特殊的平行四边形_菱形

1、2.2.特殊的平行四边形特殊的平行四边形菱形菱形 w什么样的图形叫做菱形什么样的图形叫做菱形? ?菱形的定义菱形的定义: :一组邻边相等的平行四边形一组邻边相等的平行四边形 叫做菱形。叫做菱形。w菱形有哪些性质菱形有哪些性质? ? 想一想想一想w定理定理: :菱形的四条边都相等菱形的四条边都相等w定理定理: :菱形的对角线互相垂直菱形的对角线互相垂直, ,并且每条对角线并且每条对角线平分一组对角平分一组对角具有平行四边形的一切性质具有平行四边形的一切性质菱形既是轴对称图形菱形既是轴对称图形, ,又是中心对称图形又是中心对称图形。菱形的性质菱形的性质w定理定理: :菱形的四条边都相等菱形的四条边

2、都相等. .已知已知: :如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形. .证明证明: : 四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形, ,AB=AD,AB=AD,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .AB=CD,AD=BC.AB=CD,AD=BC.求证求证:AB=BC=CD=DA.:AB=BC=CD=DA. AB=BC=CD=AD.AB=BC=CD=AD.C CB BD DA Aw定理定理: :菱形的两条对角线互相垂直菱形的两条对角线互相垂直, ,并且每条对角并且每条对角 线平分一组对角线平分一组对角. .已知已知: :如图如图,AC,BD,AC,BD是菱形是菱形

3、ABCDABCD的两条对角线的两条对角线,AC,BD,AC,BD相相 交于点交于点O.O.求证求证: (1).ACBD;: (1).ACBD; (2).AC (2).AC平分平分BADBAD和和BCD,BCD, BD BD平分平分ADCADC和和ABC. ABC. D DB BC CA AO O 证明：证明：四边形四边形ABCD是菱形是菱形 ABAD(菱形的四条边都相等菱形的四条边都相等) OBOD(菱形的对角线互相平分菱形的对角线互相平分) ACBD，AC平分平分BAD，(等腰三角形顶角的平分等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合线、底边上的中线、底边上的高互相重合) 同理

4、同理 AC平分平分BCD， BD平分平分ABC和和ADC菱形的菱形的 两条对角线互相平分两条对角线互相平分菱形的两组对边平行且相等菱形的两组对边平行且相等边边对角线对角线角角数学语言数学语言菱形的四条边相等菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的两组对角分别相等菱形的邻角互补菱形的邻角互补菱形的两条对角线互相垂直平分，菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。并且每一条对角线平分一组对角。四边形四边形ABCD是菱形是菱形 = AD BC AB CD= AB=BC=CD=DAADCBO DAC=BAC DCA=BCA ADB=CDB ABD=CBD ACBD OA=OC;O

5、B=OD DAB=DCB ADC=ABC DAB+ABC= 180 【菱形的面积公式【菱形的面积公式】菱形是菱形是特殊的平行四边形特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗面积公式计算菱形的面积吗?菱形ABCDOES菱形=BCAE思考思考:计算菱形的面积除了上式方法外计算菱形的面积除了上式方法外,利利用对角线能用对角线能 计算菱形的面积公式吗计算菱形的面积公式吗? 21ABCD=SABD+SBCD= ACBD S菱形菱形面积：面积：S菱形菱形=底底高高=对角线乘积的一半对角线乘积的一半为什么为什么? ABCD例例1 1 如图，菱形花坛如图，菱形花坛A

6、BCDABCD的边长为的边长为20m20m， ABCABC6060度，沿着菱形的对角线修建了度，沿着菱形的对角线修建了两条小路两条小路ACAC和和BDBD，求两条小路的长和花，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到坛的面积（分别精确到0.01m0.01m和和0.01m 0.01m ）OOw例例1.1.已知已知: :如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD是边长为是边长为13cm13cm的菱形的菱形, ,其中对角线其中对角线BDBD长长10cm.10cm.求求:(1).:(1).对角线对角线ACAC的长度的长度; ; (2). (2).菱形菱形ABCDABCD的面积的面积. .解解:(1):(

7、1) 四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形, , AE=CE BE= AE=CE BE= =2=2ABDABD的面积的面积.5102121cmBDDEACBD AED=90AED=900 0, ,在在RtRtAED中中,由勾股定理得由勾股定理得:(2)(2)菱形菱形ABCDABCD的面积的面积= =ABDABD的面积的面积+ +CBDCBD的面积的面积.122521322cmDEADAEAC=2AE=2AC=2AE=212=24(cm).12=24(cm).AEBD 212D DB BC CA AE E.12012102122cm菱形的面积等于两条菱形的面积等于两条对角线乘积的一半对角线乘

8、积的一半菱形的判别方法菱形的判别方法: :n一组邻边相等的平行四边形是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形. .n四条边都相等的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形. .n对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形. .n 对角线互相垂直平分的四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形. .怎样判别一个四边形怎样判别一个四边形( (平行四边形平行四边形) )是菱形是菱形? ?一、选择题：一、选择题：1.1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.A.对角相等对角相等B.B.对边相等对边相等 C.C.对角线互相垂直对角线互

9、相垂直D.D.对角线相等对角线相等2. 2. 下列命题正确的是（下列命题正确的是（ ） A A 、两邻边相等的四边形是菱形、两邻边相等的四边形是菱形 B B、一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形、一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C C、对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形、对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 D D、对角线垂直的四边形是菱形、对角线垂直的四边形是菱形3. 3. 在菱形在菱形ABCDABCD中中, ,若若ADC=120ADC=120, ,则则BD:ACBD:AC等于等于 ( )( ) A. 1:2 B.1 :3 C. A. 1:2 B.1 :3 C. ：1 D

10、. 11 D. 1：4. 4. 菱形菱形ABCDABCD中中,AEBC,AEBC于于E, E, 若若S S菱形菱形ABCD=24,ABCD=24, 则则AE=6,AE=6,则菱形则菱形ABCDABCD的边长为的边长为 ( () ) A. 4 B A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 . 5 C. 6 D. 7 33CBDA6.6.（20102010年怀化市）如图，在菱形年怀化市）如图，在菱形ABCDABCD中，中，对角线对角线AC=4AC=4，BAD=120BAD=120，则菱形则菱形ABCDABCD的周长为（的周长为（ ）A A20 B20 B18 C18 C16 D16 D15155.5

11、.（20102010年天津市）下列命题中年天津市）下列命题中正确正确的是（的是（ ）（A A）对角线相等的四边形是菱形）对角线相等的四边形是菱形 （B B）对角线互相垂直的四边形是菱形）对角线互相垂直的四边形是菱形（C C）对角线相等的平行四边形是菱形）对角线相等的平行四边形是菱形（D D）对角线互相垂直的平行四边形是菱形）对角线互相垂直的平行四边形是菱形452AOCOC ，(2 1)，(12 )，(211) ，(121)， 7.7.（20092009年长春）年长春）菱形菱形 OABC OABC 在平面直角坐标系中的在平面直角坐标系中的位置如图所示，位置如图所示， 则点则点B B 的坐标为（的

12、坐标为（ ） A B.C. D.xyOCBADCCEF二、填空：二、填空：1.1. （20092009年天津市）年天津市）我们把依次连接任意一个我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形若一个四边形若一个四边形ABCD的中点四边形是一个菱形，的中点四边形是一个菱形，则四边形则四边形ABCD需满足条件需满足条件 ABCHDEFG2.菱形的两条对角线长之比是菱形的两条对角线长之比是5：3，它们的差是，它们的差是4厘米，厘米，则这个菱形的面积是则这个菱形的面积是 3.已知菱形已知菱形ABCD的两条对角线的两条对角线AC与与BD相交于点相交于

13、点O,且且AC=8cm,BD=6cm，则菱形的周长，则菱形的周长= 面积面积= AC=BD3020 244. 已知菱形已知菱形ABCD中中,AEBC于于E,AFCD于于F,你能判断你能判断AE与与AF的关系吗？的关系吗？ABCDEF5.（2010珠海）珠海）如图，如图，P P是菱形是菱形ABCDABCD对角线对角线BDBD上一点，上一点，PEABPEAB于点于点E E，PEPE4cm4cm，则点则点P到到BC的距离是的距离是_cm. 4相等相等(2010湖北省荆门市湖北省荆门市) (本题满分本题满分9分分)将三角形纸片将三角形纸片ABC(ABAC)沿过点沿过点A的直线折叠，使得的直线折叠，使得

14、AC落在落在AB边边上，折痕为上，折痕为AD，展平纸片，如图，展平纸片，如图(1)；再次折叠该三角形；再次折叠该三角形纸片，使得点纸片，使得点A与点与点D重合，折痕为重合，折痕为EF，再次展平后连接，再次展平后连接DE、DF，如图，如图2，证明：四边形，证明：四边形AEDF是菱形是菱形 (1) (2)?A?B?D?C?C?D?B?F?A?E 4 3 2 1?E?A?F?B?D?C?C?D?B?A证明：由第一次折叠可知：证明：由第一次折叠可知：AD为为CAB的平分线，的平分线， 12 2分分 由第二次折叠可知：由第二次折叠可知：CABEDF， 34 4分分 AD是公共边，是公共边， AED AF

15、D(ASA)6分分 AEAF，DEDF 又由第二次折叠可知：又由第二次折叠可知：AEED，AFDF AEEDDFAF 8分分 AEDF是菱形是菱形 9分分 将将ABC变为等腰直角变为等腰直角ABC, B= 90 其他条件不变，其他条件不变，若若BC=2,求求CD的长的长. O F E D C B A4321提示：设提示：设CD=DF=DE=xBD=BE=2-xRtBDE中中2(2 x x)2 =x x2菱形是特殊的平行四边形，它有什么性质？菱形是特殊的平行四边形，它有什么性质？边：对边平行；邻边相等；四条边都相等边：对边平行；邻边相等；四条边都相等角：对角相等、邻角互外角：对角相等、邻角互外对

16、角线：对角线互相平分，互相垂直，对角线：对角线互相平分，互相垂直， 每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角菱形是轴对称图形菱形是轴对称图形, ,是中心对称图形。是中心对称图形。菱形常用的判定方法菱形常用的判定方法：1 1一组邻边相等的一组邻边相等的平行四边形平行四边形 2 2四条边相等的四条边相等的四边形四边形 3 3对角线互相垂直的对角线互相垂直的平行四边形平行四边形 4.4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形本课本课 小结小结独立独立作业作业P99习题3.5 2,3题. 祝你成功！探究：如图，以探究：如图，以ABCABC的三边为边在的三边为边在BCBC的

17、同侧分别作三的同侧分别作三个等边三角形，即个等边三角形，即ABDABD、BCEBCE、ACFACF，请回答下列，请回答下列问题：问题：（1 1）四边形）四边形ADEFADEF是什么四边形？是什么四边形？ （2 2）当）当ABCABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形ADEFADEF是菱形？是菱形？（3 3）当）当ABCABC满足什么条件时，以满足什么条件时，以A A、D D、E E、F F为顶点为顶点的四边形不存在的四边形不存在ABCDEF123结束寄语结束寄语严格性之于数学家严格性之于数学家, ,犹如道德犹如道德之于人之于人. .条理清晰，因果相应条理清晰，因果相应, ,言必有言必

18、有据据. .是初学证明者谨记和遵循是初学证明者谨记和遵循的原则的原则. .下课了下课了! !（2010年安徽）如图，年安徽）如图，ADFE，点，点B、C在在AD上，上， 12，BFBC求证：四边形求证：四边形BCEF是菱形是菱形若若ABBCCD，求证：，求证：ACF BDE特殊的性质特殊的性质w定理定理: :菱形的四条边都相等菱形的四条边都相等w定理定理: :菱形的对角线互相垂直菱形的对角线互相垂直, ,并且每条对角线平并且每条对角线平w 分一组对角分一组对角菱形的判别方法菱形的判别方法: :n一组邻边相等的平行四边形是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形. .n四条边都相等的四边形是菱形四条边

19、都相等的四边形是菱形. .n对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形. .n 对角线互相垂直平分的四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形. .本课本课 小结小结ABCB?DEP52（2010年连云港）年连云港）矩形纸片矩形纸片ABCD中，中，AB3，AD4，将纸片折叠，使点将纸片折叠，使点B落在边落在边CD上的上的B处，折痕为处，折痕为AE在在折痕折痕AE上存在一点上存在一点P到边到边CD的距离与到点的距离与到点B的距离相等，的距离相等，则此相等距离为则此相等距离为_答案答案 学以致用学以致用EFDABC已知，已知，ADAD是是ABCABC的角平分的角平分线，线，

20、DEACDEAC交交ABAB于点于点E E，DFABDFAB交交ACAC于点于点F F。求证：四边形求证：四边形AEDFAEDF是菱形。是菱形。 证明证明: :DEDEAAC,DFC,DFABAB, ,四边形四边形AEDFAEDF是平行四边形是平行四边形DEDEACAC, ,平行四边形平行四边形AEDFAEDF是菱形是菱形. .ADE=DAF.ADE=DAF.ADAD是是ABCABC的角平分线的角平分线, , DAE=DAF.DAE=DAF.AE=EDAE=ED. .DAE=ADE.DAE=ADE. 学以致用学以致用已知菱形已知菱形ABCDABCD中，中，E E、F F分别是分别是CBCB、CDCD上的点，上的点，且且BE=DFBE=DF。求证：求证： AEF=AF