海伦公式的推广

1、海伦公式的几种另证及其推广2002级3班 欧锦峰关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为ABC外接圆、内切圆的半径，p =(a+b+c),那么SABC =aha=ab×sinC = r p = 2R2sinAsinBsinC = =其中，SABC =就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作?测地术?中有记载。海伦公式在解题中有十分重要的应用。一、 海伦公式的变形S= = = = = = 二、 海伦公式的证明证一 勾股定理分析：先从三角形最根本的计算公式SABC =aha入手，运用勾股定理推导出海伦公

2、式。证明：如图haBC，根据勾股定理，得: x = y = ha = SABC =aha=a×= 此时SABC为变形，故得证。 证二：斯氏定理 分析：在证一的根底上运用斯氏定理直接求出ha。 斯氏定理:ABC边BC上任取一点D， 假设BD=u，DC=v,AD=t.那么 t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ha 2 = t 2 = SABC =aha =a × = 此时为SABC的变形，故得证。 证三：余弦定理 分析：由变形 S =可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 2abcosC 对其进行证明。 证明：要证明S = 那么要证S = = =ab×

3、sinC此时S =ab×sinC为三角形计算公式，故得证。证四：恒等式分析：考虑运用SABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。恒等式：假设A+B+C =180那么 tg· tg+ tg· tg+ tg· tg= 1证明：如图，tg = tg = tg = 根据恒等式，得： + + = 代入，得： r2(x+y+z) = xyz 如图可知：abc = (x+z)(x+y)(z+y) = 2x x = 同理：y = z = 代入 ，得： r 2 ·= 两边同乘以，得： r 2 ·= 两边开方，得： r &

4、#183;= 左边r ·= r·p= SABC 右边为海伦公式变形，故得证。证五：半角定理半角定理：tg= tg= tg= 证明：根据tg= r =× y 同理r =× z r =× x ××,得： r3 =×xyz 由证一，x =c = pcy =a = paz =b = pb r3 = r = SABC = r·p = 故得证。三、 海伦公式的推广由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜测海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=

5、,那么S四边形=现根据猜测进行证明。证明：如图，延长DA，CB交于点E。 设EA = e EB = f1+2 =180 2+3 =1801 =3 EABECD= =解得： e = f = 由于S四边形ABCD =SEAB将，跟b =代入公式变形，得：S四边形ABCD =所以，海伦公式的推广得证。四、 海伦公式的推广的应用海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD =,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求：四边形可能为等腰梯形。解：设BC = x 由海伦公式的推广，得：= (4x)(2x)2 =27 x412x216x27 = 0 x2(x21)11x(x1)27(x1) = 0