中考数学综合题专题复习【几何中的动点问题】专题解析

1、数学专题之【几何综合题】精品解析中考数学综合题专题复习【几何中的动点问题】专题解析【真题精讲】【例1】如图，在梯形ABCD中，AD/BC,AD=3,DC=5,BC=10,梯形的高为4.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t（秒）.（1）当MNIIAB时，求t的值；（2）试探究：t为何值时，4MNC为等腰三角形.【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件

2、之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M,N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN/AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。【解析】解：（1）由题意知，当M、N运动到t秒时，如图，过D作DE/AB交BC于E点，则四边形ABED是平行四边形.ADBEMCAB/DE,AB/MN. DEIIMN.（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） MC

3、=NC.（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）ECCD .3.解得t=”10-3517【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情况讨论：当MN=NC时，如图作NF_LBC交BC于F,则有MC=2FC即.（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）数学专题之【几何综合题】精品解析,sin/C=DFCD3cos/C=一,53t

4、-10-2t=2,5解得tv258当MN=MC时，如图，过则CN=2CH,3t=2(102ty-.60t=.17M作MH_LCD于H当MC=CN时,则10-2t=t.,10t=.3综上所述，当t=25、史或笆时,8173MNC为等腰三角形.【例2】在ABC中，/ACB=45o点D(与点B、C不重合)为射线BC上一动点，连接AD以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF(1)如果AB=AC如图，且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论.(2)如果ABAC,如图，且点D在线段BC上运动.(1)中结论是否成立，为什么？(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF

5、所在直线相交于点巳设AC=472,BC=3,CD=x,求线段CP的长.(用含x的式子表示)数学专题之【几何综合题】精品解析图【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。【解析】：(1)结论：CF与BD位置关系是垂直；证明如下：.AB=AC,/ACB=45o,，/ABC=45o由正方形ADEF得AD=AF,/DAF4BAC=90o/DABhFAG1DABFAC,/ACF=ZABD/BCFW

6、ACB+/ACF=900.即CF±BD.【思路分析2这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。(2)CF±BD.(1)中结论成立.理由是：过点A作AGLAC交BC于点GAC=AG可证：GA阴ACAF，/ACF4AGD=45o/BCF土ACB吆ACF=900.即CF±BD【思路分析3这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可

7、求出CP.(3)过点A作AQLBC交CB的延长线于点Q点D在线段BC上运动时，./BCA=45o可求出AQ=CQ=4DQ=4-x,易证AAQDDCP空=CD,.CP=xDQAQ4-x42x二CP=一一十x.4点D在线段BC延长线上运动时，./BCA=45o可求出AQ=CQ=4，DQ=4+x.过A作AG_LAC交CB延长线于点G,则MGD与AACF.二CF±BD,-AAQDDCP2xACP+x.4CPCD=?DQAQCPx4x4【例3】已知如图，在梯形ABCD中,AD/BC,AD=2,BC=4,点M是AD的中点,数学专题之【几何综合题】精品解析MBC是等边三角形.(1)求证：梯形ABC

8、D是等腰梯形；(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且/MPQ=60"呆持不变.设PC=xMQ=y与x的函数关系式；(3)在(2)中，当y取最小值时，判断APQC的形状，并说明理由.【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定/MPQ=60,这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系，所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系怎么

9、证相似三角形呢？当然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】(1)证明：ZXMBC是等边三角形 MB=MC,/MBC=/MCB=60 M是AD中点 AM=MD.AD/BC/AMB=/MBC=601DDMC-ZMCB-60 AAMBADMC AB=DC梯形ABCD是等腰梯形.(2)解：在等边zXMBC中，MB=MC=BC=4,/MBC=/MCB=60%/MPQ=60./BMPZBPM=/BPM/QPC=120(这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩）/BMP=/QPCBMPszCQP,PCCQBMBP.PC=x,MQ=y.BP=4x,QC=4y数学专题之【几何综合题】精品解析,x4-y.12一一=-

10、y=_xx+444-x4(设元以后得出比例关系，轻松化成二次函数的样子)【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2,求APQC形状”的问题了。由已知的BC=4,自然看出P是中点，于是问题轻松求解。(3)解：zPQC为直角三角形y=-x-234，当y取最小值时，x=PC=2P是BC的中点，MP_LBC,而/MPQ=60口,/CPQ=30°,./PQC=90以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去

11、求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢？接下来我们看另外两道题.【例4】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF_LBD交BC于F,连接DF,G为DF中点，连接EG,CG.(1)直接写出线段EG与CG的数量关系；(2)将图1中iBEF绕B点逆时针旋转45°,如图2所示，取DF中点G,连接EG,CG,.你在(1)中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.(3)将图1中ABEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？(不要求证明)图3数学专

12、题之【几何综合题】精品解析【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45。到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。(1) CG=EG(2) (1)

13、中结论没有发生变化，即CG=EG.证明：连接AG,过G点作MN_LAD于M,与EF的延长线交于N点.在iDAG与iDCG中， AD=CD,.ADG=.CDG,DG=DG, iDAGMCG.AG=CG.在ADMG与AFNG中， ZDGM=/FGN,FG=DG,/MDG=/NFG,iDMG©AFNG.MG=NG在矩形AENM中，AM=EN在RtMMG与RUENG中， AM=EN,MG=NG, MMG©MNG.AG=EG.EG=CG【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果BEF任

14、意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H,从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGHir等，利用角度变换关系就可以得证了。(3) (1)中的结论仍然成立.数学专题之【几何综合题】精品解析图3D【例5】已知正方形ABCD勺边长为6cm,点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F,将ABE沿直线AE翻折，点B落在点B&#

15、39;处.（1）当BE=1时，cf=cmCE（2）当BE=2时，求sin/DAB的值；CE（3）当旦旦=x时（点C与点E不重合），请写出ABE翻折后与正方形ABCS共部CE分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）.【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1,第二问比例为2,第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获

16、得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。(1) CF=6cm;(延长之后一眼看出，EAZY(2)如图1,当点E在BC上时，延长AB'交DC于点MBEAB.AB/CF,AB&FCEE,，=CEFCBE =2,CF=3.CE图1 AB/CF,.BAE=ZF.数学专题之【几何综合题】精品解析又/BAEWB'AE,/B'AE=ZF.，MA=MF设MA=MF=k贝UMC=k-3,DM=9-k.在RtAADM,由勾股定理得:k2=(9-k)2+6：-13解得k=MA=一.25、

17、DM=5.（设兀求解是这类题型中比较重要的方2法）sin/DABDM5=一；如图2,当点E在BC延长线上时，延长AD交B'E于点N,AM13同可得NA=NE设NA=NE=m贝UB'N=12-m.在RtAB'N中，由勾股定理，得n2=(12-m)2+62,解得m=AN=15.B7N=9.BN3 sin/DAB=.AN518x(3)当点E在BC上时，y=8;（所求AB'E的面积即为ABE的面积，再由相似表示x1出边长）当点E在BC延长线上时，y=18x-18x【总结】通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问

18、题往往作为压轴题来出，所以难度不言而喻，但是希望考生拿到题以后不要慌张，因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析，一个个将条件抽出来，将大问题化成若干个小问题去解决，就很轻松了.为更好的帮助考生，笔者总结这种问题的一般思路如下：第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变

19、量间的函数关系来研究。第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。数学专题之【几何综合题】精品解析【发散思考】【思考1】已知：如图（1）,射线AM射线BN,AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN上运动（点D与点A不重合、点C与点B不重合），E是AB边上的动点（点E与A、B不重合），在运动过程中始终保持DE_LEC,且AD+DE=AB=a.（1）求证：AADEsBEC;（2）如图（2）,当点E为AB边的中点时

20、，求证：AD+BC=CD;（3）设AE=m，请探究：ABEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示ABEC的周长；若无关，请说明理由.第25题（1）第25题（2）【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。【思考2】4ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA若0y/PBe180°,且/PBCF分线上的一点D满

21、足DB=DA（1）当BP与BA重合时（如图1）,/BPD=°（2）当BP在/ABCW内部时（如图2）,求/BPD勺度数；（3）当BP在/ABCW外部时，请你直接写出/BPD勺度数，并画出相应的图形.【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有/PBC以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢？留给大家思考下数学专题之【几何综合题】精品解析3【思考3如图：已知，四边形ABCC,AD/BC,DCXBC；已知AB=5,BC=6cosB=_.5点O为BC边上的

22、一个动点，连结OD以O为圆心，BO为半径的。0分别交边AB于点巳交线段OW点M交射线BC于点N,连结MN(1)当BO=AD寸，求BP的长；(2)点O运动的过程中，是否存在BP=MN勺情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN若不存在，请说明理由；(3)在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作。C,请直接写出当GK存在时，O0与。C的位置关系，以及相应的OC半径CN的取值范围。(备用图)【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设

23、元的方法表示出M港口BP,从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。【思考4】在|_ABCD中，过点C作CHCD交AD点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF(如图1)(1)在图1中画图探究：当P为射线CD上任意一点(Pi不与C重合)时，连结ER绕点E逆时针旋转90得到线段EC.判断直线FG与直线CD的位置关系，并加以证明；当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EB,将线段EB绕点E逆时针旋转90得到线段EC.判断直线CC2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.(2)若AD=6,tanB=4,AE=1,在的条件下，设CP=x,1PlFC1=y,求y与

24、x之间的函3数关系式，并写出自变量x的取值范围.10数学专题之【几何综合题】精品解析【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90。的条件。旋转90。自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。【思考题解析】【思考1解析】(1)证明：DE_LEC,/DEC=90，/AED+/BEC=90，又.ZA=ZB=

25、90°,.ZAED+ZEDA=90°.NBEC=NEDA.AADEABEC.ADM第25题(2)证明：如图，过点E作EF/BC,交CD于点F,1,、E是AB的中点，容易证明EF=(AD+BC).21_在RtADEC中，.DF=CF,.EF=-CD.21,、1-(AD+BC)=CD.22AD+BC=CD.(3)解:AED的周长=AE+AD+DE=a+m,设AD=x,则DE=ax.NA=90©,.DE2=AE2+AD2.即a22ax+x2=m2+x2.2a由(1)知MDEsiBEC,11数学专题之【几何综合题】精品解析MDE的周长：BEC的周长AD2aamBEa-m2

26、a2aBEC的周长=MADE的周长=2a.amBEC的周长与m值无关.【思考2答案】解：(1)/BPD=30°；(2)如图8,连结CD解一：二点D在/PBC勺平分线上，/1=/2.AB%等边三角形，BA=BC=ACZACB=60.BP=BABP=BCBD=BDAPBIDCBD/BPD=3.3.DB=DABC=ACCD=CD:.ABCIDACD1-N3=Z4=_ZACB=30°.2/BPD=30.解二：:4ABC等边三角形，:.BA=BC=AC.DB=DACM直平分AB1N3AAACB=30.2BP=BABP=BC点D在/PBC勺平分线上，APBDCBC于BD所在直线对称./

27、BPDN3./BPD=30.(3) /BPD=30或150°.图形见图9、图10.数学专题之【几何综合题】精品解析【思考3解析】31解：（1）过点A作AHBC,在RtABE中，由AB=5,cosB=得BE=3.5.CDLBGAD/BC,BC=6,.AD=EC=BCBE=3当BO=AD=3寸，在。0中，过点O作O也AB,则BH=HP.BH39=COSB,BH=3父一=一.BO5518BP=(2)不存在BP=MN勺情况-假设BP=MN立，,BP和MN为。0的弦，则必有/BOPWDOC.过P作PQLBG过点O作OHLAB,.CDLBG则有PQSDOC-、一一,BH33设BO=x贝UPO=x，由=cosB=-，得BH=-x,x55.BP=2BH