高数数学D128一般周期ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第八节第八节普通周期的函数的傅里叶级数普通周期的函数的傅里叶级数 一、周期为一、周期为2 l 的周期函数的的周期函数的傅里叶级数傅里叶级数 第十二章 目录 上页 下页 返回 结束 一、周期为一、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数的周期函数的傅里叶级数周期为 2l 的函数 f (x)周期为 2 的函数 F(z)变量代换lxz将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式目录 上页 下页 返回 结束 狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内延续或只需有限个第一类延续点2) 在一个周期内只需有限个极值点naxlxnxflbllndsin

2、)(1l1xlxnxflldcos)(),2, 1,0(n),2, 1(n设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,那么它的傅里叶级数展开式为10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在 f (x) 的延续点处)其中定理定理.目录 上页 下页 返回 结束 证明证明: 令令lxz, 那么,llx,z令)(zF, )(z lf那么)2()2(zlfzF)2(lzlf)(zlf)(zF所以)(zF且它满足收敛定理条件,将它展成傅里叶级数:10sincos2)(nnnznbznaazF( 在 F(z) 的延续点处 )(xf变成是以2 为周期的周期函数, 目录 上页 下页 返回 结

3、束 zznzFandcos)(1其中zznzFbndsin)(1令lxzlan1xlxnxflbllndsin)(1lxnblxnaaxfnnnsincos2)(10),2, 1,0(n),3,2, 1(n),2, 1,0(n),3,2, 1(n( 在 f (x) 的 延续点处 )xlxnxflldcos)(证毕 目录 上页 下页 返回 结束 阐明阐明:1)(nnbxf),2, 1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在 f (x) 的延续点处)lxnsinl20l假设 f (x) 为偶函数, 那么有(在 f (x) 的延续点处)2)(0axf),2, 1,0(dcos)(nxlxnxfan其

4、中1nnalxncos注注: 无论哪种情况无论哪种情况 ,).()(21xfxf在 f (x) 的延续点 x 处, 傅里叶级数都收敛于l20l假设 f (x) 为奇函数, 那么有 目录 上页 下页 返回 结束 )(tftO0d) 1sin() 1sin(ttntn例例1. 交流电压交流电压tEtEsin)(经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解解: 这个半波整流函数这个半波整流函数2,它在)(tfna0dcossinttntE,sintE,0傅里叶级数.,上的表达式为0t0 t2E的周期是22目录 上页 下页 返回 结束 000d2sintt21Ea tE2cos212时1n0d) 1si

5、n() 1sin(ttntn2Eantnn) 1cos() 1(12E0tnn) 1cos() 1(1111) 1(111) 1(21nnnnEnn) 1(1) 1(21nEn32 ,0 kn,)41 (22kE), 1,0(kkn2目录 上页 下页 返回 结束 tttEbdsinsin01ttntnEd) 1cos() 1cos(20) 1() 1sin(2ntnEbn0) 1() 1sin(0ntnttntEbndsinsin0ttEd)2cos1 (20022sin2ttE2En 1 时目录 上页 下页 返回 结束 由于半波整流函数 f ( t ),),(上连续在)(EtftEsin2t

6、kkEk2cos411212)(t直流部分阐明阐明:交流部分由收收敛定理可得2 k 次谐波的振幅为,14122kEAk k 越大振幅越小,因此在实践运用中展开式取前几项就足以逼近 f (x)了.上述级数可分解为直流部分与交流部分的和. )(tftO22目录 上页 下页 返回 结束 Oyx2例例2. 把把展开成)20()(xxxf(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.解解: (1) 将将 f (x) 作奇周期延拓作奇周期延拓, 那么那么有有),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2s

7、in) 1(1xnnn)20( x在 x = 2 k 处级数收敛于何值?目录 上页 下页 返回 结束 O 2yx(2) 将 作偶周期延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1) 1(422nnxxf)(200d22xxa2kn2,0,) 12(822k),2, 1(k那么有1222) 12(cos) 12(181kxkk)20( x12 kn目录 上页 下页 返回 结束 O 2yx阐明阐明: 此式对此式对0 x也成立,8) 12(1212kk由此还可导出121nn8212141nn61212nn12)2(1kk1222) 12(

8、cos) 12(181)(kxkkxxf)20( x12) 12(1kk据此有目录 上页 下页 返回 结束 当函数定义在恣意有限区间上时,方法方法1, , )(baxxf令,2abzx即2abxzzabzfxfzF, )2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里叶级数)(zF周期延拓将2abxz)(xf在,ba代入展开式上的傅里叶级数 其展开方法为:xab2ba目录 上页 下页 返回 结束 方法方法2, , )(baxxf令,azxzazfxfzF, )()()(ab,0在ab,0上展成正弦或余弦级数)(zF奇或偶式周期延拓将 代入展开式axz)(xf在,ba即axz上的正弦或余弦级

9、数 xab目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 将函数将函数)155(10)(xxxf展成傅里叶级数.解解: 令令,10 xz设)55( )10()()(zzzfxfzF将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 理条件.由于F(z) 是奇函数, 故),2, 1,0(0nan5052zbnzznd5sinnn10) 1(),2,1(n那么它满足收敛定5sin) 1(10)(1znnzFnn)55(z5sin) 1(10101xnnxnn)155( x)(zFz55O目录 上页 下页 返回 结束 利用欧拉公式二、傅里叶级数的复数方式二、傅里叶级数的复数方式设 f (x)是周期为 2 l 的周

10、期函数 , 那么lxnblxnaaxfnnnsincos2)(1021coslxnlxnlxniiee2isinlxnlxnlxniiee1022)(nnaaxflxnlxniiee2inblxnlxniiee102i2nnnbaa2innba lxnielxnie0cncnc目录 上页 下页 返回 结束 llxfl)(21llxxfld)(21200ac llxlxnxfldcos)(1212innnbacllxlxnxfldsin)(illxlxnlxnxfldsinicos)(21llxfl)(21),2, 1(dnxlxnie留意到2innnbacxd同理),2, 1(nlxnie目录

11、 上页 下页 返回 结束 傅里叶级数的复数方式:xxflcTxnllnde)(212iTxnnncxf2ie)(),2, 1,0(n因此得目录 上页 下页 返回 结束 式的傅里叶级数 . 例例4. 把宽为把宽为 ,高为高为 h ,周期为周期为 T 的矩形波展成复数的矩形波展成复数形形解解: 在一个周期在一个周期,22TT)(tu它的复数方式的傅里叶系数为 2 2d1thTTh内矩形波的函数表达式为 022d)(1TTttuTc22,th2222,0TTtt22Tyx22ThO目录 上页 下页 返回 结束 ttuTTtnTTde)(12i2 2nc2 22ide1thTTtnTnnhsin),2

12、,1(nThtu)(hTtnnTnn2iesin10n), 1,0,2(kTkt i2nTThi21nhTtn2ie22TnTniiee目录 上页 下页 返回 结束 为正弦 级数. 内容小结内容小结1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式)(xf20alxnblxnannnsincos1(x 延续点)其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n当f (x)为奇 函数时,(偶)(余弦)2. 在恣意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓3. 傅里叶级数的复数方式利用欧拉公式导出目录 上页 下页 返回 结束 思索与练习思索与练习1. 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?答答: 易看出奇偶性及延续点易看出奇偶性及延续点, 2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ?答答: 用系数公式计算用系数公式计算如分母中出现因子 nk作业作业: P319 1 (1) , : P319 1 (1) , (3) ; 2 (2) ; (3) ; 2 (2) ; * *3 3 从而便于计算系数和写出收敛域 .,时nnbakkba 或则必需单独计算.习题课 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题) 11(2)(xxxf将期的傅立叶级数, 并由此求级数121nn(1991 考研) 解解:y1Ox12)(xf为偶函数,0nb1