学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)

1、北京工业大学 2009-20010 学年第一学期期末 数理统计与随机过程 （ 研） 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意： 试卷共七道大题，请写明详细解题过程。考试方式 ：半开卷，考试时只允许看教材概率论与数理统计 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不 允许看其它任何打印或复印的资料。 考试时允许使用计算器。 考试时间 120 分钟。考试日期： 2009年 12月 31 日、随机抽取某班 28 名学生的英语考试成绩，算得平均分数为 x 80分，样本标准差 s 8分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为 85 分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生

2、的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平0.05 ）？2解：这是单个正态总体 X N（ , ） ，方差 2未知时关于均值 的假设检验问题，用 T 检验法 .85，H1:85选统计量Tx0s/ n已知 x 80s 8 ，n28，0 85 ，计算得Tx0s/ n80 858/ 283.31查 t 分布表，0.05 ，自由度 27，临界值 t0.025(27) 2.052 .由于 T 2.052 2.2622，故拒绝 H0 ，即在显著水平0.05下不能认为该班的英语成绩为 85 分.、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录借出图书数 k01234567频数 f81617106210试检验每分钟内借出的图

3、书数是否服从泊松分布 ? （取显著性水平0.05）解：由极大似然估计得 ? x 2.在 X 服从泊松分布的假设下， X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A0, A1, A8。则 PX k 有估计p?ip?0P?X k2k e 2k!k 0, 7,、某公司在为期 10 年内的年利润表如下：年 份12345678910利 润1.892.192.062.312.262.392.612.582.822.9(1) 求该公司年利润对年份的线性回归方程 ;(2) 对回归方程进行显著性检验：(取0.05)；(3) 解释回归系数的意义； (4)求第 11 年利润的预测区间(取0.05)。四、用三种不同材

4、料的小球测定引力常数，实验结果如下：玻璃金铂6.6786.6836.6616.6716.6816.6616.6756.6766.6676.6726.6786.6676.6746.6796.664在单因素试验方差分析模型下， 检验材料对引力常数的测定是否有显著影响？取 显著性水平 0.05, 计算结果保留三位小数。五、某大型设备在任何长度为 t的时间区间内发生故障的次数 N(t), 0 t 是 强度 的 Poisson过程，记设备无故障运行时间为 T 。(1)求 PN(5) 6|N(3) 4 ； (2)求自相关函数 RN(s,t)，写出推导过程； (3)求T 的概率分布函数； (4)已知设备已经

5、无故障运行了 10小时，求再无 故障运行 8 小时的概率。六、（15 分）设 Xn,n T 是一个齐次马尔可夫链，其状态空间 I ,1, 2, 3, 4 ，1/ 21 / 2001/ 21 / 41/40步转移概率矩阵为P01 / 41/21/4001/21/21）求 PX1 2,X2 3,X3 1,X4 2,X5 4 ；2）求 PXn 2 3|Xn 1 ；3）讨论此链是否具有遍历性，若是遍历的求其极限分布七、设 X(t) 是平稳随机过程，若 Y(t) X (t ) cos(2 t )，其中 是在 (0,2 )上服从均匀分布的随机变量且与 X(t) 独立，问 Y(t) 是否是平稳随机过程？标准

6、答案(仅供参考)2的假设检验这是单个正态总体 X N( , ) ，方差 2未知时关于均值问题，用 T 检验法 .五 解： ( PX n 23|Xn 1 =1/8解 H0 :85，H1 :85选统计量x0s/ n已知 x 808，n28， 0 85 ，计算得Ts/ n80 858/ 283.31查 t 分布表，0.05 ，自由度 27，临界值 t0.025 (27)2.052由于 T 2.052 2.2622，故拒绝 H 0，即在显著水平0.05不能认为该班的英语成绩为 85 分.七解：设 x(t) c, Rx( ) ，Y (t) EY(t)X (t)Ecos(2 t)2cos(2 t )dRY (t,s)EY(t)Y(s)1RX (t,s)E2cos21RX ( ) cos2 (tRX ( )cos2(t s)s)1 cos2 (t s)2 其中 s t