第一章概述第三节数学的魅力

1、1 你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然你可能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然 的美；那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐的美；那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐 一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的层一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的层 次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简 洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质。洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质。 数学，有无穷的魅力！数学，有无穷的魅力！ 2一、渔网的几何规律一、渔网的几何规律 用数学方法可

2、以证明，无论你用什么绳索织一用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片网，无论你织一片多大的网，它的结点数片网，无论你织一片多大的网，它的结点数(V)，网，网眼数眼数(F)，边数，边数(E)都必定适合下面的公式：都必定适合下面的公式： V + F E = 13多面体的欧拉公式多面体的欧拉公式 V + F E = 2 4 数学就有这样的本领，能够把看起来复杂数学就有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变得简明，把看起来混乱的事物理出的事物变得简明，把看起来混乱的事物理出规律。规律。 5二、天津市南开区二、天津市南开区至少有两个人头发根数一样多至少有两个人头发根数一样多“存在性命题存在性命题” ：天

3、津市南开区中一定：天津市南开区中一定存在存在两个头发两个头发根数一样多的人。根数一样多的人。 对于存在性命题，通常有对于存在性命题，通常有两类两类证明方法：证明方法：一类是一类是构造性的证明构造性的证明方法，即把需要证明存在的事方法，即把需要证明存在的事物构造出来，便完成了证明；物构造出来，便完成了证明；一类是一类是纯存在性证明纯存在性证明，并不具体给出存在的事物，并不具体给出存在的事物，而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。 6例如例如“任意两个正整数都存在最大公约数任意两个正整数都存在最大公约数” 这个存这个存在性命题，我们可以用在性命题，我们可以

4、用“辗转相除法辗转相除法”给出构造性给出构造性的证明，在证明最大公约数存在的同时，也给出了的证明，在证明最大公约数存在的同时，也给出了求最大公约数的方法。求最大公约数的方法。(例例：（：（210，1950）= 30 )再例如再例如“连续函数如果在两个端点反号，则中间一连续函数如果在两个端点反号，则中间一定存在零点定存在零点” 这个存在性命题，我们在教材中看到这个存在性命题，我们在教材中看到的和在课堂上听到的，往往是纯存在性证明，证明的和在课堂上听到的，往往是纯存在性证明，证明了零点的存在，但并不给出找到零点的方法。了零点的存在，但并不给出找到零点的方法。7天津市南开区天津市南开区至少有两个人头

5、发根数一样多至少有两个人头发根数一样多构造性证明构造性证明 ： 一个一个地去数天津市南开区中所有人的头发一个一个地去数天津市南开区中所有人的头发根数，一定可以找到两个具体的人，不妨称之为张根数，一定可以找到两个具体的人，不妨称之为张三和李四，他们的头发根数一样多，便完成了证明。三和李四，他们的头发根数一样多，便完成了证明。 8天津市南开区天津市南开区至少有两个人头发根数一样多至少有两个人头发根数一样多纯存在性证明纯存在性证明 ：“抽屉原理抽屉原理” 证明证明“367个人中至少有两个人的生日是相同的个人中至少有两个人的生日是相同的” 证明证明“天津市南开区中一定存在两个头发根数一样天津市南开区中

6、一定存在两个头发根数一样多的人多的人” 9 对于这个命题，纯存在性证明的方法，对于这个命题，纯存在性证明的方法，比用构造性证明的方法更可靠。比用构造性证明的方法更可靠。 10三、圆的魅力三、圆的魅力 车轮，是历史上最伟大的发明之一车轮，是历史上最伟大的发明之一圆，是平面图形中对称性最强的图形圆，是平面图形中对称性最强的图形周长与直径之比是一个常数周长与直径之比是一个常数这个常数是无理数、超越数这个常数是无理数、超越数面积相等的图形中圆的周长最短面积相等的图形中圆的周长最短规尺作图化圆为方不可做规尺作图化圆为方不可做11四、四、“三角形三内角之和等于三角形三内角之和等于180度，度，这个命题不好

7、这个命题不好” 这句话是这句话是1978年数学大师陈省身先生在北京大学的年数学大师陈省身先生在北京大学的一次演讲中说的，后来又多次说过。一次演讲中说的，后来又多次说过。所以，这不是随便说的一句话。所以，这不是随便说的一句话。陈先生并没有说陈先生并没有说“三角形三内角之和等于三角形三内角之和等于180度，度，这个命题不对这个命题不对”，而是说，而是说“这个命题不好这个命题不好”。 12三角形三内角之和 = 180 度 n 边形 n 内角之和 = ？ n 边形 n 内角之和 = 180 度 ( n 2 ) 13n 边形 n 外角之和 = 360 度不变量 曲边形（向量组的秩；矩阵的秩） 14高斯博

8、内公式高斯博内公式 当积分区域是整个闭曲面当积分区域是整个闭曲面M时，有时，有 = 2 （M） 其中其中k 是高斯曲率，是高斯曲率，（M）是）是M的欧拉示性数。这一高的欧拉示性数。这一高斯博内公式的左面是一个由局部性质（曲率）表示的量，斯博内公式的左面是一个由局部性质（曲率）表示的量，但是，公式的右面却只和曲面整体的拓扑不变量。高斯博但是，公式的右面却只和曲面整体的拓扑不变量。高斯博内公式的重要意义在于：它用曲面的局部不变量刻画了整体内公式的重要意义在于：它用曲面的局部不变量刻画了整体性质。性质。kd15五、四色问题五、四色问题 四色问题也称四色问题也称“四色猜想四色猜想”或或“四色定理四色定

9、理”，它于，它于1852年年首先由一位英国大学生首先由一位英国大学生F古色利提出。古色利提出。他在为一张英国地图着色时发现他在为一张英国地图着色时发现,为了使任意两个具有公共为了使任意两个具有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟弗雷德里但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟弗雷德里克。弗雷德里克转而请教他的数学老师克。弗雷德里克转而请教他的数学老师,杰出的英国数学家杰出的英国数学家德德摩根，希望帮助给出证明。摩根，希望帮助给出证明。16 德德摩根很容易地证明了三种颜色是不够的摩根很容易

10、地证明了三种颜色是不够的,至少至少要四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。要四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。 17但德但德摩根未能解决这个问题摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给了其他数就又把这个问题转给了其他数学家学家,其中包括著名数学家哈密顿。其中包括著名数学家哈密顿。但这个问题当时没有引起数学家的重视。但这个问题当时没有引起数学家的重视。直到直到1878年年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后，英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后，认为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在认为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在伦敦数伦敦数学会文集学会文集上发表了一篇上发表了一篇论

11、地图着色论地图着色的文章的文章,才引起了才引起了更大的注意。更大的注意。 181879年，一位英国律师肯泊在年，一位英国律师肯泊在美国数学杂志美国数学杂志上上发表论文，宣布证明了发表论文，宣布证明了“四色猜想四色猜想”。但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的证明中有严重错误。证明中有严重错误。 19一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难，一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难，这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。实际上，对于地图着色来说实际上，对于地图着色来说,各个

12、地区的形状和大小并不重各个地区的形状和大小并不重要要,重要的是它们的相互位置。重要的是它们的相互位置。下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从数学上看下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从数学上看,问题的实质在于地图的问题的实质在于地图的“拓扑结构拓扑结构”。 20一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研究一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研究,获得获得了一系列成果。了一系列成果。1920年弗兰克林证明了年弗兰克林证明了,对于不超过对于不超过25个国家的地图个国家的地图,四色猜四色猜想是正确的。想是正确的。1926年雷诺兹将国家的数目提高到年雷诺兹将国家的数目提高到27个

13、。个。1936年弗兰克林将国家的数目提高到年弗兰克林将国家的数目提高到31个。个。1968年挪威数学家奥雷证明了年挪威数学家奥雷证明了,不超过不超过40个国家的地图可以个国家的地图可以用四种颜色着色。但是，他们都没有最终证明用四种颜色着色。但是，他们都没有最终证明“四色猜想四色猜想”。 21四色问题的解决四色问题的解决直到直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。到到1976年年6月月,他们终于获得成功。他们使用了他们终于获得成功。他们使用了3台台IBM360型超高速电

14、子计算机型超高速电子计算机,耗时耗时1200小时小时,终于证终于证明了四色猜想。明了四色猜想。 22这是一个惊人之举。当这项成果在这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时年发表时,当地邮局特地制作了纪念邮戳当地邮局特地制作了纪念邮戳四色足够四色足够(FOUR COLORS SUFFICE)，加盖在当时的信件上。，加盖在当时的信件上。 23拓展了人们对拓展了人们对“证明证明”的理解的理解由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从根本上拓展了人们对根本上拓展了

15、人们对“证明证明”的理解，引发了数学的理解，引发了数学家从数学及哲学方面对家从数学及哲学方面对“证明证明”的思考。的思考。24六、素数的奥秘六、素数的奥秘自然数是整个数学最重要的元素。自然数是整个数学最重要的元素。自然数中有一种特别基本又特别重要的数，称为自然数中有一种特别基本又特别重要的数，称为“素数素数”。素数是大于素数是大于1的自然数中，只能被自己和的自然数中，只能被自己和1整除的数；整除的数；大于大于1的自然数中不是素数的都称为的自然数中不是素数的都称为“合数合数”；1则既不是素数也不是合数。则既不是素数也不是合数。 25由于在大于由于在大于1的自然数中，素数的因子最少，所以的自然数中

16、，素数的因子最少，所以素数是特别简单的数。素数是特别简单的数。又由于一切大于又由于一切大于1的自然数都能够从素数通过乘法的自然数都能够从素数通过乘法得到，所以素数又是特别基本的数。得到，所以素数又是特别基本的数。素数很早就被古希腊的数学家所研究。素数很早就被古希腊的数学家所研究。2300多年前欧几里得的几何多年前欧几里得的几何原本原本第第9卷的定理卷的定理20，就给出了，就给出了“素数有无穷多个素数有无穷多个”的漂亮证明。的漂亮证明。 26但是，素数的有些规律，表述出来很容易听懂，研但是，素数的有些规律，表述出来很容易听懂，研究起来却出人意料地困难。（当然，素数的有些规究起来却出人意料地困难。

17、（当然，素数的有些规律表述出来也是相当复杂的。）律表述出来也是相当复杂的。）关于素数的规律，人类有许多的关于素数的规律，人类有许多的“猜想猜想”。至今还。至今还有不少关于素数的重要猜想，既没有被证明，也没有不少关于素数的重要猜想，既没有被证明，也没有被否定。有被否定。有的猜想的解决，现在看来可能会十分遥远。有人有的猜想的解决，现在看来可能会十分遥远。有人甚至预言，甚至预言，“人类探寻素数规律的历史，将等同于人类探寻素数规律的历史，将等同于人类的整个文明史人类的整个文明史”。 27三个关于素数规律的问题三个关于素数规律的问题 从加法的角度研究素数从加法的角度研究素数 从乘法的角度研究素数从乘法的

18、角度研究素数 找一个公式来表示素数找一个公式来表示素数 28从加法的角度研究素数从加法的角度研究素数两个猜想：两个猜想： 每个足够大的偶数都是两个素数的和；每个足够大的偶数都是两个素数的和； 每个足够大的奇数都是三个素数的和。每个足够大的奇数都是三个素数的和。后一个猜想现在已被证明；前一个猜想至今却既没后一个猜想现在已被证明；前一个猜想至今却既没有人举出反例，也没有人给出证明。有人举出反例，也没有人给出证明。前者就是著名的前者就是著名的“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”。29从乘法的角度研究素数从乘法的角度研究素数算术基本定理：任一个大于算术基本定理：任一个大于1的自然数，都可以被表示为有的自然数，

19、都可以被表示为有限个素数（可以重复）的乘积，并且如果不计次序的话，表限个素数（可以重复）的乘积，并且如果不计次序的话，表法是唯一的。法是唯一的。算术基本定理早已被证明，但不是采用算术基本定理早已被证明，但不是采用“构造性构造性”的证明的证明 。未解之谜：这个问题是：对任一个大于未解之谜：这个问题是：对任一个大于1的自然数，试给出的自然数，试给出一个一般的方法，以便较快地找到有限个素数（可以重复），一个一般的方法，以便较快地找到有限个素数（可以重复），使它们的乘积等于那个预先写出的大于使它们的乘积等于那个预先写出的大于1的自然数。的自然数。 30 下面用下面用“构造性构造性”证明的思路，来试图找

20、证明的思路，来试图找到解决的办法，同时也体会它的困难所在。到解决的办法，同时也体会它的困难所在。 31解决问题的困难解决问题的困难不严格的地方，或者说不严格的地方，或者说“跳步跳步”的地方，就在最前面的两步。的地方，就在最前面的两步。 即，如何较快地判断即，如何较快地判断“a是否素数是否素数”；及当判断出；及当判断出a不是素不是素数后如何较快地找到数后如何较快地找到b，得到，得到a = b c 。解决问题的本质困难，也在这两个步骤。虽然现在有了高速解决问题的本质困难，也在这两个步骤。虽然现在有了高速计算机，但是对于很大的数计算机，但是对于很大的数a，例如，例如200位的数位的数a，这两步的，这

21、两步的计算仍然很费时日，以至于实际上是不可能解决问题的计算仍然很费时日，以至于实际上是不可能解决问题的 32这样的困难，反倒给密码通讯提供了思路这样的困难，反倒给密码通讯提供了思路 a = b c （ b 、c是两个很大的素数是两个很大的素数，比如都是，比如都是100位的大素数位的大素数 ）在造密码时，你可以把在造密码时，你可以把a 公开，但公开，但b 、c对外保密，只有对外保密，只有“我方我方”了解。了解。 必须知道必须知道b 、c才能破译密码。才能破译密码。 “敌方敌方”只知道只知道a和密文，就无法了解密文的意思。要想破译密文，首和密文，就无法了解密文的意思。要想破译密文，首先需要把先需要

22、把a分解为分解为b c 。但是因为。但是因为a 这个数很大，以及上面提到的本质这个数很大，以及上面提到的本质困难，把困难，把a分解为分解为b c是很费时日的。是很费时日的。 33找一个公式来表示素数找一个公式来表示素数费马素数费马素数 (1640年年) Fn = 2 2n + 1 梅森素数梅森素数 (1644年年) Mn = 2n 1 （n = 2、3、5、7、13、17、31、67、127、257 ）“梅森数中是否有无穷个素数梅森数中是否有无穷个素数”的问题，也是未解之谜。的问题，也是未解之谜。 34关于费马素数关于费马素数 ，n = 5 时，时， Fn = 4294967297 = 641

23、 6700417 梅森的判断中有五个错误：梅森的判断中有五个错误： n = 67、257时时Mn不是素数；不是素数； 而而n = 61、89、107时时Mn是素数。是素数。 35科尔：科尔：大数的因子分解大数的因子分解 1903年年10月月267 1193707721 761838257287267 1 = 193707721 761838257287科尔一言未发；会场上爆发了热烈的掌声。科尔一言未发；会场上爆发了热烈的掌声。36七、七、“蒲丰投针蒲丰投针”的故事的故事 37八、八、“化归化归”的方法的方法 “化归化归”，是把未知的问题，转化为已知的，是把未知的问题，转化为已知的问题；把待解决

24、的问题，归结为已解决的问问题；把待解决的问题，归结为已解决的问题，从而解决问题的过程。题，从而解决问题的过程。 波利亚：关于波利亚：关于“烧水烧水”的例子的例子 38九、体会公式九、体会公式 中的数学美中的数学美 可以从公式 中， 令 = 推出来。公式 ，用 “等号” 连接了数学中五个重要的常数，反映了数学的“统一美”。 10ie 10ie cossiniei10ie 39 M克莱因（克莱因（Felix Klein,18491925）：）： 音乐能激发或抚慰人的感情，绘画使人赏心音乐能激发或抚慰人的感情，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人聪慧，科学可以悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人聪慧

25、，科学可以改善生活，而数学能做到所有这一切。改善生活，而数学能做到所有这一切。 40【思考题思考题】 请你举一个例子，展示数学的魅力。请你举一个例子，展示数学的魅力。 4142 抓三堆：抓三堆： 有三堆谷粒（例如有三堆谷粒（例如100粒、粒、200粒、粒、300粒），甲、粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少抓乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少抓1粒，可粒，可抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后 一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？43提示：提示： 二进制二进制44“抓三堆”的二进制解法 用二进制表示这三堆谷粒数，写成三

26、行，并上下对齐，各列相加，用二进制表示这三堆谷粒数，写成三行，并上下对齐，各列相加，列的加法定义为列的加法定义为 这就是这就是模模2 2加法加法。（只要是。（只要是2 2的倍数，就记为的倍数，就记为0 0） 关于关于模模2 2加法加法，可以推广；比如推广为，可以推广；比如推广为 模模7 7加法：加法： 例例1 1：如果：如果1 1号是星期一，问号是星期一，问 2727号是星期几？号是星期几？ 解答解答：2727号与号与1 1号相差号相差2626天，因为天，因为 ，说明过去，说明过去3 3个个7 7天之后，天之后，再过再过5 5 天，这样天，这样2727号这天就是星期一再加上号这天就是星期一再加上5 5天，即星期六。（事实上，天，即星期六。（事实上，这里只要是有这里只要是有7 7的倍数，就都可以记为的倍数，就都可以记为0 0。）。） 例例2 2：如果：如果1 1号是星期三，问号是星期三，问 2727号是星期几？（答：星期一）号是星期几？（答：星期一） 0+0=0 ; 0+1=1 ; 1+0=1 ; 1+1=0267 35 45思思：如果9月 号是星期 ， 问 9月 号是星期几？xyz46 我们断言