCD码。和四位自然二进制码不同的是， 它只选用了四位二进制码中前 10 组代码，即用00001001分别代表它所对应的十进制数， 余下的六组代码不用。第1章 数制与编码表 1-2 几种常用的BCD码十进制数8421码5421码2421码余 3 码BCD Gray码012345678900000001001000110100010101100111100010010000000100100011010010001001101010111100000000010010001101001011110011011110111100110100010101100111100010011

23、010101111000000000100110010011001110101010011001000第1章 数制与编码ASCII码采用七位二进制数编码，因此可以表示 128 个 字 符 。 从 表 中 可 见 ， 数 字 09 ， 相 应 用01100000111001来表示，B8通常用作奇偶检验位，但在 中表示时，常使其为 0，因此09的ASCII码为30H39H，大写字母AZ的ASCII码为41H5AH等。第1章 数制与编码1.2.3 字符代码表 1-5 ASCII码第1章 数制与编码表 1-4 带奇偶检验的8421 BCD码第1章 数制与编码2. 奇偶代码(或数据)在传输和处理过程中，

24、有时会出现代码中的某一位由 0 错变成 1，或 1 变成 0。奇偶 是一种具有检验出这种错误的代码，奇偶 由信息位和一位奇偶检验位两部分组成。信息位是位数不限的任一种二进制代码。检验位仅有一位，它可以放在信息位的前面，也可以放 在信息位的后面。它的编码方式有两种：使得一组代码中信息位和检验位中“1”的个数之和为奇 数，称为奇检验；使得一组代码中信息位和检验位中“1”的个数之和为偶数， 称为偶检验。第1章 数制与编码表 1-3 典型的Gray码第2章 逻辑代数基础表 2-1 与逻辑运算真值表与逻辑可以用逻辑表达式表示为F=A·BA BF000110110001第2章 逻辑代数基础ABE

25、F图 2 -1 与逻辑实例第2章 逻辑代数基础2.1.2 三种基本运算1. 与运算(逻辑乘)与运算(逻辑乘)表示这样一种逻辑关系：只有当决定一 事件结果的所有条件同时具备时，结果才能发生。例如在 图2-1所示的串联开关电路中，只有在开关A和B都闭合的条 件下，灯F才亮，这种灯亮与开关闭合的关系就称为与逻辑。如果设开关A、B闭合为1，断开为0，设灯F亮为1，灭为0， 则F与A、B的与逻辑关系可以用表2-1所示的真值表来描述 所谓真值表，就是将自变量的各种可能的取值组合与其因 变量的值一一列出来的表格形式。第2章 逻辑代数基础逻辑函数与普通代数中的函数相似，它是随自变量的变化而变化的因变量。因此，

26、如果用自变量和因变量分别表示某一事件发生的条件和结果，那么该事件的因果关系就可以用逻辑函数来描述。数字电路的输入、输出量一般用高、低电平来表示，高、低电平也可以用二值逻辑1和0来表示。同时数字电路的输出 与输入之间的关系是一种因果关系， 因此它可以用逻辑函数来描述，并称为逻辑电路。对于任何一个电路，若输入逻辑 变量A、 B、 C、 的取值确定后，其输出逻辑变量F的值也被惟一地确定了，则可以称F是A、 B、 C、 的逻， 并记为F = f ( A, B,C,×××)第2章 逻辑代数基础2.1 逻辑代数的三种基本运算2.1.1 逻辑变量与逻辑函数逻辑是指事物因果之间所

27、遵循的规律。为了避免用冗 繁的文字来描述逻辑问题，逻辑代数采用逻辑变量和一套 运算符组成逻辑函数表达式来描述事物的因果关系。逻辑代数中的变量称为逻辑变量，一般用大写字母A、 B、 C、表示，逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1。 0和1称为逻辑常量。但必须指出，这里的逻辑0和1 本身并没有数值意义，它们并不代表数量的大小，而仅仅 是作为一种符号，代表事物矛盾双方的两种状态。第2章 逻辑代数基础第2章 逻辑代数基础2.1 逻辑代数的三种基本运算2.2 逻辑代数的基本定律和规则2.3 复合逻辑2.4 逻辑函数的两种标准形式2.5 逻辑函数的代数化简法2.6 逻辑函数的卡诺图化简2.7 非完全描

28、述逻辑函数的化简第2章 逻辑代数基础AFBV1(a) )AA FBFBV2(b )RA13 9kB F(c)图 2-6 二极管或门图 2-5 或门的逻辑符号第2章 逻辑代数基础实现或逻辑的单元电路称为或门，其逻辑符号如图 2-5 所示，其中图(a)为我国常用的传统符号，图(b)为国外流行的符号， 图(c)为国标符号(见附录一)。 图2-6是一个 2 输入的二极管或门电路。图中输入端A、 B的电位可以取两种值： 高电位+3V或低电位0 V。设二极管为理想开关，并规定高电位为逻辑1，低电位 为逻辑0，则F与A、B之间逻辑关系的真值表与表2-2相 同， 因此实现了F=A+B的功能。第2章 逻辑代数基

29、础表 2-2 或逻辑运算真值表或逻辑可以用逻辑表达式表示为F=A+B或逻辑也称为或运算或逻辑加。符号“+”表示逻辑加。有些文献中也采用、等符号来表示逻辑加。A BF0 00 11 01 10111第2章 逻辑代数基础2. 或运算(逻辑加)A BEF图 2-4 或逻辑实例第2章 逻辑代数基础A FB UCC(+5V)(a) RAFV3 9kB1(b)AFA &FBB V2(c)图 2-2 与门的逻辑符号图 2-3 二极管与门第2章 逻辑代数基础在逻辑代数中，将与逻辑称为与运算或逻辑乘。符号“ 表· 示”逻辑乘，在不致的情况下，常省去符号“ ·。 ”在有些文献中，也采用

30、、 及&等符号来表示逻辑乘。实现与逻辑的单元电路称为与门，其逻辑符号如图 2-2 所示，其中图(a)为我国常用的传统符号，图(b)为国外流行 的符号，图(c)为国标符号(见附录一)。图2-3是一个2 输入的二极管与门电路。图中输入端A、B的电位可以取两种值： 高电位+3V或低电位0V。设二极管为理想开关，并规定高 电位为逻辑1，低电位为逻辑0，那么F与A、B之间逻辑关 系的真值表与表2-1相同， 因而实现了F=A·B的功能。第2章 逻辑代数基础2. 与普通代数相似的定律交换律 A·B=B·AA+B=B+A结合律 (A·B)·C=A

31、83;(B·C) (A+B)+C=A+(B+C)分配律 A·(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)以上定律可以用真值表证明，也可以用公式证明。例 如， 证明加对乘的分配律A+BC=(A+B)(A+C)。证： (A+B)(A+C) =A·A+A·B+A·C+B·C=A+AB+AC+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC因此有A+BC=(A+B)(A+C)第2章 逻辑代数基础2.2 逻辑代数的基本定律和规则2.2.1 基本定律1. 变量和常量的关系式逻辑变量的取值只有0和1，根据三种基本运算的定 义，可推得以下关系式。0-1

32、律： A·0 =0 A+1 =1自等律：A·1=A A+0=A 重叠律：A·A=A A+A=A 互补律：A·A=0 A+A=1第2章 逻辑代数基础UCC(+5v) RCF(U )OARV(UI)图 2-9 三极管非第2章 逻辑代数基础AF(a)AF(b)AF(c)图 2-8 非门逻辑符号1第2章 逻辑代数基础表 2-3 非逻辑运算真值表REFA图 2-7 非逻辑实例AF0110第2章 逻辑代数基础3. 非运算(逻辑反)非运算(逻辑反)是逻辑的 ：当条件具备时，结果不会发生；而条件不具备时，结果一定会发生。例如，在图 2- 7所示的开关电路中，只有当开关A

33、断开时，灯F才亮，当开 关A闭合时，灯F反而熄灭。灯F的状态总是与开关A的状态 相反。这种结果总是同条件相反的逻辑关系称为非逻辑。非逻辑的真值表如表2-3所示，其逻辑表达式为F = A通常称A为原变量，A为反变量。第2章 逻辑代数基础2.2.3 若干常用公式1. 合并律AB + AB = A在逻辑代数中，如果两个乘积项分别包含了互补的两个因子(如B和B)， 而其它因子都相同，那么这两个乘积项称为相邻项。合并律说明，两个相邻项可以合并为一项， 消去互补量。第2章 逻辑代数基础任何逻辑函数式都存在着对偶式。 若原等式成立， 则对偶式也一定成立。即，如果F=G, 则F=G。这种逻辑推理叫做对偶原理，

34、或对偶规则。必须注意，由原式求对偶式时，运算的优先顺序不能 改变， 且式中的非号也保持不变。观察前面逻辑代数基本定律和公式，不难看出它们都 是成对出现的， 而且都是互为对偶的对偶式。例 如 ， 已 知 乘 对 加 的 分 配 律 成 立 ， 即A(B+C)=AB+AC，根据对偶规则有，A+BC=(A+B)(A+C )，即加对乘的分配律也成立。第2章 逻辑代数基础3. 对偶规则对于任何一个逻辑函数，如果将其表达式F中所有的算符“ ·换成”“+”, “+”换成“ ·，常”量“0”换成“1”，“1”换成 “0”， 而变量保持不变，则得出的逻辑函数式就是F的对偶式，记为F(或F*)

35、。 例如：若F = A × B + A × (C + 0),则F ' = ( A + B) × ( A + C ×1);若F = A × B × C,则F ' = A + B + C;若F = A,则F ' = A以上各例中F是F的对偶式。不难证明F也是F对偶式。 即F 与F互为对偶式。第2章 逻辑代数基础2. 反演规则对于任意一个逻辑函数式F，如果将其表达式中所有的 算符“ ·换成”“+”， “+”换成“ ·，常”量“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则

36、所得到的结果就是F 。F 称为原函数F的反函数，或称为补函数。反演规则是反演律的推广，运用它可以简便地求出一个函数的反函数。 例如：若F = AB + C × D + AC, 则 F = ( A + B) × C + D( A + C);若F = A + B + C + D + E, 则 F = A × B × C × D × E。运用反演规则时应注意两点： 不能破坏原式的运算顺号里的，然后按“先与后或”的原则运算。 不属于单变量上的不变。第2章 逻辑代数基础2.2.2 三个重要规则1. 代入规则任何一个逻辑等式，如果将等式两边所出现

37、的某一变量都代之以同一逻辑函数，则等式仍然成立，这个规则称为代入 规则。 由于逻辑函数与逻辑变量一样，只有 0、1两种取值， 所以代入规则的正确性不难理解。运用代入规则可以扩大基 本定律的运用范围。例如，已知A+B=A·B(反演律)，若用F=B+C代替等式中 的B，则可以得到适用于多变量的反演律， 即A + B + C = A × B + C = A × B × C第2章 逻辑代数基础3. 逻辑代数中的特殊定律反演律( De Morgan定律)：A × B = A + B A + B = A × B还原律： A = A表 2-4 反演

38、律证明ABABA + BA + BAB0 00 11 01 11110111010001000第2章 逻辑代数基础2. 异或和同或逻辑运算异或逻辑的含义是：当两个输入变量相异时，输出为1； 相同时输出为0。 是异或运算的符号。 异或运算也称模2加运算。异或逻辑的真值表如表2-5所示， 其逻辑表达式为F = A Å B = AB + AB表 2-5 异或逻辑真值表A BF0 00 11 01 10110第2章 逻辑代数基础A BCFDA AB FBF A BAF AFF BBCDA &A1B FBFA& 1B(a) (b)CFD(c)图 2-10 与非门、 或非门和与或

39、非门的逻辑符号(a) 与非门； (b) 或非门； (c) 与或非门第2章 逻辑代数基础2.3 复 合 逻 辑2.3.1 复合逻辑运算和复合门1. 与非、 或非、 与或非逻辑运算与非逻辑运算是与运算和非运算的组合， 即F = A × B或非逻辑运算是或运算和非运算的组合， 即F = A + B与或非逻辑运算是与、或、非三种运算的组合，即F = AB + CD第2章 逻辑代数基础证：AB+AC+BCD=AB+AC+BC+BCD=AB+AC+BC（1+D）=AB+AC该公式及推论说明，在一个与或表达式中，如果 两个乘积项中的部分因子互补(如AB项和AC项中的A和A)，而这两个乘积项中的其余

40、因子(如B和C)都是第三 个乘积项中的因子， 则这个第三项是多余的。第2章 逻辑代数基础该公式说明，在一个与或表达式中，如果一个乘积项(如A)取反后是另一个乘积项(如 AB的因子，则此因子 A是多余的。AB + AC + BC = AB + AC证： AB + AC + BC = AB + AC + ( A + A)BC = AB + AC + ABC + ABC= AB + AC证：AB+AC=AB+ABC+AC+ABC=AB+AC+BC（A+A）=AB+AC+BC推论：AB + AC + BCD = AB + AC第2章 逻辑代数基础2. 吸收律A+AB=A证：A+AB=A(1+B)=A&

41、#183;1=A该公式说明，在一个与或表达式中，如果某一乘积项的部分因子(如AB项中的A)恰好等于另一乘积项(如A)的全部， 则该乘积项(AB)是多余的。A + AB = A + B证： A + AB = ( A + A)( A + B) = 1× ( A + B) = A + B第2章 逻辑代数基础但是“与、 或、 非”并不是最好的完备集， 因为它实现一个函数要使用三种不同规格的逻辑门。 实际上从反演律可以看出， 有了“与”和“非”可得出“或”， 有了“或”和“非”可得出“与”， 因此“与非”、 “或非”、 “与或非”运算中的任何一种都能单独实现“与、 或、 非”运算， 这三种复合

42、运算每种都是完备集， 而且实现函数只需要一种规格的逻辑门， 这就给设计工作带来许多方便。第2章 逻辑代数基础2.3.2 逻辑运算符的完备性对于一个代数系统， 若仅用它所定义的一组运算符号就能解决所有的运算问题， 则称这一组符号是一个完备的集合， 简称完备集。在逻辑代数中， 与、 或、 非是三种最基本的运算， n 变量的所有逻辑函数都可以用 n个变量及一组逻辑运算符“ 、·+、 -”来 ， 因此称“ 、·+、 -”运算符是一组完备集。第2章 逻辑代数基础表 2-7 常用异或和同或运算公式此外，ìï0(A的个数为偶数)A Å A Å A

43、Å×××Å A = íïî A (A的个数为奇数)第2章 逻辑代数基础由定义和真值表可见，异或逻辑与同或逻辑互为反函数，即A Å B = A Ä B, A Ä B = A Å B不仅如此， 它们还互为对偶式。如F果= A Å B ， G=AB， 不难证明F=G, G=F。 因此可以将“ Å”作为 “”的对偶符号，反之亦然。由以上分析可以看出， 两变量的异或函数和同或函数既互补又对偶，这是一对特殊函数。第2章 逻辑代数基础同或逻辑与异或逻辑相反，它表示当两个

44、输入变量相 同时输出为1；相异时输出为0。 是同或运算的符号。同或逻辑的真值表如表2-6所示，其逻辑表达式为F = A Ä B = AB + AB表 2-6 同或逻辑真值表A BF0 00 11 01 11001第2章 逻辑代数基础AFAF BBAFAF BBA1FAF BB(a) )(b )图 2-11 异或门和同或门的逻辑符号(a) 异或门； (b) 同或门第2章 逻辑代数基础2. 最小项表达式 标准与或式如果在一个与或表达式中，所有与项均为最小项， 则称这种表达式为最小项表达式， 或称为标准与或式、标准积之和式。 例如：F ( A, B, C) = ABC + ABC + AB

45、C是一个三变量的最小项表达式， 它也可以简写为F( A, B, C) = m5 + m4 + m6= åm(4,5,6)第2章 逻辑代数基础最小项具有以下性质： n变量的全部最小项的逻辑和恒为1，即2n -1åmi = 1i =0 任意两个不同的最小项的逻辑乘恒为0， 即mi × mj = 0(i ¹ j) n变量的每一个最小项有n个相邻项。例如，三变量的某一最小项ABC 有三个相邻项：ABC、ABC、ABC 。这种相邻关系对于逻辑函数化简十分重要。第2章 逻辑代数基础表 2-8 三变量逻辑函数的最小项第2章 逻辑代数基础2.4 逻辑函数的两种标准形式2

46、.4.1 最小项和最小项表达式1. 最小项n个变量的最小项是n个变量的“与项”，其中每个变量 都以原变量或反变量的形式出现一次。两 个 变 量 A 、 B 可 以 构 成 四 个 最 小项AB AB AB AB，三个变量A、B、C可以构成小A项BC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC变量的最小项共有2n个。第2章 逻辑代数基础A &A1B 1B&F=AB+ACF=(A+B)(A+C)AACC(a) (b)A &A1B &B1F=ABACF=(A +B)+(A+C)AACC(c )(d)F=AB+AC(e )图 2-12 逻辑函数的五种形式AB

47、&1AC1&1&第2章 逻辑代数基础例如，任何一个逻辑函数式都可以通过逻辑变换写成以下五种形式：F = AB + AC与或式= ( A + B)( A + C)或与式= AB × AC与非与非式= ( A + B) + ( A + C)或非或非式= AB + AC与或非式第2章 逻辑代数基础3. 最大项表达式 标准或与式在一个或与式中，如果所有的或项均为最大项，则称这 种表达式为最大项表达式，或称为标准或与式、标准和之积 表达式。如果一个逻辑函数的真值表已给出，要写出该函数的最 大项表达式， 可以先求出该函数的反函数 F ， 并写出的最小项表达式，然后将 F

48、再求反，利用mi和Mi的互补关系便得到最大项表达式。例如，已知表2-11的真值表，可得F第2章 逻辑代数基础2. 最小项与最大项之间的关系变量数相同，编号相同的最小项和最大项之间存在互 补关系，即mi = Mi , M i = mi例如：M7 = A + B + C = A × B × C = m7M7 = A × B × C = A × B × C = A + B + C = M7第2章 逻辑代数基础最大项具有以下性质： n变量的全部最大项的逻辑乘恒为0，即2n -1Õ Mi = 0i =0 n变量的任意两个不同的最大项的

49、逻辑和必等于1，即Mi + M j = 1(i ¹ j) n变量的每个最大项有n个相邻项。例如，三变量的某一最大项( A + B + C)有三个相邻项：( A + B + C)、( A + B + C)、( A + B + C)。第2章 逻辑代数基础2.4.2 最大项和最大项表达式1. 最大项n个变量的最大项是n个变量的“或项”，其中每一个变 量都以原变量或反变量的形式出现一次。n个变量可以 2n个最大项。最大项用符号Mi表示(见表2-10)。与最小项恰好相 于任何一个最大项，只有一组变量取值使它为0，而变量的其余取值均使它为1。例如，或项 A + B + C 仅和变量取值101对应

50、， 表示。第2章 逻辑代数基础从真值表可知，当A、B、C取值分别为001、010 、100、111时，F为1，因此最小项表达式由这四种组合所对应的最小项进行相或 ，即F = ABC + ABC + ABC + ABC = åm(1,2,4,7)表 2-10 三变量逻辑函数的最大项第2章 逻辑代数基础任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式： 只要将真值表中使函数值为1的各个最小项相或，便可得 出该函数的最小项表达式。 由于任何一个函数的真值表是惟一的，因此其最小项表达式也是惟一的。表 2-9 真值表A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 0

51、1 1 101101011第2章 逻辑代数基础2.6 逻辑函数的卡诺图化简2.6.1 卡诺图的在逻辑函数的真值表中， 输入变量的每一种组合都和一个最小项相对应，这种真值表也称最小项真值表。 卡诺图就是根据最小项真值表按一定规则排列的方格图。第2章 逻辑代数基础F = ABC + ABC + ABC + ABC= ( ABC + ABC) + ( ABC + ABC) + ( ABC + ABC)= AC + AB + BCF = AB + BC + BC + AB= AB(C + C) + BC + BC( A + A) + AB= ABC + ABC + BC + ABC + ABC + A

52、B= AC + BC + AB第2章 逻辑代数基础3. 配项法利 用 重 叠 律 A+A=A 、 互 补 律 A+A=1 和 吸 收 律AB+AC+BC=AB+AC先配项或添加多余项，然后再逐步化 简。如：F = AC + AD + BD + BC= AC + BC + ( A + B)D= AC + BC + AB + ABD(添多余项AB)= AC + BC + AB + D= AC + BC + D(去掉多余项AB)第2章 逻辑代数基础2. 吸收法利用吸收律 A+AB=A、 A + AB = A + B和AB + AC + BC = AB + AC吸收(消去)多余的乘积项或多余的因子。 如：F = AB + AC + BC = AB + ( A + B)C =