23函数的奇偶性

1、 2.3 2.3 函数的奇偶性函数的奇偶性1.奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都 有 ，那么函数f（x）就叫做偶函数. 一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都 有 ，那么函数f（x）就叫做奇函数. 2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: (1)考查定义域是否关于 ； (2)根据定义域考查表达式f(-x)是否等于f(x)或-f（x）. 若 ，则f（x）为奇函数. 若f（-x）= ，则f（x）为偶函数. 若f（-x）= 且f（-x）= ，则f（x）既是奇函数又是偶函数. 若f（-x）-f（x）且f（-x）f

2、（x），则f（x）既不是 奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数. 要点梳理要点梳理 f（-x）=f（x） f（-x）=-f（x）原点对称f（-x）=-f（x）f（x）-f（x）f（x）3.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶 函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相同”、 “相反”). (2)在公共定义域内， 两个奇函数的和是 ，两个奇函数的积是偶函数； 两个偶函数的和、积是 ； 一个奇函数，一个偶函数的积是 .1. 函数f（x）=x3+sinx+1 （xR）若f（a）=2，则f（-a）的值为 .解析解析 设g(x)=x3+sinx,很明显g(x)是一个奇函数.

3、f（x）=g（x）+1.f（a）=g（a）+1=2，g（a）=1，g（-a）=-1，f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0.相同相反奇函数偶函数奇函数基础自测基础自测02.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的 值为 . 解析解析 依题意f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x), f(6)=f(2)=f(0+2)=-f(0), 又f（x）是R上的奇函数， f（0）=0，f（6）=-f（0）=0.3.设偶函数f(x)=loga|x-b|在（-,0)上单调递增，则f(a+1) f(b+2)（用“”,“”,“”,“”填空）. 解析解析 f

4、(x)是偶函数，b=0.又f(x)在(-,0)递增， 0a1,a+1b+2，故f(a+1)f(b+2). 4.已知f（x）= 是奇函数，则实数a的值为 . 解析解析 f（x）的定义域为R且为奇函数 012212xxa1 . 1, 0122120000aaf即5.函数f(x),g(x)在区间-a，a (a0）上都是奇函数， 有下列结论：f(x)-g(x)在-a,a上是奇函数； f(x)+g(x)在-a,a上是奇函数；f(x)g(x)在 -a,a上是偶函数；f(0)+g(0)=0,则其中正确结论的 个数是 .解析解析 f（x）,g(x)都是定义域-a，a上的奇函数 f（-x）-g(-x)=-f(x

5、)+g(x)=-f(x)-g(x), 正确. 又任取x-a,a，则f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x) =-f(x)+g(x), 正确. 又f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x), 正确. 又f（x），g（x）在x=0处都有定义，且为奇函数， f（0）=0，g（0）=0，f（0）+g（0）=0，故正确.4 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= ; (2)f(x)=log2(x+ ) (xR); (3)f(x)=lg|x-2|. 【思维启迪思维启迪】 先求函数的定义域，再判断f(-x)与f(x)的 关系. 解解 （1）x2-10且1-x20, x=1,即f(x)

6、的定义域是-1，1. f（1）=0，f(-1)=0, f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1), 故f(x)既是奇函数又是偶函数.题型一题型一 函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断12x21x12x（2）方法一方法一 易知f(x)的定义域为R， 又f(-x)=log2 =log2 =-log2(x+ )=-f(x), f(x)是奇函数.方法二方法二 易知f(x)的定义域为R， 又f（-x）+f（x）=log2-x+ +log2(x+ )= log21=0,即f(-x)=-f(x), f(x)为奇函数. （3）由|x-2|0，得x2. f（x）的定义域x|x2关于原点不对称， 故f(x)为非奇非

7、偶函数.12xx112 xx12x 12x12x探究拓展探究拓展 （1）确定函数的奇偶性，一般先考察函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数，若对称再看f(-x)与f(x）的关系.（2）判断函数奇偶性的常用方法有：利用定义；求和（差）判断；求商判断，即看 与1的关系，注意此时分母不为零才可以；图象法；性质法. xfxf 已知函数f(x),当x,yR时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证：f(x)是奇函数； （2）如果xR+，f（x）0,并且f(1)=- ,试求f(x)在区 间-2，6上的最值. 【思维启迪思维启迪】 （1）根据函数的奇偶性的定义进行证明， 只需证

8、f(x)+f(-x)=0; (2)根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇偶性的 应用. （1）证明证明 函数定义域为R，其定义域关于原点对称. f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x, f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0. f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x), f(x)为奇函数.题型二题型二 函数的奇偶性与单调性函数的奇偶性与单调性21（2）解解 方法一方法一 设x,yR+，f（x+y）=f（x）+f（y），f（x+y）-f（x）=f（y）.xR+，f（x）0,f(x+y)-f(x)0,f(x+y)f(x).x

9、+yx,f(x)在（0，+）上是减函数.又f（x）为奇函数，f（0）=0，f（x）在（-,+）上是减函数.f（-2）为最大值，f(6)为最小值.f(1)=- ,f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2f（1）+f（2）=-3.所求f(x)在区间-2，6上的最大值为1，最小值为-3.21方法二方法二 设x1x2,且x1,x2R.则f(x2-x1)=fx2+(-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).x2-x10,f(x2-x1)0.f(x2)-f(x1)0.即f(x)在R上单调递减.f（-2）为最大值，f（6）为最小值.f（1）=-，f（-2）=-f（

10、2）=-2f（1）=1f（6）=2f（3）=2f（1）+f（2）=-3.所求f(x）在区间-2，6上的最大值为1，最小值为-3.探究拓展探究拓展（1）满足f(a+b)=f(a)+f(b)的函数，只要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数.（2）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注.21 （16分）已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)= -f(x). （1）求证：f(x)是周期函数； （2）若f(x)为奇函数，且当0 x1时，f(x)= x,求使f(x) =- 在0，2 009上的所有x的个数. 【思维启迪思维启迪】 (1)只需证明f（x+T）

11、=f（x），则f（x）即是以T为周期的周期函数；（2）由第（1）问可知只需求 一个周期中f（x）=- 的x的个数便可知在0，2 009上 的x的个数. （1）证明证明 f（x+2）=-f（x）， f（x+4）=-f（x+2）=-f（x）=f（x）， 2分 f（x）是以4为周期的周期函数. 4分题型三题型三 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性212121（2）解解 当0 x1时，f(x)= x,设-1x0,则0-x1,f（-x）= （-x）=- x.f(x)是奇函数，f（-x）=-f（x）,-f（x）=- x，即f(x)= x. 7分故f(x)= x(-1x1) 8分又设1x3,则-1x-

12、21,f(x-2)= (x-2), 10分又f（x-2）=-f（2-x）=-f（-x）+2）21212121212121=-f（-x）=-f（x），-f（x）= （x-2），f（x）=- （x-2）（1x3）. 11分f（x）= 12分2121312211121xxxx由f(x)=- ,解得x=-1.f（x）是以4为周期的周期函数.f(x)=- 的所有x=4n-1 (nZ). 14分令04n-12 009,则 又nZ，1n502（nZ）,在0，2 009上共有502个x使f(x)=- . 16分探究拓展探究拓展 判断函数的周期只需证明f（x+T）=f(x)（T0）便可证明函数是周期函数，且周期

13、为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题.2121,2100541 n21方法与技巧方法与技巧 任何一个定义域关于原点对称的函数，都可以写成一个偶 函数加一个奇函数的形式.例如y=f(x)的定义域关于原点对 称，则g(x)= 为偶函数， h(x)= 为奇函数，且f(x)=g(x)+h(x). 失误与防范失误与防范 1.注意f(x)为奇函数，则f(0)=0或f(0)无意义. 2.注意奇（偶）函数的定义域关于原点对称. 2xfxf 2xfxf1.判断下列各函数的奇偶性： （1）f（x）=（x-2） ； （2）f（x）= xx22;2|2|1lg22xx .12,1|0,1

14、23xxxxxxf解解 （1）由 0，得定义域为-2，2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数. 这时f（x）= f（-x）=f（x）为偶函数. .1001.02|2|0122，x，x得定义域为由2.1lg221lg2222xxxx ，xfxxxx22221lg1lgxx22（3）x-1时，f（x）=x+2，-x1,f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.x1时，f（x）=-x+2，-x-1，f(-x)=x+2=f(x).-1x1时，f（x）=0，-1-x1，f（-x）=0=f（x）.对定义域内的每个x都有f（-x）=f（x）.因此f（x）是偶函数.2.已知函数y=f(x)的定义域

15、为R，且对任意a,bR,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x0时，f(x)0恒成立，f(3)=-3. （1）证明：函数y=f(x)是R上的减函数； （2）证明：函数y=f(x)是奇函数； （3）试求函数y=f(x)在m,n（m,nZ）上的值域. （1）证明证明 设 x1，x2R，且x1x2, f(x2)=fx1+(x2-x1)=f(x1)+f(x2-x1). x2-x10,f(x2-x1)0. f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)f(x1). 故f(x)是R上的减函数.（2）证明证明 f（a+b）=f（a）+f（b）恒成立， 可令a=-b=x,则有f（x）+f（-x）=f（0），

16、 又令a=b=0,则有f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0. 从而 xR，f（x）+f（-x）=0， f（-x）=-f（x）.故y=f(x)是奇函数.3.设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对 称，对任意x1、x2 都有f（x1+x2）=f(x1)f（x2）， 且f（1）=a0. （1）求f 及f ； （2）证明：f（x）是周期函数；（3）记an=f ，求an.21, 02141nn212mn，（3）（1）解解 对x1、x2 ，都有f（x1+x2）=f（x1）f（x2），f（x）=fx0，1.f（1）=a0，f =a ，f =a .21, 0, 02222 xfxfxx

17、.414141414121,2121212121122 ffffffffff21214141（2）证明证明 y=f（x）的图象关于直线x=1对称，f（x）=f（1+1-x），即f（x）=f（2-x），xR.又由f（x）是偶函数知，f（-x）=f（x），xR，f（-x）=f（2-x），xR.将上式中-x用x代换，得f（x）=f（x+2），xR.这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期.（3）解解 由（1）知f（x）0，x0，1.f（x）的一个周期是2，an=fan=a.2121.21212121211212112121212121nnanf，afnfnfnfnfnnfnfnnnfnnf

18、f又,21212nfnnn211.充分不必要 2.-13.已知函数f（x）是R上的偶函数，g（x）是R上的奇函数， 且g（x）=f（x-1），若f（0）=2，则f（2 008）的值 为 .解析解析 由g（x）=f（x-1）得g（-x）=f（-x-1）， 又g（x）为R上的奇函数，g（-x）=-g（x）. f（-x-1）=-f（x-1），即f（x-1）=-f（-x-1）. 用x+1替换x得：f（x）=-f（-x-2）. 又f（x）是R上的偶函数, f（x）=-f（x+2）, f（x）=f（x+4），即周期T=4. f（2 008）=f（0）=2.24. 5. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且当

19、x0时，f（x）=2x-3，则f（-2）= .6. f（x）=x(|x|-2) 7.已知函数f(x)=g(x)+2,x-3，3，且g(x)满足g(-x) =-g(x),若f(x)的最大值、最小值分别为M、N，则 M+N= .解析解析 因为g(x)是奇函数，故f(x)关于（0,2）对称， 所以M+N=4.8.-b+4-149.已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意xR，f（x） =f(x+1)+f(x-1)恒成立. （1）求证：f(x)是周期函数； （2）已知f（3）=2，求f(2 004). （1）证明证明 f（x）=f（x+1）+f（x-1） f（x+1）=f（x）-f（x-1）， 则f(x+2)=f（x+1）+1=f(x+1)-f(x) =f(x)-f(x-1)-f(x)=-f(x-1). f(x+3)=f(x+1)+2=-f(x+1)-1=-f(x). f(x+6)=f(x+3)+3=-f(x+3)=f(x). f（x）是周期函数且6是它的一个周期. （2）-210.f（x）=-xlg（2+|x|）（xR R）.11.已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,aR. （1）试判断f(x)的奇偶性； （2）若- a ，求f(x)的最小值. 解解 (1)当a=0时， 函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x), 此时,f(x)为偶函数. 当a0时，f(a