(完整word版)新北师大版八年级下册《三角形的证明》

1、三角形的证明【知识点一：全等三角形的判定与性质】1.判定和性质一般二角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA角角边（AAS）、边边边（SSS具备一般二角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等2.证题的思路:|找夹角（SAS）已知两边 找直角（HL ） j找第三边（SSS）若边为角的对边，则找任意角,已知一边一角"名八八、我已:哧另二边 边为角的邻边 个找已知边的对角（、找夹已知边的另一5田行找两角的夹边（ASA）已知两角 找任意一边（AAS ）【典型例题】1 .用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图

2、所示，则能说明/A. SSSB. ASAC . AASD .角平分线上的点到角两边距离相等2 .卜列说法中，正确的是（）(AAS )(SAS )AAS )角(ASA )AOC = / BOC的依据是()A.两腰对应相等的两个等腰三角形全等C.两锐角对应相等的两个直角三角形全等口图. ABCAADE.若/ B=80°. / C = 300 川BB.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等D.面积相等的两个三角形全等0. /DAC=350.7则/EAC的度数为（）A. 40 °B.4.已知：如图，在 MPN中，35°C. 30。D. 25。 AEH是高MQ和NR的交点，且

3、 MQ=NQ.求证：HN=PM.第3页共20页M5.用三角板可按下面方法画角平分线：在已知/AOB的两边上，分别取 OM = ON (如图57),再分别过点 M、N作OA、OB的垂线，交点为 P,画射线OP,则OP平分/ AOB,请你说出其中的道理. EDB叁 EDC ,则/ C的度数为A. 15°B. 20°C, 25°3 .如图，已知 ABC的六个兀素，则下面甲pA.甲和乙B.乙和丙4 .如图 49,已知 AABC AA'B'C', AD、(1)请证明 AD = A'D'(2)把上述结论用文字叙述出来；(3)你还能得出其

4、他类似的结论吗？D- 305EC、乙、丙二个三角形中，和ABC全等的图形是 () zfC.只有乙D.只有内/A'D'分别是AABC和M'B'C'的角平分线."°CDfC'2.如图，在 ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若 ADB叁 人图5 7【巩固练习】1 .下列说法正确的是()A. 一直角边对应相等的两个直角三角形全等B.斜边相等的两个直角三角形全等C.斜边相等的两个等腰直角三角形全等D. 一边长相等的两等腰直角三角形全等5.如图410,在 ABC中，/ ACB = 90°, AC=BC,直线l经过顶点C,

5、过A、B两点分别作l的垂线AE、BF, E、F为垂足.（1）当直线l不与底边 AB相交时，求证：EF = AE+BF.图 4- 10（2）如图411,将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D,请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系. AD>BD; AD = BD; ADvBD.图 4-11【知识点二：等腰三角形的判定与性质】 等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等（等边对等角）； 等腰三角形 三线合一 ”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； 等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高

6、、中线也相等.【典型例题】1 .等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为（）A. 12B. 15C. 12 或 15D . 182 .等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是（）A . 80 °B . 80 ° 或 20 °C . 80 ° 或 50 °D . 203 .已知 ABC中，AB = AC=x, BC=6,则腰长x的取值范围是（）A. 0v xv 3B. x> 3C. 3V xv 64 .如图，/ MON =43 ° ,点A在射线OM 上，动点P在射线 ON上滑动，要使 AOP为等腰三角

7、形，那么满足条件的点P共有（）A.1个B. 2个C. 3个 D.4个5 .如图，在 ABC中，BO 平分/ ABC , CO 平分/ ACB , DE过。且平行于BC ,已知 ADE的周长为10cm, BC的长为5cm,求 ABC的周长.6、如下图，在 ABC中，/ B=90°, M是AC上任意一点（M与A不重合）MD LBC,交/ ABC的平分线于点 D,求证：MD = MA.【巩固练习】1 .如图，已知直线 AB / CD , / DCF =110°且 AE=AF ,则/ A等于（）A. 30°B. 40°C, 50°2 .下列说法错误的是

8、（）A.顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等B.顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等C.斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等D.两个等边三角形全等3 .如图，是一个5X5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1 .点A和点B在小正方形的顶点上.点C也在小正方形的顶点上.若 ABC为等腰三角形，满足条件的C点的个数为（）A. 6B.7C. 8D.94 .如图，在 ABC中，/ ABC和/ ACB的 平分线交于点E ,过点E作 MN / BC交AB于M ,交AC于N ,若BM +CN =9 ,则线段MN的长为（）第4页共20页A. 6B. 7C. 8A. 10B. 12.5C. 15

9、76;D, 20°5 .如 图：E在 ABC的AC边的延长线上，D点在 AB边上，DE交BC于点F , DF =EF , BD = CE ,过 D作DG / AC交BC于G.求证：(1) GDFCEF;(2) ABC 是等腰三角形.【知识点三：等边三角形的判定与性质】判定：有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形;三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是60°的三角形是等边三角形；有两个叫是60°的三角形是等边三角形.性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°.【典型例题】1 .下列说法中不正确的是（）A.有一腰长相等的两个等腰三角形

10、全等B.有一边对应相等的两个等边三角形全等C.斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等D.斜边相等的两个等腰直角三角形全等2 .如图，在等边 ABC中，/ BAD =20° , AE=AD ,贝U / CDE 的度数是（）第25页共20页3、如右图，已知 ABC和4BDE都是等边三角形，求证： AE=CD.【变式练习】1.下列命题：两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形；等腰三角形的对称轴是底边上的中线直平分线为对称轴的轴对称图形.其中错误的有（）A.1个B.2个C. 3个2 .如图，AC=CD=DA = BC = DE .贝U / BAE 是 / BAC 的（）A. 4倍B.

11、 3倍C . 2倍D . 1倍3 .如图，等边 ABC的周长是9, D是AC边上的中点，E在 长线上.若DE =DB ,则 CE的长为.4 .如图，等边 ABC中，点D、E分另I为BC、CA上的 两点， 且BD =CE,连接 AD、BE交于F点，则/ FAE + / AEF的度数 是（）A. 60°B, 110°C, 120°D, 135°5 .如图，已知：/MON=30°,点A1、A2、A3在射线ON上， B2、B3在射线 OM 上，ZXA1B1A2、 A2B2A3' AbB3A4均为 角形，若OA1=1 ,则4A6B6A7的边长为（

12、）A. 6B. 12C. 32D . 646 .如图，M、N点分别在等边三角形的BC、CA边上，且BM （1）求证：/ BQM =60° ;（2）如图，如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，D , 4个BCD£BC的延BC EAA1BDCoxWVA.°4 2AsAt= CN, AM、BN 交于点 Q.其它条件不变，（1）中的结论是否仍然所在直线；等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；一条线段可以看作是以它的垂成立？若成立，给予证明；若不成J7.如图，C为线段BD上一点（不与点B,AD与BE交于一点F , AD与CE交于点1H ,说明理由.，二 图

13、 图 c,D重合），在BD同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE ,H , BE与AC交于点G.（1）求证：BE=AD;（2）求 / AFG 的度数；（3）求证：CG=CH.【知识点四：反证法】反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.【基础练习】1、否定 自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反正假设为（）A. a、b、c都是奇数B. a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C. a、b、c都是偶数D. a、b、c中至少有两个偶数2、用反证法证明命题 主角形的内角中至少有一个不大于60。时，反证

14、假设正确的是（）A.假设三内角都不大于 60°B.假设三内角都大于 60°C.假设三内角至多有一个大于 60。D.假设三内角至多有两个大于 60。3、证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角.【知识点五：直角三角形】1、直角三角形的有关知识.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.2、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题

15、，其中一个命题称为另一个命题的 逆命题.互逆定理，其中一个定理称为如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为 另一个定理的 逆定理.【典型例题】1、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:3）如果 ab=0,那么 a=0, b=0;（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补;（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等2 .使两个直角三角形全等的条件是（）A. 一个锐角对应相等B.两个锐角对应相等C. 一条边对应相等D.两条边对应相等3 .等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,它的腰长为（）A. 7B. 6C. 5D . 44.如

16、图，矩形纸片ABCD中，AB =4 , AD =3 ,折叠 纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG ,则AG的长为（）A. 1 B. 4 C. 3 D. 2325.如图，在 4ABC 中，/ C=90若CD =2 ,那么BD等于（A. 6B. 46 .如图，在4 X4正方形网格中，以格点为顶点的 ABC则点A到边BC的距离为（）C. 47 .如图， ACB和 ECD都是等腰直角三角形，A, C, D三点在同一直线上，连接BD, AE,并延长AE交BD于F.（1）求证： ACE 9 BCD ;（2）直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论.8.如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸

17、中有一个 ABC , ABC的三个顶点均与小正方形的顶点重合.（1）在图中画 BCD ,使 BCD的面积= ABC的面积（点D在小正方形的顶点上）（2）请直接写出以A、9.如图，把矩形纸片ABCD(1)求证：B E = BF ;（2）设AE = a, AB = b, BF =c,试猜想a , b , c之间的一种关系，并给予证明.【变式练习】1 .利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是（）A.已知斜边和一锐角B.已知一直角边和一锐角C.已知斜边和一直角边D,已知两个锐角2.在 Rt ABC 中，/ C=90° ,AC =9 , BC =12 ,则点C到AB的距离是（

18、A.365B.12253.343.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角 直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2, 5, 1, 2,则最大的 的面积是.4,已知 RtA ABC 中，/ C=90° ,且 BC = 1AB ,则 / A 等于（）2形都是正方形EA. 30°B. 45C. 60°D.不能确定5 .已知：如图，在 4ABC 中，/A=30°, Z ACB =90 求证：CD ± AB .,M、D分另1J为AB、MB的中点.6 .如图，在5 X5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1 , / BCD是

19、不是直角？请说明理由.7.正方形网格中的每个小正方形边长都是1.每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：(1)在图1中，画 ABC ,使 ABC的三边长分别为3、2>/2、J5 ;(2)在图2中，画 DEF ,使 DEF为钝角三角形且面积为2.【提高练习】1 .如图.矩形纸片ABCD中，已知AD =8 ,折叠纸片使AB边与对角线ACB落在点F处，折痕为AE ,且EF =3 .则AB的长为()A. 3B.4C. 5D. 6重合，点2.如图，直线l上有三个正方形a, b, c,若积为()A. 4B. 6C. 16a,D .则b的面n23453 .张老师在一次 探究性学习”

20、课中，设计了如下数表:(1)请你分别观察a, b, c与n之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数式表不：a =, b =, c=;(2)猜想：以a, b, c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的 猜想.4 .如图，AC = BC=10 cm , / B=15A. 3 cmB . 4 cmC . 5 cmD . 6 cma22 132 142 152 1b46810c22+132+142+152+1,AD ± BC于点D ,则AD的长为()5 .如图，在 ABC中，/ C=90° , / B=15° , AB的垂直平分线交 AB于E,交BC于 D , B

21、D=8 ,则 AC =6 .图1、图2分别是10 X8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1 , A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C (点C必须在小正方形的顶点上)，使 以A、B、C为顶点的三角形分别满 足以下要求：(1)在图1中画一个 ABC ,使 ABC为面积为5的直角三角形；(2)在图2中画一个 ABC ,使 ABC为钝角等腰三角形.却7 .已知，如图， ABC为等边三角形，AE = CD, AD、BE相交于点P.(1)求证： AEB 9 CDA ;(2)求/ BPQ的度数；(3)若 BQ，AD 于 Q, PQ=6, PE=2 ,求 BE 的长.【知识点六：线段的垂

22、直平分线】线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。【典型例题】1 .如图，在 Rt ABC中，/ C=90° , / B=30° . AB的垂直平分线DE交AB于点D ,交BC于点E ,则下列结论不正确的是（）A. AE=BEB. AC=BEC. CE=DE1 _2 .如图，在 ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于一AB2的长为半径画弧，两弧相交于点M , N,作直线MN ,交BC于点D ,连接AD .若 ADC的周长为1

23、0 , AB =7 ,则 ABC的周长为（）A. 7B. 14C. 17D . 203 .三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（）A.三条中线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三条高的交点D.三条角平分线的交点4 .如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超 市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A.在AC, BC两边高线的交点处B.在AC , BC两边中线的交点处C.在AC, BC两边垂直平分线的交点处D.在/A, Z B两内角平分线的交点处/ 户-O5 .如图，AD为/ BAC的角平分，线段AD的垂直平分线交AB于M

24、,交AC于N ,试说明MD / AC .6 .如图所示， ABC中，AB = AC , / BAC=120° , AC的垂直平分线EF交AC于点E,交 BC于点F.求证：BF=2CF.7 .如图 所示，在 RtA ABC 中，/ ACB =90 ° , AC = BC , D为BC边上的 中点，CE，AD于点 E, BF / AC交CE的延长线于点F ,求证：AB垂直平分DF .【变式练习】1 .如图，在 Rt ABC中，/ B=90° , ED是 AC的 垂直平 分线，交AC于点D ,交BC于点E .已知/ BAE =10° ,则/ C的度数为（）A.

25、 30°B. 40°C. 50°D, 60°2 .如图，在 ABC中，已知AC =29 , AB的垂直平分线交 AB于点D ,交AC于点E . BCE的周长等于50 ,则BC的长为（）A. 2lB. 22C. 23D . 243 .如图，在 ABC中，DE垂直平分 AB , FG 垂直平分 AC ,BC=13cm,则AEG的周长为B. 13cmA. 6.5 cmC. 26 cm4 .已知：如图， ABC的/ A> / ABC ,边BC的垂直平分线 DE分另ij交AC,BC于D , E,则AD +BD与BC的关系是A.大于5 .如图，A、B表示两个仓

26、库，要在A、B 一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等， 码头应建在什么位置？你能画图说明吗？图1图26 .如图，在 ABC 中，AB = AC , D是 AB的中点，且 DE，AB , BCE的周长为8 cm,且 AC - BC =2 cm ,求AB、BC的长.【提高练习】1 .如图，在 ABC中，DE垂直平分AB ,分另I交 AB、BC于D、E点.MN垂直平分AC ,分另交AC、BC于M、N点.(1)若/ BAC =100° ,求 / EAN 的度数；(2)若/ BAC =70° ,求 / EAN 的度数；(3)若/ BAC = a(aW90),直接写出用a

27、表示/ EAN大小的代数式.3的B2 .如图2,点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，/ A=35° ,则/ D等于（）A. 50°B. 65°C. 55°D, 70°3 .如图3,在 ABC中，AB=a, AC = b, BC边上 的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E,则 AEC的周长等于（）A. a + bB. abC. 2a+bD. a+2b营4 .如图有一块直角三角形纸片，/ ACB =90 ° ,两直角边AC =4BC=8 ,线段DE垂直平分斜边AB ,则CD等于（）A. 2B, 2.5C. 3D . 3.55

28、.如图，/ ABC =50° , AD垂直平分线段BC于点D , / ABC平分线交AD于E,连接EC ;则/ AEC等于（）A. 100°B, 105°C, 115°D , 120°【知识点七：角平分线】角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。【典型例题】1 .如图，/ POA = / POB , PD，OA 于点 D , PE，OB 于点 E , OP =13 ,OD=12 , PD=5 ,贝U PE

29、=(B. 12C. 5A. 132.三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的（）A.三条中线交点B.三条角平分线交点C.三条高线交点D.三条高线所在直线的交点3 .如图，Rt ABC 中，/ C=90 ° , / ABC的 平分线BD交 AC于若CD =3cm,则点D到AB的距离DE是（4 .如图，OP平分/ AOB , PA ± OA , PB ± OB ,垂足分别为 A ,下列结论中不一定成立的是（A. PA=PBB. PO 平分/ APBC. OA = OBD. AB垂直平分OP5.如图，直线a、b、c,表示三条相互交叉的公路，现拟建一个货物中

30、转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可以供选择的地址有（B.四处C.七处6.求作一点P,使PC =（要求保留作图痕迹，不必写出作法）7.（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）.设计了如下方案：（I ） / AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相 同的刻度与M、N重合，即PM = PN ,过角尺顶点P的射线OP就是/ AOB的平分线.（n ） / AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM =ON ,将角尺的直角顶点P介于射线OA、 OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM =PN ,过角尺顶点P的射线OP就是

31、/ AOB 的平分线.（1）方案（I）、方案（II）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；（2）在方案（I ） PM =PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM，OA , PN，OB .此方案是否可行？请 说明理由.08 .如图，AD为 ABC的角平分线，DE，AB, DF，AC ,垂足分别为E, F ,连接EF , EF交AD于点G、 试判断线段AD与EF的位置关系，并证明你的结论.9 .如图， ABC中，。是BC的中点，D是/ BAC 平分线上的一点，且 DO，BC ,过点D分别作 DM，AB于 M , DN，AC 于 N .求证：BM =CN .【变式练习】1 .如图，OP平分/ MON , PA，ON于点A,点 Q是射线 OM上的个动点，若PA=2 ,则PQ的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 42 .如图所示，点E是/ AOB的平分线上一点，EC ± OA , ED ± OB ,垂足分别是 C、D ,若 OE=