第1章数理逻辑-谓词逻辑ppt课件

1、第一章第一章 数理逻辑数理逻辑 Mathematics Logic1.61.8 谓词逻辑Predicate Logic问题的提出：(命题逻辑的局限性)n例：苏格拉底结论n前提n“一切的人总是要死的n“苏格拉底是人n结论n“所以苏格拉底是要死的n命题逻辑中原子命题不可再分PQRPQR不是有效推理不是有效推理n例n1：小张是大学生n2：小李是大学生nQ1 ：2大于3nQ2 ：6大于4n命题逻辑无法反映不同原子命题间的内在共性n处理问题的方法n分析原子命题，分别其主语和谓语n思索普通和个别，全称和存在1.6 谓词和量词谓词和量词n1.6.1 谓词谓词n谓词的概念和表示谓词的概念和表示n在原子命题中，

2、用来刻划一个个体的性质在原子命题中，用来刻划一个个体的性质或个体之间关系的成分称为谓词，刻划一或个体之间关系的成分称为谓词，刻划一个个体性质的词称为一元谓词；刻划个个体性质的词称为一元谓词；刻划n个个个个体之间关系的词称为体之间关系的词称为n元谓词元谓词n常用大写英文字母表示常用大写英文字母表示n个体个体n可以独立存在的事物可以独立存在的事物n通常用小写英文字母通常用小写英文字母a、b、c、.表示个体表示个体常量常量n用小写英文字母用小写英文字母x、y、z.表示任何个体，表示任何个体，那么称这些字母为个体变元那么称这些字母为个体变元n例例 1n(a) 5 是质数是质数 n(b) 张明生于北京张

3、明生于北京n(c) 7=32nF(x)：x是质数是质数nG(x, y)： x生于生于y ，a：张明，：张明，b：北：北京京nH(x, y, z) ：x=yzF(5)G(a,b)H(7,3,2)谓词 个体词谓词命名式(谓词填式)变元的次序很重要变元的次序很重要n谓词常元n一个字母代表一特定谓词, 例如F代表“是质数, 那么称此字母为谓词常元n谓词变元n假设字母代表恣意谓词, 那么称此字母为谓词变元n论域n个体域n谓词命名式中个体变元的取值范围n空集不能作为论域命题函数n谓词命名式不是命题n假设谓词是常元n个体词是常元n谓词命名式才成为一个命题n谓词函数n由一个谓词和假设干个个体变元组成的命题方式

4、称为简单命题函数，表示为P(x1,x2,xn)。由一个或假设干个简单命题函数以及逻辑结合词组成的命题方式称为复合命题函数nn=0时n命题变元n例n A(x)：x身体好n B(x)：x学习好n C(x)：x任务好n假设x身体不好，那么x的学习与任务都不会好复合命题函数nA(x)(B(x)C(x)1.6.2 量词n例n “一切的正整数都是素数 n “有些正整数是素数n假设n只需两个正整数a和bn个体域为a,bnP(x)：x是素数P(a) P(b)P(a) P(b)全称量词n记作n表示“每个、“任何一个、“一切、“一切的、“凡是、“恣意的等nx读作“恣意x， “一切x， “对一切x n量词后边的个体

5、变元，指明对哪个个体变元量化，称为量词后的指点变元n例n一切人都是要死的nD(x)：x是要死的n个体域：一切人构成的集合nx D(x)存在量词n记作n表示“有些、“一些、“某些、“至少一个等nx读作“存在x，“对某些x或“至少有一xn指点变元n例n有些有理数是整数n(x)：x是整数n个体域：有理数集合nx(x)全总个体域全总域n含有量词的命题的真值与论域有关n含有量词的命题的表达式的方式与论域有关n全总个体域n宇宙间一切的个体聚集在一同所构成的集合n商定n除特殊阐明外，均运用全总个体域n对个体变化的真正取值范围，用特性谓词加以限制例n一切的人都是要死的n有的人活百岁以上nD(x)：x是要死的G

6、(x) ：x活百岁以上n个体域E为全体人组成的集合nx D(x)nx G(x)n全总个体域n引入特性谓词nM(x)：x是人nx(M(x) D(x)nx (M(x)G(x)特性谓词添加规那么n对全称量词, 特性谓词作为条件式之前件参与n对存在量词, 特性谓词作为合取项而参与n例n(a) 没有不犯错误的人nF(x)：x犯错误 M(x)：x是人n x (M(x)F(x)n(b) 凡是实数, 不是大于零就是等于零或小于零nR(x)：x是实数L(x, y)：xynE (x, y) ： x = yS(x, y)：x ynx(R(x) L(x, 0) E (x, 0) S (x, 0) 1.6.3 量化断言

7、和命题的关系量化断言和命题的关系n假设论域有限, 无妨设论域D=1, 2, 3nxP(x)？nxP(x) P(1) P(2) P(3)nxP(x)？nxP(x) P(1) P(2) P(3)n假设论域无限可数，概念可以推行1.6.4 谓词公式谓词公式n个体函数函词n例n小王比他的父亲高n T(x，y)：x比y高 a：小王nb：小王的父亲nT(a，b)n无法显示个体之间的依赖关系n定义函数nf(x)=x的父亲nT(a， f(a)n函词与谓词的区别n函词中的个体变元用个体带入后的结果依然是个体nf(a)=小王的父亲n谓词中的个体变元用确定的个体带入后就变成了命题nM(x)：x是人nM(a)：小王是

8、人n函词是论域到论域的映射nf : DDn谓词是从论域到T,F的映射nM : D T,F项和原子公式n项(item)n表示个体n定义n个体常量是项n个体变元是项n假设f是一个n(n1)元函词，其t1, t2, tn都是项，那么f(t1, t2, tn)是项n例na, b, cnx, y, znf (x), g (a, f (y) n原子公式(atom)n定义n假设P是一个n元谓词，且t1,t2,tn是项，那么P(t1,t2,tn)是原子n命题词也是原子(n=0)n例nP, Q (x), A (x, f (x), B (x, y, a)谓词演算的合式公式(Wff)n也叫谓词公式，简称公式n定义n

9、(1)原子公式是合式公式n(2)假设A、B是合式公式，那么A、(AB)、(AB)、(AB)、(AB)都是合式公式n(3)假设A是合式公式，x是中的任何个体变元，那么x和x也是合式公式n(4)有限次地运用规那么(1)至(3)求得的公式是合式公式n例nP，(PQ)，(Q(x)P)，x(A(x)B(x)，xC(x)命题符号化n谓词逻辑中比较复杂n命题的符号表达式与论域有关系n例：每个自然数都是整数n论域D=NnI(x)：x是整数nx I (x)n论域为全总个体域n特性谓词N(x)：x是自然数nx(N(x)I(x)例：将以下命题符号化(1)一切大学生都喜欢一些歌星。 S(x)：x是大学生，X(x)：x

10、是歌星，L(x,y)：x喜欢y x(S(x)y(X(y)L(x,y) (2)发光的不都是金子。P(x)：x发光，G(x)：x是金子x(P(x)G(x) 或者x(P(x)G(x)(3)不是一切的自然数都是偶数。 N(x)：x是自然数，E(x)：x是偶数x(N(x)E(x)或者x(N(x)E(x)(4)某些人对食物过敏F(x, y)：x对y过敏，M(x)：x是人， G(x)：x是食物 xy(M(x)G(y)F(x,y)(5)每个人都有些缺陷 H(x, y)：x有y，M(x)：x是人， S(x)：x是缺陷 x(M(x) y(S(y)H(x,y)(6)虽然有人聪明, 但未必人人聪明 M(x)：x是人，

11、 S(x)：x聪明 x(M(x)S(x)x(M(x)S(x)练习：将以下命题符号化n一切教练员都是运发动；(J(x)，L(x)n某些运发动是大学生；(S(x)n某些教练员是年老的，但是强壮的；(O(x)，V(x)n金教练虽不年老，但不强壮；(j)n不是一切运发动都是教练员；n某些大学生运发动是国家选手；(C(x)n没有一个国家选手不是强壮的；n一切老的国家选手都是运发动；n没有一位女同志既是国家选手又是家庭妇女；(W(x)，H(x)n有些女同志既是教练员又是国家选手；n一切运发动都钦佩某些教练员；(A(x, y)n有些大学生不钦佩运发动。练习参考答案nx(J(x)L(x)nx(L(x)S(x)

12、nx(J(x)O(x)V(x) n J(j)O(j)V(j) nx(L(x)J(x) 或者 x(L(x)J(x) nx(S(x)L(x)C(x) nx(C(x)V(x) 或者 x(C(x)V(x) nx(C(x)O(x)L(x) nx(W(x)C(x)H(x) nx(W(x)J(x)C(x) nx(L(x)y(J(y)A(x,y)nx(S(x)y(L(y)A(x,y)几个特别的例子(1) 假设明天下雨，那么某些人将被淋湿 不是个体不是个体定义命题词P：明天下雨， M(x)：x是人，W(x)：x将被淋湿P x(M(x) W(x)(2) 有且仅有一个偶素数P(x)：x是偶素数 x(P(x) y(P

13、(y)x=y) 或者 x(P(x)y(xyP(y)(3) 顶多只需一台机器是好的 P(x)：x是好机器用符号 !xP(x) 表示有且仅有一个个体满足Pxy(P(x)P(y)x=y)用符号 !xP(x) 表示顶多有一个个体满足P (4) 假设人都爱美，那么美丽衣服有销路 M(x)：x是人，L(x)：x爱美， C(x)：x是衣服， B(x)：x是美丽的，S(x)：x有销路x(M(x)L(x)x(C(x)B(x) S(x)问题一：前后两个x能否指同一个个体？答：前后两个x不是同一个个体问题二：假设写成如下方式能否正确？x(M(x)L(x) y(C(y)B(y) S(y)答：是正确的，显然x(M(x)

14、L(x) x(C(x)B(x) S(x) x(M(x)L(x) y(C(y)B(y) S(y)1.6.5 自在变元与约束变元自在变元与约束变元n量词的作用域(辖域)n定义：在谓词公式中，量词的作用范围称之为量词的作用域，也叫量词的辖域。n例nxA(x)nx的辖域为A(x)nx(P(x)Q(x)yR(x,y)nx的辖域是(P(x)Q(x)yR(x,y)ny的辖域为R(x,y)nxyz(A(x,y)B(x,y,z)C(t) x x的辖域的辖域 z z的辖域的辖域 y y的辖域的辖域自在变元自在变元普通地，假设量词后边只是一个原子谓词公式时，该量词的辖域就是此原子谓词公式。假设量词后边是括号，那么此

15、括号所表示的区域就是该量词的辖域。假设多个量词紧挨着出现，那么后边的量词及其辖域就是前边量词的辖域。n约束变元n假设个体变元x在x或者x的辖域内，那么称x在此辖域内约束出现，并称x在此辖域内是约束变元n自在变元n假设个体变元x不在任何量词的辖域内，那么称x是自在出现，并称x是自在变元n例n x(F(x,y)yP(y)Q(z)n F(x,y)中的x和P(y)中的y是约束变元n而F(x,y)中的y和Q(z)中的z是自在变元例：指出以下各公式中的量词辖域及自在变元和约束变元nxy(P(x)Q(y)zR(z)nx的辖域y(P(x)Q(y)ny的辖域P(x)Q(y)nz的辖域R(z)nx(P(x,y)y

16、Q(x,y,z)S(x,z)nx的辖域P(x,y)yQ(x,y,z)n其中x是约束变元ny是自在变元ny的辖域Q(x,y,z)n其中y是约束变元nx, z是自在变元nS(x，z)中x，z是自在变元对约束变元和自在变元的几点阐明n约束变元用什么符号表示无关紧要nxA(x)与yA(y)是一样的 n一个谓词公式假设无自在变元，它就表示一个命题n例：A(x)表示x是个大学生nxA(x)或者xA(x)是命题n一个n元谓词P(x1,x2,xn)，假设在前边添加k个量词，使其中的 k个个体变元变成约束变元，那么变成n-k元谓词函数nP(x,y,z)表示x+yzn假设论域是整数集，xyP(x,y,z)表示？n

17、“恣意给定的整数x，都可以找到整数y，使得x+yz 。n令z=1，那么xyP(x,y,1)表示？n“恣意给定的整数x，都可以找到整数y，使得x+y1,。nxyP(x,y,1)表示？例n不同个体以一样的符号出现容易产生混淆n例nx(F(x,y)yP(y)Q(z)n约束变元的换名规那么：n对约束变元可以更改称号，改名的范围是：量词后的指点变元以及该量词的辖域内此个体变元出现的各处同时换名。n改名后用的个体变元称号，不能与该量词的辖域内的其它变元称号一样。约束变元换名nx(P(x)Q(x,y)(R(x)A(x) nx以两种方式出现n对x换名n z(P(z)Q(z,y)(R(x)A(x)nx(P(x,

18、y)yQ(x,y,z)S(x,y) n对x和y换名nu(P(u,v)vQ(u,v,z)S(x,y)n错误nu(P(u,y)zQ(u,z,z)S(x,y)n错误nu(P(u,y)vQ(u,v,z)S(x,y)n正确例自在变元换名n自在变元也可以换名n此换名叫代入n自在变元的代入规那么：n对谓词公式中的自在变元可以作代入。代入时需求对公式中出现该变元的每一处，同时作代入n代入后的变元称号要与公式中的其它变元称号不同例nx(P(x)Q(x,y)(R(x)A(x)n用z替代自在变元xnx(P(x)Q(x,y)(R(z)A(z)nx(P(x,y)yQ(x,y,z)S(x,z)n用w和t分别代自在变元x和

19、ynx(P(x,t)yQ(x,y,z)S(w,z)1.7 谓词演算的永真公式谓词演算的永真公式n谓词公式的解释n指定一个论域Dn对A中出现的每一个n元函数，指定一个D上的 n元个体函数常量n对A中出现的每一个n元谓词，指定一个D上的n元谓词常量n对A中出现的每一个个体常量及自在变元，指定D中的一个个体常量n对A中出现的每一个命题变元P，指派一个真值T或F n由此得到一个命题AI，称AI的真值为适宜公式A在解释I 下的真值例n取解释I如下：nD=1,2,n定义D上的二元谓词P真值为nP(1,1): T； P(1,2): F； P(2,1):F； P(2,2): Tn 那么xyP(x,y)和yxP

20、(x,y) 在解释I下的真值分别为?xyP(x,y)TTFFTTT212211xyP(x,y)yP(x,y)P(x,y)yxyxP(x,y)TFFFFFT212211yx P(x,y)xP(x,y)P(x,y)xy例n取解释I如下：nD=1,2,n令 a:1, f(1)=2, f(2)=1n定义D上的谓词P和Q为nP(1): F； P(2): T； Q(1,1):T； Q(1,2):T； Q(2,1):F； Q(2,2): Fn求谓词公式x(P(x)Q(f(x),a)在解释I下的真值P(1)Q(f(1),1)P(2)Q(f(2),1)TTx(P(x)Q(f(x),a)在解释I下的真值为T谓词公

21、式的永真式n定义定义 n给定谓词公式给定谓词公式A，E是其论域，假设在任何是其论域，假设在任何解释下公式解释下公式A的真值都为真，那么称公式的真值都为真，那么称公式A在论域在论域E上是永真式。假设不论对什么论域上是永真式。假设不论对什么论域E，都使得公式，都使得公式A为永真式，那么称为永真式，那么称A为永为永真式。真式。n例：例：I(x)：x是整数，论域是整数，论域E为自然数集合为自然数集合nI(x)在在E上是永真式上是永真式nI(x) I(x)是与论域无关的永真式是与论域无关的永真式n谓词公式的永假式谓词公式的永假式n谓词公式的可满足式谓词公式的可满足式例：试阐明以下公式的类型n xA(x)

22、A(y)n xA(x)A(y)n A(x) (A(x) ：x+6=5)n x( A(x) A(x)nx (A(x)B(x) xA(x)xB(x) nx (A(x)B(x) xA(x) xB(x)永真式 可满足式 可满足式永假式5. x (A(x)B(x) xA(x)xB(x) 解 取解释I如下:D=1,2 A(1)B(1)A(1) A(2) B(1) B(2) T F F TT A(2)B(2)T x (A(x)B(x)T x A(x)F x B(x)F那么在 I 下 x A(x) x B(x)F所以在 I 下x (A(x)B(x) xA(x)xB(x)的真值为假，该式不是永真式6. x (A

23、(x)B(x) xA(x)xB(x)解 取解释I如下:D=1,2A(1) A(2) B(1) B(2) F T T F或A(1) A(2) B(1) B(2) T F F T x A(x) x B(x)T x (A(x)B(x)F所以在 I 下x (A(x)B(x) xA(x)xB(x)的真值为假，该式不是永真式谓词公式的等价n定义n两个恣意谓词公式A和B, E是它们公有的论域, 假设在任何解释下，A与B作的真值都一样(或者说AB是永真式)，那么称公式A与B在论域E上是等价的。假设不论对什么论域E，都使得公式A与B等价，那么称A与B等价，记作AB。n例：I(x)：x是整数，N(x)：x是自然数

24、，论域E是自然数集合nI(x)与N(x)在E上是等价的nN(x)I(x) N(x)I(x)谓词公式的蕴含n定义n两个恣意谓词公式A和B，E是它们的论域，假设在任何解释下，都使得公式AB为永真式，那么称在论域E上公式A永真蕴含B。假设不论对什么论域E， AB是永真式，那么称A永真蕴含B，记作AB。n例：G(x)：x大于5，N(x)：表示x是自然数，论域E=-1,-2,6,7,8,9,.n在E上公式G(x)N(x)是永真式n(G(x)N(x)N(x)是与论域无关的永真式，所以(G(x)N(x)N(x)1.7.2 谓词演算的根本永真公式谓词演算的根本永真公式n命题演算的永真公式也是谓词演算的永真公式

25、n含有量词的谓词演算的根本永真公式n() xAAn xAAn() xP(x)P(y) 或 xP(x)P(x)n P(y)xP(x) 或 P(x)xP(x)n() 量词的否认n xP(x) xP(x)n xP(x) xP(x) n量词转换公式例 xyz(x+z=y) xyz(x+z=y) xyz(x+z=y) xy z(x+z=y) xy z(x+zy) () 量词辖域的扩张和收缩xA(x)Px(A(x)P)xA(x)Px(A(x)P)xA(x)Px(A(x)P)xA(x)Px(x)P)PxA(x)x(PA(x)PxA(x)x(PA(x)xA(x)Px(A(x)P)xA(x)Px(A(x)P)P

26、是不含个体变元x的谓词公式 证明式1：(逻辑推证)一方面，当P为F时， xA(x)Px(A(x)P)xA(x)另一方面，当P为T时， xA(x)Px(A(x)P)T(v) 量词的分配方式x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)证明式1： 个体域中每一个体x，使得 A(x)B(x)为真, 等价于对一切x, A(x)是真并且对一切x, B(x)是真证明式2：由1得x( A(x) B(x)xA(x)xB(x) 即 x(A(x)B(x) (xA(x)xB(x) 故 x(A(x)B(x

27、) xA(x)xB(x)n留意：公式留意：公式3和和4不是等价公式，而是永真不是等价公式，而是永真蕴含式蕴含式n例：例：n给定如下解释给定如下解释nA(x)： x是奇数是奇数B(x)：x是偶数是偶数n那么那么 xA(x)xB(x)为真为真n x(A(x)B(x) 为假为假n所以所以xA(x)xB(x)不蕴含不蕴含x(A(x)B(x)n或或nD=1,2nA(1): T A(2): F B(1): F B(2): T证明式3 x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)证明：假设前件x(A(x)B(x)为真， 那么论域中至少有一个个体a，使得 A(a)B(a)为真， 即A(a)和B(a)都为真，所以有

28、xA(x)以及xB(x)为真，得xA(x)xB(x)为真 所以 x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)证明公式4 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)证明：由3得 x(A(x)B(x)xA(x)xB(x) x(A(x)B(x)xA(x)xB(x) x(A(x)B(x)(xA(x)xB(x) 即xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)公式4得证。特别要留意蕴含式的方向，不要搞错(vi) 量词对及的处置x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)证明1. xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) x(A(x)B(x) x(A(x)B

29、(x) 证明2. xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) x(A(x)B(x) x(A(x)B(x)(vii) 关于多个量词的永真式xyA(x,y)yxA(x,y)xyA(x,y)yxA(x,y)yxA(x,y)xyA(x,y)xyA(x,y)xyA(x,y)yxA(x,y)xyA(x,y)xyA(x,y)yxA(x,y)yxA(x,y)xyA(x,y)xyA(x,y)yxA(x,y)1.7.3 几条规那么(命题演算的推行)n代入规那么n设A是命题逻辑中的永真式，那么用谓词逻辑的适宜公式替代A中的某些命题变元得到的代入实例也是永真式；假设A是永假式，那么上述代入实例也

30、是永假式n例nA(x)A(x)B(x)nPPQnx(A(x)B(x)x(A(x)B(x)nPQPQn(xA(x)xB(x)xA(x)xB(x)n摩根律n交换规那么n设A(x1, x2, xn) B(x1, x2, , xn), 而A是公式C中的子公式, 将B交换C中之A不用每一处得D, 那么CD。n对偶原理n在公式A B或A B中, A , B仅含运算符 , 和, 将上式中的全称量词与存在量词互换, 与互换, T和F互换, 那么 A* B *, B* A*1.8 谓词演算的推理规那么n谓词演算中推理的方式构造n推理的方式构造仍为nH1H2Hn C n假设H1H2Hn C是永真式，那么称n前提H

31、1，H2，Hn逻辑的推出结论C，n其中H1，H2，Hn和C都是谓词公式n谓词演算中的推理规那么n命题演算中的推理规那么，可在谓词推理实际中运用nP规那么、T规那么、CP规那么n与量词有关的规那么全称指定规那么 US (Universal Specialization)n又称全称例如规那么n作用：去掉全称量词n两种方式： nxA(x)A(y)nxA(x)A(c)n运用此规那么时要留意： n1y为恣意不在A(x)中约束出现的个体变元； n2c为恣意的个体常元n例：设A(x,y):xy 调查xyA(x,y)n可得到结论yA(z,y)n但不能得出结论yA(y,y)存在指定规那么ES(Existenti

32、al Specification)n又称存在例如规那么n作用：去掉存在量词n方式：xA(x)A(c)n运用此规那么时要留意：n 1c是使A为真的特定个体常元；n 2c不在A(x)中出现n 3假设A(x)中有其他自在变元出现，且x是随其他自在变元变化的，那么不能运用此规那么n例：设A(x,y)：xy，调查如下推理过程能否正确nxyA(x,y) n yA(z,y) n A(z,c) 存在推行规那么EG(Existential Generalization)n作用：添加存在量词n方式： A(c)xA(x)n运用此规那么时留意：n(1) c是个体域中某个确定的个体n(2) 替代c的x不能已在A(c)中

33、出现n例：设A(x,y)：xy，对xyA(x,y)调查如下推理过程nA(x,c)nxA(x,x)n错误全称推行规那么UG(Universal Generalization)n作用：添加全称量词n方式： A(y)xA(x)n运用此规那么时留意：n(1) y在A(y)中自在出现，且y取任何值时A均为真n(2) x不在A(y)中约束出现n例：设A(x,y)：xy，调查如下推理过程n xA(x,y)nx xA(x,x)n错误量词四规那么的运用限制条件n非常重要nES, US, EG, UG四条规那么都只需在量词的作用域是整个公式的情况下才干运用n例：调查如下推理过程nxP(x)yQ(y) nxP(x)

34、Q(c) ESn或 P(z)yQ(y) US n错误！1.8.3 推理举例推理举例1.证明苏格拉底的三段论。令 M(x):x是人。D(x):x是要死的。a:苏格拉底。符号化为： x(M(x)D(x),M(a) D(a) x(M(x)D(x)P M(a)D(a) US M(a) P D(a) T I 2.一切自然数都是整数。有些数是自然数。因此有些数是整数。A(x)：x是自然数，B(x)：x是整数。x(A(x)B(x)， xA(x) xB(x) x(A(x)B(x) P xA(x) P A(c)B(c) US A(c) ES B(c) T I xB(x) EG 普通先做存普通先做存在指定再做在指

35、定再做全称指定全称指定 x(A(x)B(x) P xA(x) P A(c) ES A(c)B(c) US B(c) T I xB(x) EG3. 不认识错误的人，也不能矫正错误。有些老实的人矫正了错误。所以有些老实的人是认识了错误的人。设A(x):x是认识错误的人。 B(x):x矫正了错误。C(x):x是老实的人。符号化为：x(A(x)B(x)，x(C(x)B(x), x(C(x)A(x)x(A(x)B(x),x(C(x)B(x)x(C(x)A(x) x(C(x)B(x) P C(c)B(c) ES C(c) T I B(c) T I x(A(x)B(x)P A(c)B(c) US A(c)

36、T I A(c) T E C(c)A(c) T I x(C(x)A(x) EG 察看以下推理过程，指出问题1： (1) xP(x)xQ(x) P (2) xP(x)T(1)I (3) xQ(x)T(1)I (4) P(c)ES(2) (5) Q(c)ES(3) (6) P(c)Q(c) T(4)(5)I (7) x(P(x)Q(x)EG(6) 满足P的特定个体c能满足Q？现实上xP(x)xQ(x) x(P(x)Q(x)不成立 察看以下推理过程，指出问题2：设D(x,y)表示“x可被y 整除 ,个体域 为 5,7 ,10 ,11 。由于D(5，5)和D(10,5)为真，所以xD(x,5)为真.由

37、于D(7，5)和D(11,5)为假，所以xD(x,5)为假.有以下推理过程(1) xD(x,5) P (2) D(z,5) T(1);ES (3) xD(x,5) T(2);UG 因此，xD(x,5)xD(x,5)4. 一些病人喜欢一切医生。任何病人都不喜欢庸医。所以没有医生是庸医。设: P(x):x是病人, D(x):x是医生, Q(x):x是庸医, L(x,y): x喜欢y.符号化为： x(P(x)y(D(y)L(x,y)， x(P(x)y(Q(y)L(x,y) y(D(y)Q(y) x(P(x)x(P(x) y(D(y)L(x,y)y(D(y)L(x,y)， x(P(x)x(P(x) y

38、(Q(y)y(Q(y) L(x,y) L(x,y) y(D(y)Q(y)y(D(y)Q(y) x(P(x)x(P(x) y(D(y)L(x,y) P y(D(y)L(x,y) P P(c) P(c) y(D(y)L(c,y) ES y(D(y)L(c,y) ES P(c) T P(c) T I I y(D(y)L(c,y) T y(D(y)L(c,y) T I I x(P(x)x(P(x) y(Q(y)y(Q(y) L(x,y) PL(x,y) P P(c) P(c) y(Q(y)y(Q(y) L(c,y) US L(c,y) US y(Q(y)y(Q(y) L(c,y) T L(c,y) T

39、 I I D(z)L(c,z) US D(z)L(c,z) US Q(z) Q(z) L(c,z) US L(c,z) US L(c,z) L(c,z) Q(z) T Q(z) T E E D(z) D(z) Q(z) T Q(z) T I I D(z)D(z) Q(z) T Q(z) T E E (D(z)Q(z) T (D(z)Q(z) T E E y y (D(y)Q(y) UG (D(y)Q(y) UG y(D(y)Q(y) T y(D(y)Q(y) T E E练习练习x(A(x)B(x),x(B(x)C(x),xC(x)xA(x)(1) x(A(x)B(x) P(2) A(c)B(c) ES (1) (3) x(B(x)C(x) P(4) B(c)C(c) US (3)(5) xC(x) P(6) C(c) US (5) (7) B(c)