2018年中考数学专题：构造基本图形巧解含45度角的问题

1、构造基本图形巧解含45o角的问题本文以两道含有45o角的中考试题为载体，分析这类问题的共同特点和解法，供同学们参考一、试题呈现1(2017)1xOy题年丽水中考题如图，在平面直角坐标系中，直线y=-xm分别交x轴，y轴于A、B两点，已知点C(2,0).(l)略；设P为线段OB的中点，连结PA,PC若/CPA=45则m的值是图1图2，点A在反比例函数,交反比例函数45o题2(2017年金华中考题)如图2,已知点A(2,3)和点B(0,2)kt的图象上作射线AB,再将射线AB绕点A按照逆时针方向旋转yj一x的图象于点C,则点C的坐标是.上面的两道中考填空题，虽然形式上不太一样，但是有着一个共同的特

2、点，都存在一个45o的特殊角.因此，如何利用45o角成为了解题的突破口，45o角的两边与x轴的交点都形成了一个类似的三角形，因此这两道题有着如下的共同解法二、共同解法展示1.构造“一线三等角”，利用相似三角形丽水题解法1如图3,在y轴截取ODOC,而匕时上PDC45,可以证得ABP:qPDC,进而得到方程%2BPBACDPD一,m一印飞2m:(2),解得m-12.图3图4金华题解法1如图4,过点A作等腰直角&PNG，作ND=NF,连结DF,易得NP=NG=6,PG=6旷设FN_DN_a,可以证得APG:FDA,得APDE,PGDA32a,62a3解得a-1,二F(1,0).求出AF的解

3、析式为y3x=3,再与y=6联列方程，得到C点坐标为41,6).x分析“一线三等角”是一种常见的建立三角形相似的方法.该模型在这两小题的应用中看上去有些异常，一个只有两等角，另一个根本不存在等角，所以我们利用45o的角去构造等腰直角三角形，形成“一线三等角”的基本模型，再利用相似三角形的基本性质列出方程2.构造“三垂型”模型，利用全等三角形丽水题解法2如图5,过点C作CD工CP,交AP于点D,再作DE工x轴，易得%PC：篁“ECD,.DE=OC=2,CEO些=2mAE-OAOCCE-2.2:DE/OP,DEAE；-OPAOmm列出方程2:-(2):m,解得m-12.图5图6金华题解法2如图6,

4、过点M作MFEFM高速DM.AAM,构造如图所示的辅助线，易得设M的坐标为（0,m）,可得MD=EF=2,AD=EM=3m.一，1-因为点G在直线y=-x2可以求得点2进而求得GE1=-m,GD=6-2m.:EF/AD,EF二GE,列出方程2:ADGD（3m=（1一m）:（6-2m）,解得m=±3（m=3舍去）.所以点M的坐标为（0,巧）.G的坐标为（2m-4,m）,分析“三垂型”模型是一个基本图形.该模型不仅可以找到全等的三角形，也可以用来证明勾月S定理.看到45o角可以构造等腰直角三角形，进而形成“三垂型”模型.3.构造“角平分线”，运用内角平分线的性质预备知识：如图7,AD是A

5、ABC的角平分线，则有ABBD=（证略）.ACCD丽水题解法3如图8,过点P作PDJLPA.图g./APC=45所以CP为&APD的角平分线,.PDCD-PAAC二PD=4,弁且求出D的坐标（_F,0）,PA24m/曰12可得一一4T2m2解得m12-.金华题解法3如图9,方法同上.分析由于45o是90o的一半，构造了角平分线，恰好可以利用三角形内角平分线的基本性质，45o这一条件，让人产生了很多遐想，补全直角也是一种常见的手段.4.构造“正方形”，借用正方形旋转457预备知识：如图10,正方形ABCD，点E、F分别在BC和CD上，且NEAF求证:BE+DF=EF.（证略）图10丽水题

6、解法4如图11,过点P构造正方形OPDE.m.ENDN,OC-2,4根据预备知识得到mCN-2.4又CE=m-2,在&CEN中有2图11金华题解法4如图12，3-3NF，HG.二一设点E为(m,0),则DE=2-m,GEq=1m.利用预备知识，.NF.一，AE2可得HE二m.2在直角加GE中，(3)2(1m)2-(-m)2,22解得m1=,得到E(1,0).分析“半角模型”也是一种常见的基本图形，这类问题一般利用旋转完成,等三角形，进而得到线段之间的关系.5 .构造“三角形的高”，回到匀股定理丽水题解法5如图13,作CD-LAP,可知*PCD为等腰直角三角形由PO:AOCD:AD=1:

7、2,AC=m2,.厂_5易得CD一(m2兀5可以得到全_10PC匚(m-2).5在Rt“POC中，利用勾股定理，得解得m-12.14图13金华题解法5如图14,作ED±AF(后面计算可得B和D重合).设AD=ED=a,则DE2a=,EF=芯a,AF=3a.又.AF一35,得到a二吕5,EF5a-5,E(1,0).分析遇到直角问题，有时要回归到勾股定理，利用勾股定理能够列出方程.尤其在折叠问题中，我们经常会利用勾股定理构造方程.本题中依靠ZCPA=45°构造等腰直角三角形，同时得到APOA:WCDA,一箭双雕.6 .构造“四点共圆”，运用两点间的距离公式丽水题解法6如图15,

8、以AC为直角边构造等腰直角AADC.:NDAPC45,=叁所以A、C、P、D四点共圆，且以CD为直径，E为圆心.D(m,m-2),(0,%m2m2-),222根据EP=EC,可得解得m-12.图15图16金华题解法6如图16,方法同上.分析“四点共圆”是一种常见的基本图形，它可以运用同弧所对的圆周角相等，半径相等直径所对的圆周角是直角等一系列知识点，灵活多变三、解题后的反思1 .明确解题方向，确定解题途径这两道中考题都是以函数为载体的几何问题，以上的解法都充分利用了数形结合，把题中的“形”转化为运算，达到“化形为数”的目的，这是解决问题的关键所在，也是基本思路，有了这些基本思路就有了解决问题的

9、方向在解决函数中的几何问题时，一定要充分利用几何的基本性质，抓住问题表象中的隐含条件，利用几何性质的同时结合平面直角坐标系的有关计算，达到几何与代数的完美结合.上述解法中的勾股定理和三角形的相似与全等，等腰直角三角形的性质的运用，既在意料之外，又在情理之中，顺其自然，水到渠成2 .抓住问题本质，学会异中求同以上两道题目看似不同，却有着共同的本质，可以称得上是多题一解.数学问题千变万化，仅仅依靠题海战术是很难抓住数学的本质，盲目地做题还不如静下心来去思考.我们应该由表及里，发现题与题之间的内在联系，抓住问题的本质达到有效的解题.一题多解能拓展思维的广度，多题一解更能挖掘思维的深度，因此，我们在数学解题教学中，要两者兼