第三章刚体定轴转动

1、12【学习目标学习目标】 1理解角位移、角速度、角加速度的概念，理解角位移、角速度、角加速度的概念，理解刚体定轴转动中角量与线量之间的关系。理解刚体定轴转动中角量与线量之间的关系。 2.理解力矩和转动惯量的概念，掌握刚体定理解力矩和转动惯量的概念，掌握刚体定轴转动的转动定律。轴转动的转动定律。3.理解转动动能的概念，理解刚体定轴转动理解转动动能的概念，理解刚体定轴转动的动能定理。的动能定理。4.理解角动量的概念，理解角动量守恒定律。理解角动量的概念，理解角动量守恒定律。 3 一、刚体的平动一、刚体的平动 平动刚体中所有的点的运动轨迹都是相同平动刚体中所有的点的运动轨迹都是相同的，它们在相同的时

2、间间隔内具有相同的位的，它们在相同的时间间隔内具有相同的位移，在同一时刻具有相同的速度和加速度。移，在同一时刻具有相同的速度和加速度。因此，平动的刚体可以看作是质量全部集中因此，平动的刚体可以看作是质量全部集中在质心的质点，所有描述质点运动的物理量，在质心的质点，所有描述质点运动的物理量，以及质点运动学和质点动力学的全部规律，以及质点运动学和质点动力学的全部规律，都可用于作平动的刚体。都可用于作平动的刚体。 45二、刚体的定轴转动二、刚体的定轴转动 刚体中的各点都刚体中的各点都绕着同一条固定的绕着同一条固定的直线作圆周运动，直线作圆周运动，这条固定的直线叫这条固定的直线叫做转轴，这种运动做转轴

3、，这种运动叫做刚体的定轴转叫做刚体的定轴转动。动。 61角坐标角坐标 刚体在某时刻刚体在某时刻t相对于参考线转过的角度相对于参考线转过的角度 叫做角坐标。角坐标随时间变化的函叫做角坐标。角坐标随时间变化的函数关系数关系=（t）叫做运动方程。）叫做运动方程。2.角位移角位移 刚体在一段时间刚体在一段时间 内转过的角度内转过的角度 叫做刚体在叫做刚体在t内的角位移内的角位移. 12ttt1272.角速度角速度 （1）平均角速度）平均角速度 （2）瞬时角速度）瞬时角速度 tdtdttlim08 角速度是描述刚体转动快慢的物理量。角速度是描述刚体转动快慢的物理量。大表示刚体转动得快，大表示刚体转动得快

4、，小则表示刚体转动小则表示刚体转动得慢。角速度是矢量，但由于刚体的定轴转得慢。角速度是矢量，但由于刚体的定轴转动只有两个转动方向，所以在研究定轴转动动只有两个转动方向，所以在研究定轴转动中，可以把角速度看成是代数量，并且规定：中，可以把角速度看成是代数量，并且规定：刚体逆时针转动时，角速度为正；顺时针转刚体逆时针转动时，角速度为正；顺时针转动时，角速度为负。如果在转动过程中角速动时，角速度为负。如果在转动过程中角速度为常量，则表示刚体作匀速转动；如果角度为常量，则表示刚体作匀速转动；如果角速度不是常量，则表示刚体作变速转动。速度不是常量，则表示刚体作变速转动。 9 3.角加速度角加速度 （1）

5、平均角加速度）平均角加速度 （2）瞬时角加速度）瞬时角加速度 t22dtddtd10三、匀变速转动三、匀变速转动 刚体作定轴转动时，如果在任何相等刚体作定轴转动时，如果在任何相等的时间内角速度的变化都相等，则这种的时间内角速度的变化都相等，则这种转动叫做匀变速转动。显然，匀变速转转动叫做匀变速转动。显然，匀变速转动的特点是角加速度为一恒量。动的特点是角加速度为一恒量。 112021attvx 质点匀变速直线速运动质点匀变速直线速运动 刚体的定轴匀变速转动刚体的定轴匀变速转动 v = v0 + at = 0 + t 2021tt ax2202 220212 四、角量与线量的关系四、角量与线量的关

6、系 描述刚体转动的物理量如角位移、角速度、描述刚体转动的物理量如角位移、角速度、角加速度等往往都与刚体转过的角度有关，角加速度等往往都与刚体转过的角度有关，我们把它们统称为角量；我们把它们统称为角量； 描述刚体内各质点作圆周运动的位移、速描述刚体内各质点作圆周运动的位移、速度和加速度等物理量又叫做线位移、线速度度和加速度等物理量又叫做线位移、线速度和线加速度，我们把这些量统称为线量。和线加速度，我们把这些量统称为线量。 131.路程（弧长）与角位移的关系路程（弧长）与角位移的关系2.线速度与角速度的关系线速度与角速度的关系3.切向加速度与角加速度的关系切向加速度与角加速度的关系4.法向加速度与

7、角速度的关系法向加速度与角速度的关系s = r rra 222)(rrrrvan14例例1 1 汽车发动机的转速在汽车发动机的转速在1212秒内由秒内由1200 rev/min1200 rev/min增加到增加到3000 rev/min3000 rev/min。（1 1）设发动机的转动是匀加速转动，）设发动机的转动是匀加速转动，求角加速度。求角加速度。（2 2）在这段时间内，发动机转了多少）在这段时间内，发动机转了多少转？转？ 15一、一、力矩力矩力矩力矩 等于由转轴指向力的等于由转轴指向力的作用点的矢径作用点的矢径 与作用力与作用力 的矢量积。的矢量积。 MrFFrM16力矩的大小：力矩的大

8、小：M = Fd = Frsin 力矩的方向：为力矩的方向：为 的方向。的方向。 在刚体定轴转动中，力矩的作用效果只有在刚体定轴转动中，力矩的作用效果只有两个可能的方向，因此，可以把力矩看作代两个可能的方向，因此，可以把力矩看作代数量。并规定，数量。并规定，作用效果是使物体由静止开作用效果是使物体由静止开始沿逆时针方向转动的力矩为正，使物体由始沿逆时针方向转动的力矩为正，使物体由静止开始沿顺时针方向转动的力矩为负。静止开始沿顺时针方向转动的力矩为负。合合力矩就等于各个力矩的代数和。力矩就等于各个力矩的代数和。 Fr17二、转动定律二、转动定律 刚体绕定轴转动时，刚体所获得的角加速刚体绕定轴转动

9、时，刚体所获得的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。这个结论叫做刚体的转动转动惯量成反比。这个结论叫做刚体的转动定律。定律。 IM 18三、转动惯量三、转动惯量 1.转动惯量的物理意义：转动惯量的物理意义： 以同样的力矩分别作用于两个绕定轴转动以同样的力矩分别作用于两个绕定轴转动的刚体，转动惯量大的刚体获得的角加速度的刚体，转动惯量大的刚体获得的角加速度小，即角速度改变得慢，也就是保持原有的小，即角速度改变得慢，也就是保持原有的转动状态的惯性大；转动惯量小的刚体获得转动状态的惯性大；转动惯量小的刚体获得的角加速度大，即角速度改变得快

10、，刚体保的角加速度大，即角速度改变得快，刚体保持原有转动状态的惯性小。持原有转动状态的惯性小。 由此可见，转动惯量是描述刚体在转动现由此可见，转动惯量是描述刚体在转动现象中惯性大小的物理量。象中惯性大小的物理量。 192.转动惯量的计算转动惯量的计算（1）质点组相对于转轴（或参考点）的转动）质点组相对于转轴（或参考点）的转动惯量：惯量：（2）质量连续分布的刚体相对于转轴的转动）质量连续分布的刚体相对于转轴的转动惯量：惯量：2iirmIdmrI2203.影响转动惯量大小的因素影响转动惯量大小的因素（1）转动惯量的大小与刚体的质量有关。当）转动惯量的大小与刚体的质量有关。当刚体的几何形状和转轴都相

11、同时，质量越大刚体的几何形状和转轴都相同时，质量越大的刚体，其转动惯量也越大。的刚体，其转动惯量也越大。（2）转动惯量的大小与刚体质量的分布有关。）转动惯量的大小与刚体质量的分布有关。当刚体的质量和转轴都相同时，质量分布得当刚体的质量和转轴都相同时，质量分布得离轴越远，其转动惯量也越大。离轴越远，其转动惯量也越大。（3）转动惯量的大小与转轴的位置有关，同）转动惯量的大小与转轴的位置有关，同一个刚体，绕不同的轴转动，其转动惯量也一个刚体，绕不同的轴转动，其转动惯量也不相同。不相同。 21例例2 2 计算一长度为计算一长度为L L，质量为，质量为m m的匀的匀质细杆的转动惯量。质细杆的转动惯量。（

12、1 1）杆绕中心垂直轴转动；）杆绕中心垂直轴转动；（2 2）杆绕一端的垂直轴转动。）杆绕一端的垂直轴转动。22四、运用转动定律解决问题的基四、运用转动定律解决问题的基本思路和步骤：本思路和步骤： 第一，一般用隔离法选取研究对象；第一，一般用隔离法选取研究对象； 第二，分析转动物体受力，分析产生力矩的第二，分析转动物体受力，分析产生力矩的外力，确定动力矩和阻力矩。分析确定刚体外力，确定动力矩和阻力矩。分析确定刚体的角加速度，根据转动定律列出具体形式的的角加速度，根据转动定律列出具体形式的动力学方程求解。动力学方程求解。 第三，如果是质点和刚体通过细绳相联系的第三，如果是质点和刚体通过细绳相联系的

13、综合问题，对刚体列出具体形式的转动定律综合问题，对刚体列出具体形式的转动定律方程，对质点运动列出具体形式的牛顿方程，方程，对质点运动列出具体形式的牛顿方程，再列出再列出 联立求解。联立求解。ra 23例例3 一力矩一力矩M作用于飞轮上，使飞轮获得作用于飞轮上，使飞轮获得角加速度角加速度 ，如果撤去力矩，如果撤去力矩M，则飞轮，则飞轮的角加速度变为的角加速度变为 ，求飞轮的转动惯，求飞轮的转动惯量。量。 1224例4 如图所示，质量为如图所示，质量为 的圆柱体可以绕通过其轴线的圆柱体可以绕通过其轴线的固定轴转动，在圆柱体上的固定轴转动，在圆柱体上绕了一根长线，线的一端系绕了一根长线，线的一端系有

14、一质量为有一质量为 的重物。的重物。当重物下落时，也拖着圆柱当重物下落时，也拖着圆柱体绕轴转动，设圆柱体与轴体绕轴转动，设圆柱体与轴之间的摩擦可以忽略不计，之间的摩擦可以忽略不计，求求 下落的加速度。下落的加速度。 1m2m2m25一、刚体绕定轴转动的动能一、刚体绕定轴转动的动能 221IEk26二、刚体定轴转动的动能定理二、刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对刚体所做的功等于刚体合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。转动动能的增量。 2022121IIA27 一、刚体定轴转动的角动量一、刚体定轴转动的角动量（1）质点对转轴的角动量）质点对转轴的角动量（2）刚体对转轴的角动量）刚体对转轴的角动量mrLIL 28二、角动量定理二、角动量定理 刚体绕定轴转动时，作用在刚体上的冲量刚体绕定轴转动时，作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。这一结论叫做角矩等于刚体角动量的增量。这一结论叫做角动量定理。动量定理。 1221IIdtMtt29三、角动量