第九讲--求代数方程的近似根(解)

1、求代数方程的近似根(解)数学实验q 问题背景和实验目的u 解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免的问题之一。u 目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如果在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则可以认为求解问题已基本解决，至少可以满足实际需要。u 本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：对分法，迭代法 和 牛顿法。同时要求大家学会如何利用Matlab 来求方程的近似解。相关概念相关概念0( )f x u 如果如果 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为是一次多项式，称上面的方程为线性方线性方程程；否则称之为；否则称之为非线性方程非线性方程。q 线性方

2、程线性方程 与与 非线性方程非线性方程q 基本思想基本思想对分法对分法将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后再将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。q 适用范围适用范围求有根区间内的求有根区间内的 单根单根 或或 奇重实根奇重实根。q 数学原理：数学原理：介值定理介值定理设设 f(x) 在在 a, b 上连续，且上连续，且 f(a) f(b)0，则由介值定，则由介值定理可得，在理可得，在 (a, b) 内至少存在一点内至少存在一点 使得使得 f( )=0。q 具体步骤具体步骤对分法对分

3、法设方程在区间设方程在区间 a,b 内连续，且内连续，且 f(a)f(b)0，给定，给定精度要求精度要求 ，若有，若有 |f(x)| ，则则 x 就是我们所需要就是我们所需要的的 f(x) 在区间在区间 (a,b) 内的内的 近似根近似根。；，计算令)( 2/ )( ) 1 (00 xfbax；输出结果停止计算，的近似根，就是我们所要，则若000 | )(| )2(xxxxf；否则令，令若bbxaxbaaxfaf1010110, ;, 0)()( )3(；输出结果，则停止计算，若令11111 | )(|, 2/ )( )4(xxxfbax；否则令，令若1212121211, ;, 0)()(

4、bbxaxbaaxfaf. .q 收敛性分析收敛性分析对分法收敛性对分法收敛性=11111 11|()()()22 22kkkkkkxbababa 设方程的根为设方程的根为 x* (ak , bk ) ，又，又 ，所以，所以2kkkabx 0(k )对分法总是收敛的对分法总是收敛的u 但对分法的收敛速度但对分法的收敛速度较慢较慢u 通常用来试探实根的通常用来试探实根的分布区间分布区间， 或给出根的一个较为或给出根的一个较为粗糙的近似粗糙的近似。根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的区间序列区间序列 ak , bk ，在，在 (ak , bk

5、 ) 中含有方程的根。中含有方程的根。迭代法迭代法q 基本思想基本思想u 构造构造 f (x) = 0 的一个等价方程：的一个等价方程： ( )xx u 从某个近似根从某个近似根 x0 出发，计算出发，计算得到一个迭代序列得到一个迭代序列 0kkx 1()kkxx k = 0, 1, 2, . . (x) 的不动点的不动点f (x) = 0 x = (x)等价变换等价变换f (x) 的零点的零点u 若若 收敛，即收敛，即 ，假设，假设 (x) 连续，则连续，则q 收敛性分析收敛性分析迭代法的收敛性迭代法的收敛性 1limlim ()limkkkkkkxxx lim*kkxx *x( *)x k

6、x*( *)xx ( *)0f x 即即注：若得到的点列发散，则迭代法失效！注：若得到的点列发散，则迭代法失效！q 定义：定义：迭代法收敛性判断迭代法收敛性判断q 定理定理 2：如果定理如果定理 1 的条件成立，则有如下估计的条件成立，则有如下估计10|* |1kkqxxxxq 11|* |1kkkxxxxq 如果存在如果存在 x* 的的某个某个 邻域邻域 =(x*- , x* + ), 使使得对得对 x0 开始的迭代开始的迭代 xk+1 = (xk) 都收敛都收敛, 则称该迭代法在则称该迭代法在 x* 附近附近局部收敛局部收敛。q 定理定理 1：设设 x* = (x*)，的的某个某个 邻域邻

7、域 内连续，且对内连续，且对 x 都有都有 | (x)| q 1, 则对则对 x0 ，由由迭迭代代 xk+1 = (xk) 得到的点列都收敛。得到的点列都收敛。迭代法收敛性判断迭代法收敛性判断10|* |1kkqxxxxq q 定理定理 3：已知方程已知方程 x = (x)，且且(1) 对对 x a, b，有有 (x) a, b；对对 x a, b，有有| (x)| q p=2,-1,0,3; q=2,1; k=conv(p,q); q 多项式除法运算：多项式除法运算：k,r = deconv(p,q)其中其中 k 返回的是多项式返回的是多项式 p 除以除以 q 的商的商，r 是余式是余式。k

8、,r=deconv(p,q)p=conv(q,k)+r多项式的多项式的求求导导q polyderk=polyder(p) : 多项式多项式 p 的导数；的导数；k=polyder(p,q): p*q 的导数；的导数；k,d=polyder(p,q): p/q 的导数，的导数，k 是分子，是分子，d 是分母是分母 k1=polyder(2,-1,0,3); k2=polyder(2,-1,0,3,2,1); k2,d=polyder(2,-1,0,3,2,1);例：已知例：已知 ， ， 求求32)(23xxxp12)( xxq)/( ,)( , qpqpp多项式的多项式的值值q 计算计算多项式多

9、项式在给定点的值在给定点的值u 代数多项式代数多项式求值求值y = polyval(p,x): 计算多项式计算多项式 p 在在 x 点的值点的值注：若注：若 x 是向量或矩阵，则采用是向量或矩阵，则采用数组运算数组运算 (点运算点运算)！ p=2,-1,0,3; x=2; y=polyval(p,x) x=-1, 2;-2,1; y=polyval(p,x)例：已知例：已知 ，分别取，分别取 x=2 和一个和一个 2 2 矩阵，矩阵， 求求 p(x) 在在 x 处的值处的值32)(23xxxp多项式的多项式的值值u 矩阵多项式矩阵多项式求值求值Y=polyvalm(p,X)l 采用的是普通矩阵

10、运算采用的是普通矩阵运算l X 必须是方阵必须是方阵例：已知例：已知 ，则，则32)(23xxxppolyvalm(p,A) = 2*A*A*A - A*A + 3*eye(size(A) polyval(P,A) = 2*A.*A.*A - A.*A + 3*ones(size(A) p=2,-1,0,3; x=-1, 2;-2,1;polyval(p,x) polyvalm(p,x)多项式的多项式的零点零点x=roots(p)：若若 p 是是 n 次多项式，则输出次多项式，则输出是是 p=0 的的 n 个根组成的个根组成的 n 维向量。维向量。)()()(21nxxxxxxxp若已知多项式

11、的全部零点，则可用若已知多项式的全部零点，则可用 poly 函数给出该多项式函数给出该多项式p=poly() p=2,-1,0,3; x=roots(p)例：已知例：已知 ，求，求 p(x) 的零点。的零点。32)(23xxxp poly2sym(p,x) k = conv(p,q)k,r = deconv(p,q) k = polyder(p) k = polyder(p,q)k,d = polyder(p,q) y = polyval(p,x) Y = polyvalm(p,X) x = roots(p)多项式多项式运算运算小结小结多项式运算中，多项式运算中，使用的是多项式使用的是多项式

12、系数向量，不涉及符号计算！不涉及符号计算！线性方程组求解线性方程组求解q 线性方程组求解线性方程组求解linsolve(A,b)：解线性方程组解线性方程组 bAx 例：解方程组例：解方程组 A=1 2 1; 1 0 1; 1 3 0; b=2;3;8; x=linsolve(A,b)22338xyzxzxy b是列向量！是列向量！非线性方程的非线性方程的根根q Matlab 非线性方程的数值求解非线性方程的数值求解fzero(f,x0)：求方程求方程 f=0 在在 x0 附近的根。附近的根。l 方程可能有多个根，但方程可能有多个根，但 fzero 只给出距离只给出距离 x0 最近的一个最近的一

13、个l fzero 先找出一个包含先找出一个包含 x0 的区间，使得的区间，使得 f 在这个区间在这个区间两个端点上的函数值异号，然后再在这个区间内寻找方程两个端点上的函数值异号，然后再在这个区间内寻找方程 f=0 的根；如果找不到这样的区间，则返回的根；如果找不到这样的区间，则返回 NaN。l x0 是一个标量，不能缺省是一个标量，不能缺省l 由于由于 fzero 是根据函数是否穿越横轴来决定零点，因是根据函数是否穿越横轴来决定零点，因此它无法确定函数曲线仅触及横轴但不穿越的零点，如此它无法确定函数曲线仅触及横轴但不穿越的零点，如 |sin(x)| 的所有零点。的所有零点。非线性方程的非线性方

14、程的根根q fzero 的另外一种调用方式的另外一种调用方式fzero(f,a,b)l 方程在方程在 a,b 内可能有多个根，但内可能有多个根，但 fzero 只给出一个只给出一个l 求方程求方程 f=0 在在 a,b 区间内区间内的根。的根。q 参数参数 f 可通过以下方式给出：可通过以下方式给出：l fzero(x3-3*x+1,2); l f=inline(x3-3*x+1); fzero(f,2)l fzero(x)x3-3*x+1,2);l f 不是方程！也不能使用符号表达式！不是方程！也不能使用符号表达式！例：例： fzero(sin(x),10) fzero(sin,10) fz

15、ero(x3-3*x+1,1) fzero(x3-3*x+1,1,2) fzero(x3-3*x+1=0,1)X fzero(x3-3*x+1,-2,0) f=inline(x3-3*x+1); fzero(f,-2,0)注意：注意：fzero只能求解单变量的方程，没法求解复数、只能求解单变量的方程，没法求解复数、多变量以及方程组等。多变量以及方程组等。在搜索过程中出现在搜索过程中出现inf,nan,复数将会终止计算，复数将会终止计算，就是不能求解复数解，并且每次子返回一个解就是不能求解复数解，并且每次子返回一个解 Matlab 符号方程求解符号方程求解器器s=solve(f,v)：求方程关于

16、指定自变量的解；求方程关于指定自变量的解；s=solve(f)：求方程关于求方程关于默认自变量默认自变量的解。的解。l f 可以是用字符串表示的可以是用字符串表示的方程方程，或符号，或符号表达式表达式；l 若若 f 中不含等号，则表示解方程中不含等号，则表示解方程 f=0。q solve例：解方程例：解方程 x3-3*x+1=0 syms x; f=x3-3*x+1; s=solve(f,x) s=solve(x3-3*x+1,x) s=solve(x3-3*x+1=0,x)Matlab 符号方程求解符号方程求解器器q solve 也可以用来解方程组也可以用来解方程组solve( f1 , f

17、2 , . , fN , v1 , v2 , . , vN)求解由求解由 f1 , f2 , . , fN 确定的方程组关于确定的方程组关于 v1 , v2 , . , vN 的解的解例：解方程组例：解方程组 x,y,z=solve(x+2*y-z=27,x+z=3, . x2+3*y2=28,x,y,z)222273 328 xyzxzxy 输出变量的顺序要书写正确！输出变量的顺序要书写正确！例：解方程组例：解方程组 关于关于y,z的解的解y,z=solve(u*y2+v*z+w=0,y+z+w=0,y,z )S=solve(u*y2+v*z+w=0,y+z+w=0,y,z )disp(S.

18、y),disp(S.y),disp(S.z),disp(S.z)200uyvzwyzw solve 在得不到解析解时，会给出数值解。在得不到解析解时，会给出数值解。例：解方程组例：解方程组 x,y,z=solve(x+2*y-z=27,x+z=3, . x5+3*y2=28,x,y,z)522273 328 xyzxzxy x,fval,flag,out=fsolve(fun,x0,options)：参数大部分与参数大部分与fzero相同，优化参数更多，更灵活。相同，优化参数更多，更灵活。注意注意x0的长度必须与变量的个数相等。的长度必须与变量的个数相等。它与它与fzero的区别是，算法不同，的区别是，算法不同，fsolve的功能强大多很多，它可的功能强大多很多，它可以直接方便的求解多变量方程组，线性和非线性等，甚至求解复以直接方便的求解多变量方程组，线性和非线性等，甚至求解复数方程。数方程。fun同样可以是句柄、同样可以是句柄、inline函数或函数或M文件，但是一般文件，但是一般M文件比较文件比较多，这是由于多，这是由于fsolve是解方程组的，目标函数一般比较烦，直接是解方程组的，目标函数一般比较烦，直接写比较困难写比较困难q fsolve一般非线性方程数值解例：解方程组例：解