高中导数及其应用

1、教育教师备课手册教师姓名 学生姓名 填写时间 学科数学 年级高三 上课时间 10:00-12:00课时计划2小时 教学目标教学内容中考复习 三角形个性化学习问题解决基础知识回顾，典型例题分析教学重点、难点教学过程 导数及其运用知识网络导数的概念基本初等函数的导数公式导数函数的单调性研究的的的函数的极值与最值研究导数的定义导数的物理及几何意义意义导数的运算导数的四则运算法则及复合函数的导数导数的应用最优化问题计算定积分的的的定积分与微积分的基本定理定积分的应用第1讲 导数的概念及运算 知 识 梳理 1.用定义求函数的导数的步骤.（1）求函数的改变量y；（2）求平均变化率.（3）取极限，得导数（x

2、0）=.2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线的 物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0）处导数的意义是t=t0处的 解析：斜率.；瞬时速度.3. 几种常见函数的导数（为常数）；（）； ； ； ； ；. 解析：4.运算法则求导数的四则运算法则：； ； .解析：； 复合函数的求导法则：或 重 难 点 突 破 1.重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法2.难点：切线方程的求法及复合函数求导3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题.（1）平

3、均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。问题1.比较函数与,当时,平均增长率的大小.点拨:解题规律技巧妙法总结: 计算函数的平均增长率的基本步骤是(1)计算自变量的改变量(2)计算对应函数值的改变量(3)计算平均增长率: 对于,又对于,故当时, 的平均增长率大于的平均增长率.（2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则,问题2. 已知,则 .点拨：复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:.设,则. （3）求切线方程时已知点是否切点至关重要。问题3. 求在点和处的切线方程。点拨：点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值

4、；点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线切忌直接将，看作曲线上的点用导数求解。即过点的切线的斜率为4，故切线为：设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又，故，。即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为： 热 点 考 点 题 型 探 析考点1: 导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值例1 设函数在处可导，则等于 A B C D【解题思路】由定义直接计算解析.故选【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式考点2.求曲线的切线方程例2(高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则= .【解题思路】区分过曲线处的切线与过点的切线的不同，

5、后者的点不一定在曲线上. 解析:观察图形,设,过P点的切线方程为即它与重合,比较系数知:故=2【名师指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标题型3.求计算连续函数在点处的瞬时变化率例3一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10 s内其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的加速度.【解题思路】计算连续函数在点处的瞬时变化率实际上就是在点处的导数.解析：加速度v= (10+t)=10 m/s.加速度v=2t=25=10 m/s.【名师指引】计算连续函数在点处的瞬时变化率的基本步骤是1. 计算2. 计算【新题导

6、练】.1. 曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 .解析：曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=x+2和y=2x1，它们与轴所围成的三角形的面积是.点拨:与切线有关的问题,应有运用导数的意识,求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可.2. 某质点的运动方程是，则在t=1s时的瞬时速度为（ ）A1B3C7D13解:B 点拨:计算即可3. 已知曲线C1:y=x2与C2:y=(x2)2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程.解：设l与C1相切于点P(x1,x12),与C2相切于Q(x2,(x22)2)对于C1：y=2x,则与C1相切于点P的切线方程为yx12=2

7、x1(xx1),即y=2x1xx12对于C2：y=2(x2),与C2相切于点Q的切线方程为y+(x22)2=2(x22)(xx2),即y=2(x22)x+x224两切线重合，2x1=2(x22)且x12=x224,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0直线l方程为y=0或y=4x4点拨:利用解方程组求交点,利用直线间的位置和待定系数法求斜率.考点2 导数的运算题型1:求导运算例1 求下列函数的导数：（1） （2） （3）【解题思路】按运算法则进行解析 （1）（2）（3）【名师指引】 注意复合函数的求导方法（分解求导回代）；注意问题的变通：如的导数容易求错，但的导数不易求错.题型2:求导运算

8、后求切线方程例2. (广州市2008届二月月考)已知函数（1）若，点P为曲线上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；（2）若函数上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.【解题思路】先按运算法则求导,再按几何意义求切线方程.解析：（1）设切线的斜率为k，则 又，所以所求切线的方程为： 即【名师指引】求三次函数图象的切线在高考中经常出现.与曲线相切于P处的切线方程是（ D ）A B C D 题型3:求导运算后的小应用题例3. 某市在一次降雨过程中,降雨量与时间的函数关系可近似地表示为,则在时刻的降雨强度为( )A. B. C. D. 【解题思路】先对的求导,再代的数值.解析:

9、选D【名师指引】求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率,即那一时刻的导数值.【新题导练】.4. 设函数，且，则 A0 B-1 C3 D-6思路分析: 按导数乘积运算法则先求导,然后由已知条件构造关于的方程求解.解 : +故 又,故5. 设函数，（、 是两两不等的常数），则 解析:代入即得0.6. 质量为的物体按的规律作直线运动,动能,则物体在运动后的动能是 解析:先求瞬时速度后,再代入公式求解提3125J基础巩固训练1. (广东省六校2009届高三第二次联考试卷)是的导函数，则的值是 解析: 故=32. (广东省2008届六校第二次联考)在处的导数值是_. 解析：故填3. 已知直线x+2y4=0

10、与抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧上求一点P，当PAB面积最大时，P点坐标为 .解析：|AB|为定值，PAB面积最大，只要P到AB的距离最大，只要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点，设P（x,y）.由图可知，点P在x轴下方的图象上y=2,y=,kAB=,x=4,代入y2=4x(y0)得y=4. P(4,4)4.(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)已知，（），直线与函数、的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1求直线的方程及的值；解：依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率，所以直线的方程为又因为直线与的图像相切，所以由，得（不合题意，舍去）；

11、5.(湛江市实验中学2009届高三第四次月考)已知函数的图象都相切，且l与函数图象的切点的横坐标为1,求直线l的方程及a的值；解由，故直线l的斜率为1，切点为即（1，0） 又 即 比较和的系数得 综合拔高训练6. 对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”。现已知,请解答下列问题:（1）求函数的“拐点”A的坐标;（2）求证的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）.解析（1），.令得 ， .拐点（2）设是图象上任意一点，则，因为关于的对称点为，把代入得左边,右边右边=右边在图象上关于A对称7.已知定

12、义在正实数集上的函数，其中。设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同。（1）若，求的值；（2）用表示，并求的最大值。解：（1）设与在公共点处的切线相同由题意知，由得，或（舍去）即有（2）设与在公共点处的切线相同由题意知，由得，或（舍去）即有令，则，于是当，即时，；当，即时，故在的最大值为，故的最大值为8. 设三次函数在处取得极值，其图象在处的切线的斜率为。求证：；解：()方法一、 .由题设，得 ，。由代入得，得或 将代入中，得 由、得；方法二、同上可得：将（1）变为：代入（2）可得：，所以，则方法三：同上可得：将（1）变为：代入（2）可得：，显然，所以因为图象的开口向下，且有一根为x1=1由韦

13、达定理得,所以，即，则，由得：所以：第2讲 导数在研究函数中的应用 知 识 梳理 1. 函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内 ；如果，那么函数在这个区间内 .解析：单调递增；单调递减2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的 ，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是 解析：极大值点；极小值.3解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f(x) .(2)求方程f(x)=0的根.(3)

14、用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.4求函数最值的步骤：（1）求出在上的极值.（2）求出端点函数值.（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值. 重 难 点 突 破 1.重点：熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路，熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值的方法2.难点：与参数相关单调性和极值最值问题3.重难点：借助导数研究函数与不等式的综合问题（1）在求可导函数的极值时，

15、应注意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。问题1. 设，令，讨论在内的单调性并求极值；点拨:根据求导法则有，故，于是，2减极小值增列表如下：故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值（2）借助导数处理函数的单调性，进而研究不等关系关键在于构造函数.问题2.已知函数是上的可导函数，若在时恒成立.（1）求证：函数在上是增函数；（2）求证：当时，有. 点拨:由转化为为增函数是解答本题关键.类似由转化为为增函数等思考问题的方法是我们必须学会的.（1）由得因为，所以在时恒成立，所以函数在上是增函数.（2）由（1）知函数在上是增函数，所以当时，有成立，从而两式相加得 热 点 考 点

16、 题 型 探 析考点1: 导数与函数的单调性题型1.讨论函数的单调性例1(08广东高考)设，函数，试讨论函数的单调性【解题思路】先求导再解和【解析】 对于，当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数；对于，当时，函数在上是减函数；当时，函数在上是减函数，在上是增函数。【名师指引】解题规律技巧妙法总结: 求函数单调区间的一般步骤.（1） 求函数的导数（2）令解不等式，得的范围就是单调增区间;令解不等式，得的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论.误区警示求函数单调区间时，容易忽视定义域，如求函数的单调增区间，错误率高，请你一试，该题正确答案为.题型2.由单调性求参数的值或取

17、值范围例2: 若在区间1,1上单调递增，求的取值范围.【解题思路】解这类题时,通常令(函数在区间上递增)或(函数在区间上递减),得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.解析：又在区间1,1上单调递增在1,1上恒成立 即在1,1的最大值为 故的取值范围为【名师指引】:本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系,要特别注意导数值等于零的用法.题型3.借助单调性处理不等关系例3. 当，求证【解题思路】先移项,再证左边恒大于0解析：设函数当时， ，故在递增，当时，,又，即，故【名师指引】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性来证明【新题导练】.1. 若函数

18、f(x)=x3ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是A.a3 B.a=2C.a3D.0a0恒成立，y=x3+x在(,+)上为增函数，没有减区间.答案：A3. 已知函数,设（）求函数的单调区间；（）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；解析：（I），由，在上单调递增。 由，在上单调递减。的单调递减区间为，单调递增区间为。（II），恒成立当时，取得最大值。，考点2: 导数与函数的极值和最大(小)值.题型1.利用导数求函数的极值和最大(小)值例1. 若函数在处取得极值,则 .【解题思路】若在附近的左侧，右侧，且,那么是的极大值；若在附近的左侧，右侧，且,那么

19、是的极小值.解析因为可导,且,所以,解得.经验证当时, 函数在处取得极大值.【名师指引】 若是可导函数，注意是为函数极值点的必要条件.要确定极值点还需在左右判断单调性.例2（2008深圳南中）设函数（），其中，求函数的极大值和极小值【解题思路】先求驻点，再列表判断极值求出极值。解析：.，令，解得或由于，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且【名师指引】求极值问题严格按解题步骤进行。例3. (广东省深圳外国语学校2009届高三上学期第二次统测)已知函数.（）求的最小值；（）若对所有都有，求实数的取值范围.【解题思路】先求极值再求端点值,比较求出最大(小)值.

20、当区间只有一个极大(小)值时,该值就是最大(小)值解析：的定义域为， 1分 的导数. 3分令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增. 5分所以，当时，取得最小值. 6分（）解法一：令，则， 8分 若，当时，故在上为增函数，所以，时，即. 10分 若，方程的根为 ，此时，若，则，故在该区间为减函数.所以时，即，与题设相矛盾. 13分综上，满足条件的的取值范围是. 14分解法二：依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立 . 8分令， 则. 10分当时，因为， 故是上的增函数， 所以 的最小值是， 13分所以的取值范围是. 14分【名师指引】求函数在闭区间上的最大值（或最小值）的步骤：求在内的

21、极大（小）值，将极大（小）值与端点处的函数值进行比较，其中较大者的一个是最大者，较小的一个是最小者题型2.已知函数的极值和最大(小)值，求参数的值或取值范围。例3（广东省六校2009届高三第二次联考）已知函数图像上的点处的切线方程为（1）若函数在时有极值，求的表达式（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围【解题思路】求函数的解析式一般用待定系法法，求参数的取值范围一般需建立关于参数的不等式（组）解析：， -2分因为函数在处的切线斜率为-3，所以，即，-3分又得。-4分（1）函数在时有极值，所以，-5分解得，-7分所以-8分（2）因为函数在区间上单调递增，所以导函数在区间上的值恒大于或等于零

22、，-10分则得，所以实数的取值范围为-14分【名师指引】已知在处有极值，等价于。【新题导练】4在区间上的最大值为，则=（ ）A.B. C. D. 或解析：选B在上的最大值为，且在时，解之或（舍去），选B.5在区间上的最大值是A B0 C2 D4解析，令可得或（2舍去），当时，0，当时，1时，对x（0，+）恒有0， 当a.1时，f(x)在（0，+）上为增函数；5（汕头市金山中学2009届高三上学期11月月考）已知函数f（x）=ax3+3x2x+1，问是否存在实数a，使得f（x）在（0，4）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。解：（x）=3ax2+6x1. 要使f（x）在0，4递

23、减，则当x（0，4）时，（x）0。或，解得a3.综合拔高训练6（东莞高级中学2009届高三上学期11月教学监控测试）已知函数f(x)=ax3+bx23x在x=1处取得极值. （）求函数f(x)的解析式； （）求证：对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|4； （）若过点A（1，m）（m2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.解：（I）f(x)=3ax2+2bx3，依题意，f(1)=f(1)=0， 即2分 解得a=1，b=0. f(x)=x33x.4分 （II）f(x)=x33x,f(x)=3x23=3(x+1)(x1)，当1x1时，f(x)0，

24、故f(x)在区间1，1上为减函数，fmax(x)=f(1)=2，fmin(x)=f(1)=26分对于区间1，1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|fmax(x) fmin(x)|f(x1)f(x2)|fmax(x)fmin(x)|=2(2)=48分 （III）f(x)=3x23=3(x+1)(x1)， 曲线方程为y=x33x，点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得.过点A（1，m）可作曲线的三条切线，关于x0方程=0有三个实根.10分设g(x0)= ，则g(x0)=6，由g(x0)=0，得x0=0或x0=1.g(x

25、0)在（，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减.函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=112分关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得3m2.故所求的实数a的取值范围是3m2.14分7（广东省北江中学2009届高三上学期12月月考 ）已知，其中是自然常数，（）讨论时, 的单调性、极值；（）求证：在（）的条件下，;（）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.解：（）， 1分当时，此时单调递减当时，此时单调递增 3分的极小值为 4分（）的极小值为1，即在上的最小值为1， ， 5分令， 6分当时，在上单调递增 7分 在（1）的条件下， 9分（）假设

26、存在实数，使（）有最小值3， 9分 当时，在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值. 10分当时，在上单调递减，在上单调递增，满足条件. 11分 当时，在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3. 8(潮南区0809学年度第一学期期末高三级质检)已知函数（）(1) 求f(x)的单调区间；(2) 证明：lnx0，f(x)在上递增当时，令得解得：，因（舍去），故在上0，f(x)递增.（2）由（1）知在内递减，在内递增.故，又因故，得第3讲 导数的实际应用 知 识 梳理 利用导数解决生活、生产优化问题，其解题思路是： 优化问题函数模型解决数学问题优化问题的解 重

27、 难 点 突 破 1.重点：利用于数学知识建立函数模型，借助于导数解决最优化问题。2.难点：建模的过程3.重难点：认真审题，建立数学模型，解决与函数有关的最优化问题. （1）关注由导数的定义和物理意义处理实际应用问题问题1：路灯距地平面为,一个身高为的人以的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v.点拨：利用导数的物理意义解决设路灯距地平面的距离为，人的身高为.设人从点运动到处路程为米，时间为(单位：秒)，AB为人影长度，设为,则， ,又,人影长度的变化速率为.（2）利用导数处理最大（小）值问题是高考常见题型.问题2. （2006江苏）请您设计一个帐

28、篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？OO1剖析设为 ,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：）于是底面正六边形的面积为（单位：）帐篷的体积为（单位：）求导数，得令解得(不合题意，舍去),.当时，,为增函数；当时，,为减函数。所以当时,最大.答当为时，帐篷的体积最大. 热 点 考 点 题 型 探 析考点: 最优化问题题型1.函数模型中的最优化问题例1. 设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车

29、站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?【解题思路】由勾股定理建模.解析 ： 设BD之间的距离为km,则|AD|=,|CD|=.如果公路运费为元/km,那么铁路运费为元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费为:+,().对该式求导,得=+=,令,即得25=9(),解之得=15,=-15(不符合实际意义,舍去).且=15是函数在定义域内的唯一驻点,所以=15是函数的极小值点,而且也是函数的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省.【名师指引】

30、这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.例2. 某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?思路分析:在一定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题,在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求

31、最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.解法一:设相同的时间内,生产第x(xN*,1x10)档次的产品利润y最大.2分依题意,得y=8+2(x1)603(x1)4分=6x2+108x+378=6(x9)2+864(1x10),8分显然,当x=9时,ymax=864(元),即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元.10分解法二:由上面解法得到y=6x2+108x+378.求导数,得y=12x+108,令y=12x+108=0,解得x=9.因x=91,10,y只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产

32、品利润最大,最大利润为864元.【名师指引】一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.题型2:几何模型的最优化问题【名师指引】与最值有关的问题应合理解模,使问题获解.例3. (07上海春季高考)某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图1所示）是边长为米的正方形，点E、F分别在边BC和CD上， 、和四边形均由单一材料制成，制成、和四边形的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1. 若将此种地砖按图2所示的

33、形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形.图1(1) 求证：四边形是正方形；(2) 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 图2 【解题思路】图2是由四块图1所示地砖绕点按顺时针旋转后得到，为等腰直角三角形， 四边形是正方形. 解析 (2) 设，则，每块地砖的费用为，制成、和四边形三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a (元)， . 由，当时，有最小值，即总费用为最省. 答：当米时，总费用最省. 【名师指引】 处理较复杂的应用题审题时要逐字逐句地去啄磨.题型3:三角模型的最优化问题例4. 若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为的另一点A，问电灯与点0的距离怎样，

34、可使点A处有最大的照度？（照度与成正比，与成反比）【解题思路】如图，由光学知识，照度与成正比，与成反比，即（是与灯光强度有关的常数）要想点处有最大的照度，只需求的极值就可以了.解析：设到的距离为，则，于是，.当时，即方程的根为（舍）与，在我们讨论的半闭区间内，所以函数在点取极大值，也是最大值。即当电灯与点距离为时，点的照度为最大. （0，）+-点评：在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得=0且在该点两侧，的符号各异，一般称为单峰问题，此时，该点就是极值点，也是最大（小）值点.【名师指引】多参数的数学应用题要注意分清哪些是主元,哪些是参数;函数最值有关的问题通常利用导数

35、求解比较方便.【新题导练】.1在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解析:设箱底边长为，则无盖的方底箱子的高为，其体积为，则，令，得，解得（已舍去）且仅当时，；当时，.所以函数在时取得极大值，结合实际情况，这个极大值就是函数的最大值.，故当箱底边长为时，箱子容积最大，最大容积是.2. .一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？设船

36、速度为时，燃料费用为元，则，由可得，总费用，令得，当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，当时，取得最小值，此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小 抢 分 频 道 基础巩固训练1. 我国儿童4岁前身高增长的速度最快的是在哪一个年龄段?答: 据有关统计资料, 我国儿童4岁前身高情况有一组统计数据年龄/岁0.511.522.533.54身高/米0.520.630.730.850.931.011.061.12思路分析: 要判断这一个问题.必须要计算每半年这个群体长高的平均增长率,再加以比较即可,通过计算每半年长高的平均增长率分别是2.2, 2, 2.4, 1.6, 1.6,

37、1, 1.2可知我国儿童在1.5岁至2岁这一时段身高增长的速度最快2.（2008深圳6校）某日中午时整，甲船自处以的速度向正东行驶，乙船自的正北处以的速度向正南行驶，则当日时分时两船之间距离对时间的变化率是_.解析:距离对时间的变化率即瞬时速度。即此时距离函数对时间变量的导数。将物理学概念与数学中的导数概念迁移到实际应用题中来。易求得从点开始，小时时甲乙两船的距离，当时，3.要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，则仓库容积的最大值为 1800m3 .解：设长为，则宽为，仓库的容积为V则，令得当时，；当时，时，4. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积为最

38、大，则其高应为_.kh20解：设圆锥底面半径为r，高为，则，圆锥体积一天，令得，当时，；时，时，V最大，当应填5. 质量为5 kg的物体运动的速度为v=(18t3t2) m/s,在时间t=2 s时所受外力为_N.分析:本题主要考查导数的物理意义即速度v(t)对时间的导数是该时刻的加速度.解:v=186t,v|t=2=1862=6.t=2时物体所受外力F为65=30.综合拔高训练6.在长为100千米的铁路线AB旁的C处有一个工厂，工厂与铁路的距离CA为20千米.由铁路上的B处向工厂提供原料，公路与铁路每吨千米的货物运价比为53，为节约运费，在铁路的D处修一货物转运站，设AD距离为x千米，沿CD直

39、线修一条公路(如图). (1)将每吨货物运费y(元)表示成x的函数.(2)当x为何值时运费最省？解：(1)设公路与铁路每吨千米的货物运价分别为5k、3k(元)(k为常数)AD=x，则DB=100x.每吨货物运费y=(100x)3k+5k(元)(2)令y=3k+5kk=05x3=0x0，解得x=15当0x15时，y15时，y0当x=15时，y有最小值.答：当x为15千米时运费最省 .7. (广东省2008届六校第二次联考)设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知，其中温度的单位是，时间的单位是小时中午12:00相应的t=0，中午12:00以后相应的t取正数，中午12:00以前相应的t取负数（如

40、早上8：00相应的t=-4，下午16：00相应的t=4）若测得该物体在早上8:00的温度为8，中午12:00的温度为60，下午13:00的温度为58，且已知该物体的温度早上8:00与下午16:00有相同的变化率.（1）求该物体的温度T关于时间t的函数关系式；（2）该物体在上午10:00到下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？解：(1) 因为, 2分而, 故, 3分 . 6分 . 7分 (2) , 由 9分 当在上变化时，的变化情况如下表:-2（-2，-1）-1（-1，1）1（1，2）2+00+ 58增函数极大值62减函数极小值58增函数62 12分由上表知当，说明在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62.8.今有一块边长的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四