三角形的证明复习课

1、 三角形三角形的有关证明的有关证明复习课复习课在本章中你学到了什么？在本章中你学到了什么？w角的平分线角的平分线w通过探通过探索索, ,猜想猜想, ,计算和证计算和证明得到定明得到定理理与等腰三角形与等腰三角形, ,等边三角形有关的结论等边三角形有关的结论与直角三角形有关的结论与直角三角形有关的结论w命题的逆命题及其真假命题的逆命题及其真假w线段的垂直平分线线段的垂直平分线 全等三角形全等三角形学习目标学习目标：1 1、会判定两个三角形全等、会判定两个三角形全等2 2、会用等腰三角形、等边三角形、会用等腰三角形、等边三角形直角三角形的性质和判定进行证明。直角三角形的性质和判定进行证明。3 3、

2、会用反证法证明命题的成立、会用反证法证明命题的成立. .4 4、会用线段垂直平分线、角平分线、会用线段垂直平分线、角平分线定理及其结论解决问题。定理及其结论解决问题。重点：重点：探索证明的思路和方法；探索证明的思路和方法；难点：难点：准确地表达推理证明过程。准确地表达推理证明过程。怎么证明几何怎么证明几何命题？命题？w证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤:(1)理解题意理解题意:分清命题的条件分清命题的条件(已知已知),结论结论(求证求证);(2)根据题意根据题意,画出图形画出图形;(3)结合图形结合图形,用符号语言用符号语言写出写出“已知已知”和和“求证求证”;(4)分析题意分析题意,探索证

3、明思路探索证明思路(可以可以由由“因因”导导“果果”综合法或者由综合法或者由“果果”逆推逆推“因因”分析法分析法);(5)依据思路依据思路,运用数学符号和数学语言运用数学符号和数学语言条理清晰地条理清晰地写出证明过程写出证明过程;(6)检查表达过程检查表达过程是否正确是否正确,完善完善.知识点一：全等三角形知识点一：全等三角形一般三角形一般三角形 全等的条件：全等的条件：1.1.定义（重合）法；定义（重合）法；2.SSS2.SSS；3.SAS3.SAS；4.ASA4.ASA；5.AAS.5.AAS.直角三角形直角三角形 全等全等特有特有的条件：的条件：HL.HL.包括直角三角形包括直角三角形不

4、包括其它形不包括其它形状的三角形状的三角形解题解题中常中常用的用的4 4种种方法方法分析：本题利用边角边公理证明两个三角形全分析：本题利用边角边公理证明两个三角形全等等.由题目已知只要证明由题目已知只要证明AFCE，AC例例1如图如图2，AECF，ADBC，ADCB，求证：求证： 说明：本题的解题关键是证明说明：本题的解题关键是证明AFCE，A C，易错点，易错点是将是将AE与与CF直接作为对应边，而错误地写为：直接作为对应边，而错误地写为： 又因为又因为ADBC ，（ ？ ）（ ？ ）例例2已知：如图已知：如图3，ABC A1B1C1，AD、A1D1分分别是别是ABC和和A1B1C1的高的高

5、.求证：求证：AD=A1D1图图3证明：证明：ABC A1B1C1（已知）（已知）AB=A1B1，B=B1（全等三角形的对应边、对应角相（全等三角形的对应边、对应角相等）等）AD、A1D1分别是分别是ABC、A1B1C1的高（已知）的高（已知）ADB=A1D1B1= 90. 在在ABC和和A1B1C1中中B=B1（已证）（已证）ADB=A1D1B1（已证）（已证）AB=A1B（已证）（已证）ABC A1B1C（AAS）AD=A1D1（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）全等三角形对应边上的中线角平分线呢？12、如图、如图6，已知：，已知：A90， AB=BD，EDBC于于 D.求

6、证：求证：AEED 提示：找两个全等三角形，需连结提示：找两个全等三角形，需连结BE.图图6知识点一：等腰三角形的性质定理知识点一：等腰三角形的性质定理性质性质：1、等腰三角形的、等腰三角形的 相等，即等边对相等，即等边对 2、等腰三角形的、等腰三角形的 、 、 互相重合；即互相重合；即“三线合一三线合一”3、等腰三角形两底角的平分线等腰三角形两底角的平分线 ，两腰上的中，两腰上的中 线线 ,两腰上的高两腰上的高 ；判定判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角：有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对对 。两个底角两个底角等角等角顶角平分线顶角平分线底边上的中线底边上的中线底边上的高底

7、边上的高等边等边相等相等相等相等相等相等F知识点二、等边三角形性质和判定定理知识点二、等边三角形性质和判定定理性质定理性质定理：等边三角形的等边三角形的 都相等，都相等， 都相等，并且每个角都等于都相等，并且每个角都等于 ；判定定理判定定理： 一个角等于一个角等于 的的 为等边为等边三角形。三角形。 三个内角都为三个内角都为 的三角形是等边的三角形是等边三角形。三角形。三条边三条边三个角三个角60等腰三角形等腰三角形6060ABCDEF已知：如图，在等边三角形已知：如图，在等边三角形ABC的三边上分的三边上分别取点别取点D，E，F，使得，使得AD=BF=CE.求证：求证：DEF是等边三角形。是

8、等边三角形。ABCDEF知识点三、与直角三角形有关的定理知识点三、与直角三角形有关的定理1、直角三角形的、直角三角形的 互余。互余。2、有两个锐角、有两个锐角 的三角形是直角三角形。的三角形是直角三角形。 3、在直角三角形中，如果一个锐角等于、在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于那么它所对的直角边等于 的的 ；4 、勾股定理：直角三角形、勾股定理：直角三角形 的平方和等的平方和等于于 的平方。的平方。5、 和和 对应相等的两个直角三角对应相等的两个直角三角形全等。形全等。( ) 6、勾股定理的逆定理：、勾股定理的逆定理： 两锐角两锐角互余互余斜边斜边一半一半斜边斜边一直

9、角边一直角边HL两条两条直角边直角边斜边斜边如果三角形两边的平方和如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。这个三角形是直角三角形。1、如下图,在 ABC中， ACB=900， A=300，CD AB于点D,试着推导出BD与AD的数量关系。ABCD2、如图，已知ACB=BDA=900,要使ACB BDA，还需要添加什么条件？请你选择其中的一个加以证明。知识点四、反证法知识点四、反证法反证法的步骤是什么？反证法的步骤是什么？第一步是假设命题结论不成立；第一步是假设命题结论不成立；第二步是推导，从假设出发，经过推理第二步是推导，从假设出发，经过推理得

10、出与定义、基本事实、已有的定理或得出与定义、基本事实、已有的定理或者已知条件相矛盾的结果。者已知条件相矛盾的结果。第三步是下结论，得出假设命题不成立第三步是下结论，得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立。是错误的，即所求证命题成立。 求证：等腰三角形的底角必为锐角。求证：等腰三角形的底角必为锐角。A已知：ABC中，AB=AC。求证：B. C均为锐角BC 我思考我思考, ,我进步我进步w定理定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等距离相等. .wAC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任上任意一点意一点( (已知已知)

11、,),wPA=PB(PA=PB(线段垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离的点到这条线段两个端点距离相等相等).).ACBPMNw逆定理逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点, ,在这条在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上. .w如上图如上图, ,wPA=PB(PA=PB(已知已知),),w点点P P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上( (到一条线段两个端点距到一条线段两个端点距离相等的点离相等的点, ,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上).).知识点五：线段垂直平分线定理定理: :三角形三条边的垂直平分线相交于一点三角形

12、三条边的垂直平分线相交于一点, ,并并且这一点到三个顶点的距离相等且这一点到三个顶点的距离相等. .如图如图, ,在在ABCABC中中, ,c,a,bc,a,b分别是分别是AB,BC,ACAB,BC,AC的垂直平的垂直平分线分线, ,c,a,bc,a,b相交于一点相交于一点P,P,且且PA=PB=PC(PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平三角形三条边的垂直平分线相交于一点分线相交于一点, ,并且这一点到三并且这一点到三个顶点的距离相等个顶点的距离相等).). A AB BC CP Pa ab bc c2.2.如图如图, ,在在ABCABC中中, ,已知已知AC=27,ABAC=27,AB的垂

13、直平的垂直平分线交分线交ABAB于点于点D,D,交交ACAC于点于点E,E,BCEBCE的周长等的周长等于于50,50,求求BCBC的长的长. . BAEDC3.3.如图所示，在如图所示，在ABCABC中，中，B B22.522.5,AB,AB的垂直平的垂直平分线交分线交BCBC于点于点D D，DFACDFAC于点于点F,F,并与并与BCBC边上的高边上的高AEAE交交于于G. G. 求证：求证：EGEGEC. EC. 1如图如图S11，在，在ABC中，中，DE垂垂直平分直平分AC交交AB于于E，A30，ACB80，则，则BCE_.5050 知识点六：角平分线w定理：角平分线上的点到这个角的两

14、边距离相等. OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E. PD=PE.OCB1A2PDEw逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.w如图,wPA=PB, PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知),w点P在AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).如图,AN,CM,BO分别是ABC的角平分线PDAB,PEBC,PFAC,AN,BO,CM交于P点, PD=PE=PF.1、如图、如图S18，ADBC，点，点E在线段在线段AB上，上，ADECDE，DCEECB.求证：求证：CDADBC.图S18解析解析 结论是结论是CDADBC，可考，可考虑用虑用“截长补短法截长补短法”中的中的“截长截长”，即，即在在CD上截取上截取CFCB，只要再证，只要再证DFDA即可，这就转化为证明两线段相等即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的的问题，从而达到简化问题的目的图图S19证明：在证明：在CD上截取上截取CFBC，如图，如图S19，在在FCE与与BCE中，中，FCE BCE(SAS)，21.ADBC，ADC+BCD180.又又ADECDE，DCECDE90，2390，1490，34.在在FDE与与ADE中，中，FDE ADE(ASA)，DFDA.CD