2017年普通高等学校招生全国统一考试数学含答案

1、2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷I)文数本卷满分150分，考试时间120分钟.第I卷(选择题，共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 .已知集合A=x|x<2,B=x|3-2x>0,贝U()3A.AAB=?|?<B.AAB?一一一一3C.AUB=?|?<-D.AUB=R2 .为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作t验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2，,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A.x1,x2,xn的平均数B.x1,x2,

2、xn的标准差C.Xi,X2,xn的最大值D.x1,x2,xn的中位数3 .下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)4 .如图，正方形ABC咕的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()1A.-4B.8_兀D.45.已知F是双曲线C:x2-"=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3),3则4APF的面积为(A.1B.1C.2323D.26 .如图，在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点，M,N,Q

3、为所在棱的中点，则在这四个正方体中,直线AB与平面MN/平行的是()?+3?<3,7 .设x,y满足约束条件?>1,则z=x+y的最大值为()?>0,A.0B.1C.2D.38 .函数y=史”的部分图象大致为()1-cos?9 .已知函数f(x)=lnx+ln(2-x),则()A. f(x)在(0,2)单调递增C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称B. f(x)在(0,2)单调递减D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称10 .下面程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n,那么在Q和匚二I两个空白框中可以分别填入()A.A>1000和n=n+1C

4、.AW1000和n=n+111 .4ABC的内角A,B,C则C=(A.iTB.612 .设A,B是椭圆范围是（A.(0,1U9,+8C.(0,1U4,+8#=即-n”B.A>1000和n=n+2D.AW1000和n=n+2的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=v2,?0:9+西=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足/AMB=120,则m的取值B.(0,v3U9,D.(0,v3U4,+oo+oo第n卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 .已知向量a=（-1,2）,b=（m,1）.若向量a+b与a垂直，则

5、m=14 .曲线y=x2+/点（1,2）处的切线方程为_.,一兀.一兀15 .已知aC（0,万）,tan=2,贝匕os（?2-）=.16 .已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上，SC是球O的直径.若平面SCAL平面SCB,SA=AC,SB=BC三棱锥S-ABC的体积为9,则球。的表面积为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17 .（12分）记&为等比数列an的前n项和.已知%=2$3=-6.求an的通项公式；（2）求Sn,并判断&

6、+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.18 .(12分)如图，在四棱锥P-ABCD43,AB/CD,且/BAP=/CDP=90.(1)证明：平面PAB1平面PAD;（2）若PA=PD=AB=DC,APD=90，且四棱锥P-ABCD勺体积为8,求该四棱锥的侧面积319 .（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位:cm）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.2

7、69.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得？?316Xi=9.97,s=V±1!(?2=4(16?行16?平尸0.212,16?=116?=i16?=1V汇(？?8.5)2=18.439,16(Xi-?(i-8.5)=-2.78,其中Xi为抽取的第i个零件的尺?=1?=1寸,i=1,2,16.(1)求(Xi,i)(i=1,2,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小);(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(？?3

8、s,7+3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？(ii)在(？?3s,?+3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)?£(?9？?？附：样本(Xi,yi)(i=1,2,n)的相关系数r=?=?.VY?J?2,第(?-?-?2v0.0080.09.20 .(12分)设A,B为曲线C:y=?上两点,A与B的横坐标之和为4.求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行，且AMLB

9、M求直线AB的方程.21 .(12分)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)R0,求a的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22 .选彳44:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为二13c吸？(0为参数),直线l的参数方程为?=sin?=?+4?,.小公珈、?=1-?(t为参数).若a=-1,求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为v17,求a.23 .选彳45:不等式选讲(10分)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|

10、x-1|.当a=1时，求不等式f(x)>g(x)的解集；(2)若不等式f(x)>g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷I)一、选择题1.A本题考查集合的运算.333.由3-2x>0得x<2,则B=?|?<2,所以AAB=?|?<2,故选A.2.B本题考查样本的数字特征.统计问题中，体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差.故选B.方法总结样本的平均数体现的是样本数据的平均水平,样本的方差和标准差体现的是样本数据的稳定性.3.C本题考查复数的运算和纯虚数的定义.A.i(1+i)2=iX2i=-2;B.i

11、2(1-i)=-(1-i)=-1+i;C.(1+i)2=2i;D.i(1+i)=-1+i,故选C.4.B本题考查几何概型.设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称，则黑色部分的面积为高,所以在正方形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率兀P/二，故选B.2Kz85.D本题考查双曲线的几何性质.易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方，如图.,.PHx轴，1 .P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),2 .|AP|=1,AP±PF,SAAPF=X3X1=1.故选D.6 .A本题考查线面平行的判定.B选项中，AB/MQ且AB?平面MNQ,

12、MQ平面MNQ,UAB/平面MNQ;C项中，AB/MQ且AB?平面MNQ,MQ平面MNQ则AB/平面MNQ;他项中，AB/NQ,且AB?平面MNQ,NQ平面MNQ则AB/平面MNQ故选A.方法总结线面平行的判定方法：(1)线面平行的判定定理；(2)面面平行的性质定理7 .D本题考查简单的线性规划问题.作出约束条件表示的可行域如图：平移直线x+y=0,可得目标函数z=x+y在A(3,0)处取得最大值,zmax=3,故选D.31一题多解由约束条件求出二个交点的坐标(3,0),(1,0),出)，分别代入目标函数z=x+y,得至UZmax=3.8 .C本题考查函数图象的识辨.易知y=sin2?为奇函数

13、，图象关于原点对称，故排除B选项;sin2=sin120°=cos1=cos1-cos?260°=1,则f(1)=g27=v3,故排除A选项；f(兀)=产=0,故排除D选项，故选C.21-cos11-cosu方法总结已知函数解析式判断函数图象的方法i(1)根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置；(2)根据函数的单调性判断图象的变化趋势；根据函数的奇偶性判断图象的对称性；(4)根据函数的周期性判断图象的循环往复.9 .C本题考查函数的图象与性质.函数f(x)=lnx+ln(2-x)=lnx(2-x),其中0<x<2,则函数f(x)由f

14、(t)=lnt,t(x)=x(2-x)复合而成，由复合函数的单调性可知,x(0,1)时，f(x)单调递增,x(1,2)时，f(x)单调递减，则A、B选项错误；t(x)的图象关于直线x=1对称，即t(x)=t(2-x),则f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称，故C选项正确,D选项错误.故选C.10 .D本题考查程序框图问题.本题求解的是满足3n-2n>1000的最小偶数n,判断循环结构为当型循环结构，即满足条件要执行循环体，不满足条件应输出结果，所以判断语句应为AW1000,另外，所求为满足不等式的偶数解，因此匚二中语句应为n=n+2,故选D.11.B本题考查正弦定理

15、和两角和的正弦公式.在ABC中,sinB=sin(A+C),贝UsinB+sinA(sinC-cosC)=sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,即sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,3.cosAsinC+sinAsinC=0,sinCw0,-cosA+sinA=0,即tanA=-1,即A=兀.4?白20.一；1由sin?=sin?可豆=sin?,sinC=2,2又0<cC,，CW,故选B.46方法总结解三角形问题首先要熟悉正弦定理、余弦定理；其次还要注意应用三角形内角和定理，以达到求解三角函数值时消元的目的，例如本题中sinB=si

16、n(A+C)的应用.12 .A本题考查圆锥曲线的几何性质.当0Vm<3时,椭圆C的长轴在x轴上,如图(1),A(-v3,0),B(v3,0),M(0,1).图当点M运动到短轴的端点时，/AMBX最大值，此时/AMa120°,则|MO|W1,即0vme1；当m>3时,椭圆C的长轴在y轴上，如图(2),A(0,B(0,-v?),M(，3,0)图(2)当点M运动到短轴的端点时，/AMB取最大值，此时/AM由120°,则|OA|>3,即3,即9.综上,m(0,1U9,+8),故选A.易错警示在求解本题时，要注意椭圆的长轴所在的坐标轴,题目中只说A、B为椭圆长轴的两

17、个端点，并未说明椭圆长轴所在的坐标轴，因此，要根据m与3的大小关系，讨论椭圆长轴所在的坐标轴.二、填空题13 .看答案7无解析本题考查向量数量积的坐标运算.a=(-1,2),b=(m,1),.a+b=(m-1,3),又(a+b)，a,(a+b)-a=-(m-1)+6=0,解得m=7.14 .士答案x-y+1=0堂解析本题考查导数的几何意义.,ynx=1?，y'=2x-J,，y'|x=1=2-1=1，所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.15 .士答案三叵10*解析因为a(0,J)，且tana=Sin?=2,所以sina=2cosa,又sin2a+cos2a=1,所以2

18、cos?_20_逐mtt_cc工心_兀3、,3.20、,33esina=-,COsa=-p贝cos(?2)=cosacos/sinssin=X+X=10.易错警示在求三角函数值时，常用到sin2a+cos2a=1和tan口二?,同时要注意角的范cos?围，以确定三角函数值的正负.16 .看答案36兀1t解析由题意作出图形，如图.设球O的半径为R,由题意知SEBC,S温AC,又SB=BC,SA=ACMSB=BC=SA=AG=2R.连接OA,OB,则OALSC,OBLSC,因为平面SCAL平面SCB,平面SCAO平面SCB=SC所以OAL平面SCB,所以OALOB,则AB=v2R,所以ABC是边长

19、为vR的等边三角形，设4ABC的中心为O,连接OO,COi.-一一；2一一.,.2A/3a/66a/3则OOL平面ABC,C(O=-X3Xv2R=yR,则OO=V?2-(1R)=yR,则VS-abc=2Vo-ab=2Xlx(v-R)2x3r=1r3=9,所以R=3.所以球O的表面积S=4tt1=36兀.三、解答题17.看解析本题考查等差、等比数列(1)设an的公比为q,由题设可得?(i+q)=2,?(1+q+?)=-6.解得q=-2,ai=-2.故an的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=5二一1-?=-|+(-1)2?+13由于$+2+$+1=-4+(-1)n2?+3-2?+

20、233=2-2+(-1)？.号=2Sn,33故$+1,Sn,Sn+2成等差数列.方法总结""等差、等比数列的常用公式""(1)等差数列：递推关系式：an+1-an=d,常用于等差数列的证明通项公式:an=a1+(n-1)d.“后升八5c(?+?n?1)刖n项和公式:Sn=2=nai+2d.(2)等比数列：递推关系式：尊=q(qw0),常用于等比数列的证明?通项公式:an=aiqn-1?q=1),前n项和公式:Sn=?(1-?i-?(q*).2来证在证明a,b,c成等差、等比数列时，还可以利用等差中项："?+?=b或等比中项：a-c=b明.18.

21、*解析本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体侧面积的计算(1)证明：由已知/BAP4CDP=90,得AB±AP,CDLPD.由于AB/CD,故AB±PD,从而AB!平面PAD.又AB?平面PAB,所以平面PABL平面PAD.(2)在平面PAD内彳PHAD,垂足为E.由(1)知,ABL平面PAD,故AB!PE,可得PH平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=v2x,PE=?x.故四棱锥P-ABCD的体积3-ABCD=1AB-AD-PE=1x3.33.一一138由题设得3x3=3,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=22,PB=PC=2/2.可得四棱锥P-ABCD的

22、侧面积为1PAPD+1PA-AB+1PD-DC+1BCsin60°=6+2v3.2222方法总结1.面面垂直的证明证明两个平面互相垂直，可以在一个平面内找一条直线l,证明直线l垂直于另一个平面2 .线面垂直的证明(1)证明直线l垂直于平面内的两条相交直线.(2)若已知两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面3 .几何体的体积柱体的体积V=S底h.锥体的体积V=1S底-h.34 .几何体的表面积直棱柱的侧面积S侧=C底1,其他几何体一般要对各个侧面、底面逐个分析求解面积，最后求和.19 .士解析本题考查统计问题中的相关系数及样本数据的均值与方差.16二(？?？%i-

23、8.5)(1)由样本数据得(xi,i)(i=1,2,16)的相关系数为r=:？"化，工(？?？2，工(？?8.5)2?=1-?=1-2.780.212XoX18.439=-0.18.由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)(i)由于？=9.97,s=0.212，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(？?3s,?3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查.(ii)剔除离群值，即第13个数据，乘U下数据的平均数为X(16X9.97-9.22)=10.02,15这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.三

24、?=16X0.2122+16X9.97%1591.134,?=1一剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为122X(1591.134-9.22-15X10.02)=0.008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为v0.008p0.09.方法总结样本的数字特征.(1)样本数据的相关系数r,?汇(?(?r=广.一,vt_(?我?2，嘉(?2反映样本数据的相关程度,|r|越大，则相关性越强.(2)样本数据的均值反映样本数据的平均水平；样本数据的方差反映样本数据的稳定性，方差越小，数据越稳定；样本数据的标准差为方差的算术平方根.20 .*解析本题考查直线与抛物线的位置关系.(1)设A(x1,y

25、1),B(x2,y2),则X1Wx2,y1=?,y2=?,x1+X2=4,于是直线AB的斜率k=?L2|=?!?2=1.?(2)由y=不得y'=5,设M(x3,y3),由题设知,=1,解得X3=2，于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=：得x2-4x-4m=0.当A=16(m+1)>0,即m>-1时,xi,2=2±2储？+1.从而|AB|=v2|xi-X2|=4V2(?+1).由题设知|AB|=2|MN|,即4V2(?+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x

26、+7.方法总结(1)直线与抛物线的位置关系点差法：在已知“xi+X2”或“y1+y2”的值，求直线l的斜率时，利用点差法计算，在很大程度上减少运算过程中的计算量.(2)直线与圆锥曲线的位置关系已知直线与圆锥曲线相交，求参数时，一般联立直线与圆锥曲线的方程，消元后利用韦达定理，结合已知列方程求解参数.求弦长时，可通过弦长公式|AB|=VT+T2|x1-x2|=VT+?7?，(？+?)2-4?或|AB|=V1+春|y1-y2|=+,"(?+?)2-4?(kW0)求解.21 .士解析本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值(1)函数f(x)的定义域为(-8,+oo),f'(x)=2

27、e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).若a=0,则f(x)=e2x,在(-8,+oo)单调递增.若a>0,则由f'(x)=0得x=lna.当xC(-81na)时，f'(x)<0;当xC(lna,+8)时，f'(x)>0.故f(x)在(-8,ma)单调递减，在(lna,+8)单调递增.若a<0,则由f'(x)=0得x=ln(-?j.?当xC(-8,ln(-2)时,f'(x)<0;当xC(in(-今，+8)时，f'(x)>0.(-2),+8)单调递增.取得最小值，最小值为f(lna)=-a21na,从而当且故f(x)在(-巴ln(-?)单调递减，在(in(2)若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)>0.若a>0,则由(1)得，当x=lna时,f(x)仅当-a2lna>0,即a<1时，f(x)>0.若a<0,则由(1)得，当x=ln(-2?时，f(x)取得最小值,最小值为f(ln(-j)=a23-ln(-2).23?从而当且仅当a4-ln(-2)>0,3即a>-2e4时,f(x)>0.3综上,a的取值范围是-2e4,1.22 .上解析本题考查极坐标与参数方程的应用？32(1)曲线C的普通方程为-+y2=1.9当a=-1时，直线