第一章 随机事件及其概率《概率论与数理统计》西南交大峨眉校区

1、 第第一一章章 随机事件及其概率随机事件及其概率1.1 基本概念与知识基本概念与知识1.2 概率的定义概率的定义1.3 条件概率条件概率1.4 独立性独立性 自然现象和社会现象，大致分为两类：自然现象和社会现象，大致分为两类：（1）确定性现象：确定性现象：在特定条件下一定发生或一定不发生在特定条件下一定发生或一定不发生 如水在摄氏零度以下一定会结冰，太阳必定从东方升如水在摄氏零度以下一定会结冰，太阳必定从东方升起，两个大于零的数相乘结果一定不会小于零等。起，两个大于零的数相乘结果一定不会小于零等。（2）随机现象：随机现象：在相同条件下可能发生也可能不发生在相同条件下可能发生也可能不发生 如抛掷

2、一枚硬币，正面向上可能出现也可能不出现；如抛掷一枚硬币，正面向上可能出现也可能不出现；某工厂生产的产品可能是合格品也可能不是合格品；对同某工厂生产的产品可能是合格品也可能不是合格品；对同一目标进行多次射击，弹着点不尽相同一目标进行多次射击，弹着点不尽相同。 概率论是研究随机现象的规律性的学科。概率论是研究随机现象的规律性的学科。它是数学的一个分支，是近代数学的重要组成它是数学的一个分支，是近代数学的重要组成部分。概率论的理论和方法在现代社会的各个部分。概率论的理论和方法在现代社会的各个领域如工业、农业、医疗、军事和科学技术中领域如工业、农业、医疗、军事和科学技术中有着广泛的应用。有着广泛的应用

3、。1. 随机试验随机试验 1.1 基本概念与知识基本概念与知识 满足下面三个条件的试验称为满足下面三个条件的试验称为随机试验：随机试验： 在相同条件下可重复进行；在相同条件下可重复进行； 试验的结果不只一个，并且在试验前明确所有可试验的结果不只一个，并且在试验前明确所有可能的结果；能的结果； 试验之前不能确定哪一个结果会发生；试验之前不能确定哪一个结果会发生； 2. 样本点与样本空间样本点与样本空间 样本点：样本点：试验中每一个可能出现的结果试验中每一个可能出现的结果 样本空间：样本空间：所有样本点构成的集合所有样本点构成的集合 3. 随机事件随机事件基本事件基本事件 ：样本空间的每一个样本点

4、（试验的样本空间的每一个样本点（试验的 一个基本结果）一个基本结果）复杂事件复杂事件 ：由多个基本事件组成的集合由多个基本事件组成的集合 246,A 即随机事件是样本空间的子集，该子集中的即随机事件是样本空间的子集，该子集中的任何一个样本点发生的时候该事件发生。任何一个样本点发生的时候该事件发生。 例例4：一批产品一批产品100个，其中有个，其中有5个次品，从中抽个次品，从中抽取取10个来检查。在抽出的个来检查。在抽出的10个产品中：个产品中： 恰有恰有2个次品个次品 次品数多于次品数多于3个个 次品数少于次品数少于4个个随机事件随机事件 4. 事件的关系与运算事件的关系与运算（1）事件的运算

5、）事件的运算1）积事件）积事件AB ABAB 1niiA 2）和事件）和事件AB 1niiA AB （2）事件的关系）事件的关系1）包含关系）包含关系AB AB AB2）互不相容（互斥）互不相容（互斥）AB ijA A BA(1)ijn 3）对立关系）对立关系AB 1niiA BA1niiA （3）运算规则）运算规则2）交换律：）交换律：()()ABCABC ()()ABCABC ()()()ABCABAC 3）结合律：）结合律：4）分配律：）分配律：()()()ABCABAC 5）对偶律：）对偶律：11()()nniiiiABAB 4）分配律：）分配律：11()nniiiiABAB 123A

6、 A A123A A A（2）（1）123123123A A AA A AA A A 123123AAAA A A （4）（3） 23 ;ABxx 14 ;ABxx （2）（1） 12ABxx 。解：解：（3）();DABC ().DABC ()()()DABCABCABC 解：解：另有：另有：abc课堂练习：习题课堂练习：习题1-1：()().ABCABC （）（）;AABAB ;ABBA （2）（1）;ABAAB （3）（4）（）（）1.2 概率的定义概率的定义 人们在长期的实践活动中，根据经验的积累归纳总人们在长期的实践活动中，根据经验的积累归纳总结出随机现象的规律，并想要通过量化的数学

7、方式将这结出随机现象的规律，并想要通过量化的数学方式将这些随机现象的确定性的规律体现出来，于是就有了概率些随机现象的确定性的规律体现出来，于是就有了概率的概念，从而有了概率论这门学科的形成与发展。的概念，从而有了概率论这门学科的形成与发展。频率具有稳定性频率具有稳定性 概率的统计定义概率的统计定义 频率的比例意义频率的比例意义 概率的古典定义概率的古典定义 最一般的定义最一般的定义 概率的公理化定义概率的公理化定义 局限性局限性 1. 统计定义统计定义（1）频率的定义频率的定义103()10fA Ann试验次数：试验次数：10 nn ( )AnnfAn 0()1nfA 0n ()1nf ( )

8、0nf （2）频率的稳定性频率的稳定性实验序号120.4220.442510.502230.6250.502490.498310.2210.422560.512451.0250.502530.506510.2240.482510.502620.4210.422460.492740.8180.362440.488820.4240.482580.516930.6270.542620.5241030.6310.622470.4945n 50n 500n An( )nfAAn( )nfAAn( )nfA（3）概率的统计定义概率的统计定义0()1nfA 0( )1P A( )( )AnnP AfAn (

9、 )0nf ()1nf ()1P 局限性：局限性：概率的统计定义说明了概率的客观存在性，而不概率的统计定义说明了概率的客观存在性，而不 能给出概率的确切取值。能给出概率的确切取值。注：概率不是频率的极限注：概率不是频率的极限 由概率的统计定义知，当试验次数充分大的由概率的统计定义知，当试验次数充分大的时候频率在概率附近摆动，即稳定于概率。其含时候频率在概率附近摆动，即稳定于概率。其含义是：当试验次数很大时，频率稳定地在概率附义是：当试验次数很大时，频率稳定地在概率附近摆动，这并不是说当试验次数充分大的时候，近摆动，这并不是说当试验次数充分大的时候，频率和概率有明显偏差的情况就不会发生，而是频率

10、和概率有明显偏差的情况就不会发生，而是说这种有明显偏差的情况发生的可能性十分地小。说这种有明显偏差的情况发生的可能性十分地小。由此可知，在频率与概率的关系上不能作出频率由此可知，在频率与概率的关系上不能作出频率的极限是概率的结论。的极限是概率的结论。反例：随机抛掷一枚硬币，反例：随机抛掷一枚硬币， lim()()nnfAP A 2. 古典定义古典定义（1）古典概型古典概型如果随机试验满足下面两个条件：如果随机试验满足下面两个条件：( )AMP AN 所所含含样样本本点点数数所所含含样样本本点点总总数数 样本空间含有样本点的个数为有限个；样本空间含有样本点的个数为有限个； 每个样本点发生的机会均

11、等（等可能性）；每个样本点发生的机会均等（等可能性）； 则称这种试验为等可能概型，也称为则称这种试验为等可能概型，也称为古典概型古典概型。 例例1：随机掷一粒质地均匀的骰子，观察向上一面出现的随机掷一粒质地均匀的骰子，观察向上一面出现的点数，求出现偶数点的概率。点数，求出现偶数点的概率。 126, 解：解： 注：注：在古典概型的计算中，主要是确定样本空间及事件在古典概型的计算中，主要是确定样本空间及事件 含有的样本点数。含有的样本点数。 31( )62MP AN 1112251( )5C CMP ANC 解：解： 解：解： 法一：法一：(1)!( )()!Ma abaP ANabab ()!

12、,a ba bNAab 111(1)!a baa bMC Aa ab 由古典概型可得由古典概型可得此结果体现了体育比赛中的此结果体现了体育比赛中的公平抽签原则公平抽签原则。 法二：法二：11(1)! !( )(1)! !()!aa baa bCMaba baP ANCababab ,aa bNC 1111aa bMC C 由古典概型可得由古典概型可得法三：法三：111( );ka bkaa bAMaP ANC Aab ,ka bNA 111,kaa bMC A 由古典概型可得由古典概型可得法四：法四：11( ).aa bCMaP ANCab 1,a bNC 1,aMC 由古典概型可得由古典概型

13、可得（2）几何概型几何概型如果随机试验满足下面两个条件：如果随机试验满足下面两个条件：( )( )()AAP A 的的几几何何度度量量的的几几何何度度量量样本空间含有样本点的个数为不可数无穷多；样本空间含有样本点的个数为不可数无穷多； 每个样本点发生的机会均等（等可能性）；每个样本点发生的机会均等（等可能性）； 则称这种随机试验为则称这种随机试验为几何概型几何概型。 ( )( )()AAP A 的的几几何何度度量量的的几几何何度度量量在目前所学的几何知识范围内，测度所指有：在目前所学的几何知识范围内，测度所指有： 如向右图中任意掷点，它落在图如向右图中任意掷点，它落在图中阴影部分中的概率只与图

14、中阴影部中阴影部分中的概率只与图中阴影部分的面积大小有关，而与其位置及形分的面积大小有关，而与其位置及形状无关。状无关。长度、面积、体积长度、面积、体积古典定义的局限性：古典定义的局限性：只能处理样本空间的样本点数为有限只能处理样本空间的样本点数为有限 和不可数无穷多的情况和不可数无穷多的情况 。 例例4：长途汽车站每天上午：长途汽车站每天上午11点有一趟发往某旅游胜地的点有一趟发往某旅游胜地的班车，而乘客在上午班车，而乘客在上午7点至点至11点之间的任一时刻到达车站是点之间的任一时刻到达车站是等可能的。求该乘客的候车时间不超过等可能的。求该乘客的候车时间不超过1小时的概率。小时的概率。 71

15、1xx 1011Axx ( )1()4AP A 10711xA 例例5：甲乙两人电话通话时约定，在接下来的两小时内在：甲乙两人电话通话时约定，在接下来的两小时内在某地点会面，先到达的人应等候另一人，经过二十分钟后方某地点会面，先到达的人应等候另一人，经过二十分钟后方可离开，假定甲乙两人在接下来的两小时内的任一时刻到达可离开，假定甲乙两人在接下来的两小时内的任一时刻到达约定地点是等可能的，求甲乙两人会面成功的概率。约定地点是等可能的，求甲乙两人会面成功的概率。 ( , ) 02,02Dx yxy xy022554( )1133( )()436AP A 1( , ),02,023Gx yxyxyx

16、y02213130:00 xayaaxya xy0aa0:0 xyxya 22118( )142aAP Aa （ ）（ ）:xyaxyAayyaxx 2:22axyaAyax xy0aa2a2a3. 公理化定义公理化定义（1）加法定理加法定理()( )( )()()()ABABP AB AB( )( )( )( )()()ABP AP B 1212()()()()nnP AAAP AP AP A 更一般地，更一般地，()()()ABP AB ( )( )()()ABAB ()()()P AP BP AB AB ()()()ABCP ABC ()()()()()()()()ABCABACBCAB

17、C ()()()()()()()P AP BP CP ABP ACP BCP ABC ABC 1211()()()nniijiij nP AAAP AP A A 1121()( 1)()nijknij k nP A A AP A AA 12nAAA 12()()1nP AAAP 12()()()1nP AP AP A AA ( )( )1P AP A ( )1( )P AP A 例例7：某小区的：某小区的100户家庭中，安装固定电话的有户家庭中，安装固定电话的有45户，户，安装移动电话的有安装移动电话的有27户，两种电话都安装的有户，两种电话都安装的有18户，求随户，求随机地到该小区的一个家庭

18、中去，该家庭未安装电话的概率。机地到该小区的一个家庭中去，该家庭未安装电话的概率。45( )0.45,100P A 27( )0.27,100P B 18()0.18100P AB 则该家庭至少安装一种电话的概率为则该家庭至少安装一种电话的概率为()( )( )()0.450.270.180.54P ABP AP BP AB 从而该家庭未安装电话的概率为从而该家庭未安装电话的概率为 ()11()10.540.46P ABP ABP AB 111()( )( ).236P ABP BP A 113()( )();288P ABP BP AB 1()();2P ABP B 例例9：对某社区调查结果

19、的统计表明，有台式电脑的家庭：对某社区调查结果的统计表明，有台式电脑的家庭占占80%，有笔记本电脑的家庭占，有笔记本电脑的家庭占18%，没有电脑的家庭占，没有电脑的家庭占15%。随机到一家去，试求该家庭：（。随机到一家去，试求该家庭：（1）没有笔记本电脑）没有笔记本电脑的概率；（的概率；（2）有电脑的概率；（）有电脑的概率；（3）笔记本和台式电脑都）笔记本和台式电脑都有的概率；（有的概率；（4）有台式电脑或无电脑的概率。）有台式电脑或无电脑的概率。( )0.8,P A ( )0.18,P B ()0.15()P ABP AB （1）( )1( )10.180.82;P BP B（2）()1()

20、10.150.85;P ABP AB（3）()( )( )()P ABP AP BP AB （4）()()( )()P AABP AABP AP AB ()( )( )()P ABP AP BP AB 0.80.180.850.13; 0.80.150.95 另解：另解：()()()P AABP AABPAB()( )( )()P ABP AP BP AB 0.80.820.670.95 （2）公理化定义公理化定义()0P A 11()()iiiiPAP A 1212()()()()kkP AAAP AP AP A ()0P AB AABB ()()()P AP ABP B ()()P AP

21、B A ( )()1P AP 由概率的公理化定义，可以得到概率的以下性质：由概率的公理化定义，可以得到概率的以下性质：AA ( )( )( )P APP A ( )0P 1212()()()()nknnnkfAAAfAfAfA 概率的统计定义符合概率的公理化定义，概率的统计定义符合概率的公理化定义，在概率的统计定在概率的统计定义中，随机事件的频率满足：义中，随机事件的频率满足：1212()()()()kkP AAAP AP AP A 概率的古典定义符合概率的公理化定义：概率的古典定义符合概率的公理化定义：1.3 条件概率条件概率1001();2001003P A 引例：引例：某单位有某单位有3

22、00名职工，其中男性职工名职工，其中男性职工200名，女名，女性职工性职工100名。而男性职工中有名。而男性职工中有80名是共产党员，女性职名是共产党员，女性职工中有工中有60名是共产党员。现在需要从该单位任选一名职名是共产党员。现在需要从该单位任选一名职工代表，求这名职工代表是女性的概率。工代表，求这名职工代表是女性的概率。1. 条件概率条件概率男男女女603( )80607P A 。 若现在需要从该单位任选一名党员代表，求这名党员若现在需要从该单位任选一名党员代表，求这名党员代表是女性的概率。代表是女性的概率。男男女女党员党员党员党员()()P AP A ()()/()()()()()/(

23、)()ABABP ABP B AAAP A 如何计算条件概率？如何计算条件概率？()()()()()( )( )()( )ABABP ABP A BBBP B 同样地，可以计算同样地，可以计算AB 例例1：甲、乙两个城市都位于长江下游，根据一百多年甲、乙两个城市都位于长江下游，根据一百多年来的历史气象记录，知道一年中雨天的比例甲市占来的历史气象记录，知道一年中雨天的比例甲市占20%，乙市占乙市占18%，两地同时下雨占，两地同时下雨占12%。试根据以上数据推断。试根据以上数据推断甲乙两个城市在下雨这个天气上是否有联系。甲乙两个城市在下雨这个天气上是否有联系。( )0.2,P A ( )0.18,

24、P B ()0.12P AB 从而从而()0.122()0.667( )0.183P ABP A BP B()0.123()0.6( )0.25P ABP B AP A0.5 0.5 在下雨这件事情上，应认为甲、乙两市是有联系的。在下雨这件事情上，应认为甲、乙两市是有联系的。条件概率具有下列性质：条件概率具有下列性质： 2. 乘法公式乘法公式()()( )P ABP A BP B ()()( )P ABP B AP A ()( ) ()( ) ()P ABP A P B AP B P A B乘法定理乘法定理推广：推广： 例例2：100个产品中含有个产品中含有10个次品，每次从中取出一个个次品，

25、每次从中取出一个来进行检查，取出的产品不再放回去，若取得一个合格品来进行检查，取出的产品不再放回去，若取得一个合格品后就不再继续取，求三次内取得合格品的概率。后就不再继续取，求三次内取得合格品的概率。112123,AAA AA A A 901090109900.9993100100991009998 从而可得从而可得112123( )()()()P AP AP A AP A A A1121121312()() ()() () ()P AP A P A AP A P A A P A A A 另解：另解： 三次内取得合格品的对立事件是三次没有取得三次内取得合格品的对立事件是三次没有取得合格品，即三

26、次都取到的是次品。从而有合格品，即三次都取到的是次品。从而有 123,AA A A ( )1( )0.9993P AP A。则则123121312( )()() () ()P AP A A AP A P A A P A A A 10980.00071009998 因此因此3. 全概率公式全概率公式51()iiP AB 51()()iiP APAB 6B1B2B4B5B3B1AB3AB5AB2AB4ABAA 把一个复杂的随机事件分解成一些互不相容的简单事把一个复杂的随机事件分解成一些互不相容的简单事件的和，先计算这些简单事件的概率，再利用概率的可加件的和，先计算这些简单事件的概率，再利用概率的可

27、加性来得到该复杂事件的概率。在这个过程中，全概率公式性来得到该复杂事件的概率。在这个过程中，全概率公式起到了很好的作用。起到了很好的作用。12nBBB 121()()nniiAAABBBAB 11nniiiiABAB 从而可得：从而可得：111( )()()() ()nnniiiiiiiP APABP ABP B P A B全全概概率率公公式式 例例3：一个射击小组有：一个射击小组有20名射击手，其中一级射击手有名射击手，其中一级射击手有4人，二级射击手有人，二级射击手有8人，三级射击手有人，三级射击手有7人，四级射击手人，四级射击手有有1人。一、二、三、四级射击手能通过选拔进入比赛的人。一、

28、二、三、四级射击手能通过选拔进入比赛的概率分别是概率分别是0.9，0.7，0.5，0.2。求任选一名射击手能通。求任选一名射击手能通过选拔进入比赛的概率。过选拔进入比赛的概率。14()0.2,20P B 28()0.4,20P B 37()0.35,20P B41()0.05,20P B 而而1()0.9,P A B 2()0.7,P A B 3()0.5,P A B 4()0.4,P A B 由全概率公式可得由全概率公式可得41()() ()iiiP AP B P A B 0.2 0.90.4 0.70.35 0.50.05 0.2 0.645 例例4：5个乒乓球中有个乒乓球中有3个是新球，

29、第一次比赛时从中任个是新球，第一次比赛时从中任取取2个来用，用完后放回。第二次比赛时再从中任取个来用，用完后放回。第二次比赛时再从中任取2个个来用。求第二次取出的来用。求第二次取出的2个球都是新球的概率。个球都是新球的概率。22025()0.1,CP BC 1123125()0.6,C CP BC23225()0.3,CP BC23025()0.3,CP A BC 而而22125()0.1,CP A BC2()0P A B 由全概率公式可得由全概率公式可得20()() ()0.1 0.30.60.10.300.09iiiP AP B P A B 4. 贝叶斯公式贝叶斯公式1,2,kn 12nB

30、BB () ()()()()()kkkkP BP A BP B AP BAP AP A 1() ()() ()()()() ()kkkkkniiiP BP A BP BP A BP BAP AP B P A B 由乘法公式可得：由乘法公式可得：将全概率公式代入可得：将全概率公式代入可得：贝贝叶叶斯斯公公式式 例例5：在例：在例3中，若已知某名射击手已经通过选拔，问中，若已知某名射击手已经通过选拔，问他是一、二、三、四级射击手的概率分别是多少？他是一、二、三、四级射击手的概率分别是多少？111() ()0.2 0.9()0.2791,( )0.645P B P A BP B AP A 222()

31、 ()0.4 0.7()0.4341,( )0.645P B P A BP B AP A 11()(),P B AP B 22()(),P B AP B 333() ()0.35 0.5()0.2715,()0.645P BP A BP B AP A 444() ()0.05 0.2()0.0155( )0.645P B P A BP B AP A 将得到的后验概率分别与先验概率作比较得：将得到的后验概率分别与先验概率作比较得：而而33()(),P B AP B 44()()P B AP B 级别高的选手容易通过选拔，而级别低的选手不容级别高的选手容易通过选拔，而级别低的选手不容易通过选拔，所

32、以通过选拔后的射击手中级别高的比例易通过选拔，所以通过选拔后的射击手中级别高的比例增加了，而级别低的比例减少了。增加了，而级别低的比例减少了。 例例6：发报台分别以概率：发报台分别以概率0.6和和0.4发出信号发出信号“”和和“”。由于通讯系统受到干扰，当发出信号由于通讯系统受到干扰，当发出信号“”时，收报台以概率时，收报台以概率0.8和和0.2收到信号收到信号“”和和“”；又当发报台发出信号；又当发报台发出信号“”时，时，收报台以概率收报台以概率0.9和和0.1收到信号收到信号“”和和“”。求：（。求：（1）收）收报台收到信号报台收到信号“”时，发报台确实发出信号时，发报台确实发出信号“”的

33、概率；的概率；（2）收报台收到信号）收报台收到信号“”时，发报台确实发出信号时，发报台确实发出信号“”的的概率。概率。( )0.6,P B ( )0.4,P B 发发收收0.60.40.20.80.10.9()0.2,P A B ()0.1,P A B ()0.8,P A B ()0.9,P A B 由贝叶斯公式得：由贝叶斯公式得：（1）() ()() ()()()() ()() ()P B P A BP B P A BP B AP AP B P A BP B P A B 0.60.8120.60.80.40.113 （2） () ()() ()()()() ()() ()P B P A BP

34、 B P A BP B AP AP B P A BP B P A B 0.4 0.930.6 0.20.4 0.94 1.4 独立性独立性1. 事件的独立性事件的独立性（1 1）两个事件的独立性）两个事件的独立性() ()()P A P BP AB () ()()P A P BP AB 结论结论1： 解：解： 由于采用的是有放回取球，第二次取球时袋中球由于采用的是有放回取球，第二次取球时袋中球的情况没有发生变化，所以有的情况没有发生变化，所以有()aP B Aab ()()()() ()() ()P BP ABP ABP A P B AP A P B A aabaaababababab 在在例

35、例1中，若采用不放回取球，此时有中，若采用不放回取球，此时有1()1aP B Aab 而而()()()P BP ABP AB 111aabaaababababab ( ) ()( ) ()P A P B AP A P B A ,A B ,A B ,A B证明：证明：()() (),P ABP A P B ABABA()( )()P ABP AP AB()()() ()P ABP AP A P B ()1()() ()P AP BP A P B ()( ) ( ) ( )P ABCP A P B P C （2 2）多个事件的独立性）多个事件的独立性然而这个想法却是错误的，来看下面这个例子：然而这

36、个想法却是错误的，来看下面这个例子： 41( )( )( )82P AP BP C 1111()( ) ( ) ( )8222P ABCP A P B P C3()8P AB 但但1()8P AC 1( ) ( )4P A P C 1( ) ( )4P A P B 1()8P BC 1( ) ( )4P B P C 21( )( )( ),42P AP BP C 1()()()4P ABP ACP BC()( ) ( ),P ABP A P B 从而有从而有11()( ) ( ) ( )48P ABCP A P B P C ()( ) ( ),P BCP B P C ()( ) ( ),P A

37、CP A P C ()() ()P ABP A P B ()() ()P ACP A P C ()() ()P BCP B P C ()() () ()P ABCP A P B P C ()() ()ijijP A AP A P A ()() () ()ijkijkP A A AP A P A P A 1212()() ()()nnP A AAP A P AP A 注：注：1212()() ()()nnP A AAP A P AP A 。()()()()P ABP AP BP AB ()()() ()P AP BP A P B 例例4：已知某社区订阅娱乐杂志的家庭占：已知某社区订阅娱乐杂志的家

38、庭占60%,订阅新闻订阅新闻报刊的家庭占报刊的家庭占80%，而每个家庭是否订阅娱乐杂志和新闻，而每个家庭是否订阅娱乐杂志和新闻报刊是相互独立的，求该社区至少订阅娱乐杂志和新闻报报刊是相互独立的，求该社区至少订阅娱乐杂志和新闻报刊其中一种的家庭比例？刊其中一种的家庭比例？0.60.80.6 0.80.92 即该社区至少订阅娱乐杂志和新闻报刊其中一种的家庭占了即该社区至少订阅娱乐杂志和新闻报刊其中一种的家庭占了92%。1(),6iP A 1,2,3,4i 1234()1()1()P AP AP AAAA 例例5：随机抛一粒骰子，连续抛随机抛一粒骰子，连续抛4次，求至少一次出现次，求至少一次出现6点

39、的概率。点的概率。123412341()1() () () ()P A A A AP A P A P A P A 451( )0.518612()nP AAA 121()nP A AA 121() ()()nP A P AP A 1211()1()1()nP AP AP A121()nP AAA 例例6：一个电子元件能正常工作的概率称为该一个电子元件能正常工作的概率称为该元件的可元件的可靠性靠性，由若干个电子元件构成的系统能正常工作的概率称，由若干个电子元件构成的系统能正常工作的概率称为该为该系统的可靠性系统的可靠性。系统的可靠性不仅与构成系统的各个。系统的可靠性不仅与构成系统的各个元件的可靠

40、性有关，还与各个元件之间的连接方式有关。元件的可靠性有关，还与各个元件之间的连接方式有关。 112()()nP BP A AA 12() ()()nP A P AP A 12np pp 212()()nP BP AAA 121() ()()nP A P AP A 121(1)(1)(1)nppp 有了串联系统和并联系统的可靠性与元件的可靠性有了串联系统和并联系统的可靠性与元件的可靠性之间的关系，我们就可以比较快速地计算各种混联系统之间的关系，我们就可以比较快速地计算各种混联系统的可靠性。的可靠性。23()1(1)(1)P Cpp 1112323( )()() ( )()P BP ACP A P Cpppp p1213123p pp pp p p 2323ppp p2. 试验的独立性试验的独立性 例例8：某单位工会活动时进行抽奖，将：某单位工会活动时进行抽奖，将10个乒乓球放在个乒乓球放在抽奖盒中，其中只有一个乒乓球上写有奖字，每个职工有抽奖盒中，其中只有一个乒乓球上写有奖字，每个职工有三次抽奖机会，每次从抽奖盒中取一个乒乓球，取出后再三次抽奖机会，每次从抽奖盒中取一个乒乓球，取出后再放回，求某职工三次都不中奖的概率。放回，求某职工三次都不中奖的概率。31231231( )()() () ()(1)