专题训练七四种特殊的等腰三角形的运用

1、专题训练（七）四种特殊的等腰三角形的运用?类型一等腰直角三角形定义：有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.性质：（1）两条直角边相等；（2）顶角是90°,底角是45°.判定：利用定义.1 .如图7ZT-1,轮船从B处以每小时50nmile的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时后到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60。方向上，则C处与次T塔A的距离是nmile.图7ZT12 .如图7ZT2,ZABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,BE是角平分线，EDXBC于点D.（1）请你写出图中所

2、有的等腰三角形；（2）若BC=10,求AB+AE的长.图7ZT23 .如图7ZT3,在那BC中，AB=AC,D是BC的中点，BEXAC,垂足为E,/ABE的平分线交AD于点F,判断4DBF的形状，并证明你的结论.图7ZT34 .如图7ZT4,在等腰三角形ABC中，AC=BC,分别以BC和AC为直角边向上作等腰直角三角形BCD和ACE,AE与BD相交于点F,连接CF并延长交AB于点G.求证：CG垂直平分AB.图7ZT4?类型二等边三角形定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形.性质：（1）三边都相等；（2）三个角都是60°.60°的等腰三角判定：（1）定义；（2）三个角都相等的

3、三角形是等边三角形；（3）有一个角是形是等边三角形.cm,AB的垂直5 .如图7ZT5所示，在AABC中，AB=AC,/A=120°,BC=6平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,则MN的长为（）图7ZT5C. 2cmAD平分/BAC,/6 .如图7ZT6,在祥BC中，AB=AC,D,E是那BC内两点,cm.EBC=/E=60°若BE=6cm,DE=2cm,贝UBC=图7ZT6/AEF=60°,EF交7 .如图7ZT7,AABC是等边三角形，E是BC边上任意一点,那BC的外角/ACD的平分线于点F.求证：AE=EF.图7ZT

4、7类型三有一个角是30。的等腰三角形8 .2017荆州如图7ZT8,在4ABC中，AB=AC,ZA=30°,AB的垂直平分线l交AC于点D,则/CBD的度数为（）A.30°B,45°C.50°D,75°9 .如图7ZT9,在RtAABC中，ZC=90°,ZB=30°,BC=3,D是BC边上一点（不与点B,C重合），过点D作DELBC交AB边于点E,将/B沿直线DE翻折，点落在射线BC上的点F处，当AAEF为直角三角形时，BD的长为.图图7ZT910 .如图7ZT10,在AABC中，/ABC=45°,D是AABC的边

5、BC上一点，DC2DB,/ADC=60°,CEXAD,垂足为E,连接BE.求证：EA=EB=EC.图7ZT10?类型四有一角是36。的等腰三角形有一角是36。的等腰三角形包括两种情况：（1）顶角是36。的等腰三角形，此时底角是72。；（2）底角是36。的等腰三角形，此时顶角是108。这两类等腰三角形具有一些共性.11 .如图7ZT11,过正五边形ABCDE的顶点A作直线l/BE,则/1的度数为（）图7ZT11A.30°B,36°C.38D. 4512 .2017益阳如图7ZT12,在AABC中，AB=AC,ZBAC=36°,DE是线段AC的垂直平分线，若

6、BE=a,AE=b,则用含a,b的式子表示AABC的周长为.图7ZT1213 .如图7ZT13所示，在AABC中，AB=AC,D为BC上一点，且AB=BD,AD=DC,则/BAC=度.图7ZT1314 .如图7ZT14,在4ABC中，AB=AC,ZA=36°,称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作：(画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括AABC)图7ZT14(1)在图中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是度和度；(2)在图中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；(3)继续按以上操作发现：在图中画n条线段，则图中

7、有个等腰三角形，其中有个黄金等腰三角形.教师详解详析1.答案25解析由题意知/ABC=45°,ZACB=90°,于是/A=45°,.ABC是等腰直角三角一一一_一1.形.AC=BC=50><2=25(nmile).2.解：(1)如图，,ABC是等腰直角三角形，/BAC=90°,/ABC=/8=45°.又EDXBC,./EDC=90°,/7=/8=45°DE=DC,故ADCE为等腰三角形；BE是/ABC的平分线，/BAC=/EDB=90°,AE=DE,故那DE为等腰三角形；BE是/ABC的平分线，1=72

8、.又./BAE=/EDB=90°,BE=BE,ABEDBE.AB=BD,故"BD为等腰三角形.故图中所有的等腰三角形为那BC,ADCE,祥DE,AABD,共四个.(2)由(1)可知4ADE,祥BD,ADCE均为等腰三角形,AB=BD,AE=DE=CD.AB+AE=BD+CD=BC=10.3.解：ADBF是等腰直角三角形.证明：AB=AC,D是BC的中点，AD±BC,AD平分/BAC. BF平分/ABE,BEXAC, ./DFB=ZDAB+ZABF=1(ZBAE+ZABE)=2(180-ZAEB)=45/DBF=90°-ZDFB=45°DB=DF

9、. .DBF是等腰直角三角形.4 .证明：.AC=BC,/CAB=/CBA.ACE和ABCD均为等腰直角三角形，/CAE=/CBD=45°/FAG=/FBG.AF=BF.在AACF和ABCF中，AF=BF,AC=BC,CF=CF, .ACFABCF(SSS). ./ACF=/BCF. .AG=BG,CG±AB(三线合一)，即CG垂直平分AB.5 .C6 .答案8解析延长AD交BC于点M,由AB=AC,AD平分/BAC可得AM±BC,BM=MC1. 一=BC.延长ED交BC于点N,则AEBN是等边二角形，故EN=BN=BE=6cm,z.DN=61-2=4(cm),在

10、RtDMN中，/MDN=90-ZDNM=30,，MN=/DN=2cm.BM=6 2=4(cm).BC=2BM=8cm.7 .证明：如图，在AB上截取AG=CE,连接EG.ABC是等边三角形，AB=BC,ZB=ZACB=60°.：.BG=BE. .BEG是等边三角形.BGE=60°. ./AGE=120°. CF平分/ACD,1.ACF=2(180-ZACB)=60. ./ECF=120°：./AGE=ZECF. ./AEC=ZB+ZGAE=ZAEF+/CEF,且/AEF=/B=60°, ./GAE=ZCEF.AGEAECF(ASA).，AE=E

11、F.8 .解析B.AB=AC,/A=30°,./ABC=/ACB=75°；AB的垂直平分线交AC于点D,.AD=BD.A=/ABD=30°CBD=/ABC/ABD=7530°=45故选B.BFC图FAB=90-FAC=30°在(2)若/EAF=图9 .答案1或2解析根据题意，得/AEF=2/B=60°.（嘴/AFE=90°,如图，则/AEF=30°,FAB=/B.，AF=BF./B=30°,./BAC=60°RtAFAC中,FC=BD=BF=2.综上所述，BD的长为1或2.10.证明：CEXAD

12、,/ADC=60°,./DCE=30°.：.DC=2DE.DC=2DB,DE=DB./EBC=/ADC=30。./EBC=/ECB=30°EB=EC./DAB=ZADC-ZABC=15°,/EBA=/ABC-ZEBC=45°-30/DAB=/EBA.EA=EB.EA=EB=EC.AF=1BF=1BC=1,BF=BC-FC=2.BD=1BF=1;22321190,如图，同理可得FC=AF.在RtABAF中，FA=BF.15°,FC=；BF=1BC=1.BF=BC+CF=4.4312. 答案2a+3b解析根据题意可知AC=AB=a+b.AB=AC,ZBAC=36°, ./B=ZACB=72°.DE是线段AC的垂直平分线，/BAC=36°, .AE=CE./ACE=/BAC=36°. ./B=ZBEC=72°.BC=CE=AE=b.ABC的周长=2(a+b)+b=2a+3b.13. 10814.A图解：（1）如图所示（画图不唯一）.空格处分别填：108,36.提示：当