高中物理复习 抛体运动的规律研究

1、.第一节：抛体运动的规律研究-抛体中的现象一 从抛物线的几何性质看抛体运动的射程问题1、 在程度地面某处，以一样的速率用不同的抛射角抛射小球，求当抛射角为何值时，它的射程最大，最大射程是多少？不考虑空气阻力。2、 大炮在山脚下对着倾角为的山坡发射炮弹，炮弹初速度大小为，要在山坡上到达尽可能远的射程，那么大炮的瞄准角为多少？最远的射程为多少？不考虑空气阻力。3、 在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为，假设出手时的速度大小为，求以何角度掷球时，程度射程最远？最远射程是多少？不考虑空气阻力。二 解答与分析1、 第一个问题当抛射角为时射程最大，最大射程是图12、 第二个问题分别将按沿斜面方向和垂直斜面

2、方向正交分解得，当方向沿斜面和竖直线夹角的角平分线时，即抛射角为时，射程最大，最大射程为3、 第三个问题做铅球的速度矢量如图1所示，由三角形面积公式得其中为初速度，为末速度其值为，分别为初、末速度与竖直方向的夹角，为重力加速度，为运动时间，为程度射程。由上式可知，当时，取最大值，最大射程为，此时抛射角为三 三个问题归纳为一个问题1、 抛物线上任意一点到焦点的间隔 与其到准线的间隔 相等，即在图2中，线段2、 由抛物线的焦点发出的光，经其外表反射后，反射光线平行于其主轴，在图2中，法线AQ平分角MAB，且AM、AB与切线AP所成的角也相等。在问题3中，建立如图3所示的坐标系，那么抛体运动的参数方

3、程为图2 图 3 消去得到物体运动的轨迹方程以上为一簇经过O的抛物线，其焦点坐标为，准线方程为。图4可以看出，虽然抛射角不同时，不同抛物线的焦点坐标不同，但所有的抛物线有着一样的准线，对于上述所有抛射角度的抛物线而言，抛出点和落地点到准线的间隔 分别为一定值。在图4中，由于两条抛物线共享一条准线，那么OC1=OP，A1C1=A1M1，OC2=OP，A2C2=A2M2，且OC1+A1C1=OC2+A2C2=，其中O为抛出点，A1，A2分别为为两条抛物线对应的落地点，C1，C2分别为两条抛物线对应的焦点。如今来研究焦点为C2的这条抛物线，分别过抛出点O和落地点A2做抛物线的切线，两切线相交于Q点，

4、连接OA2，如图5所示。设OQ与OC2夹角为，由抛物线的性质得，OQ与竖直线抛物线的主轴方向夹角也为，从而OC2与竖直线夹角为，同理，A2C2与竖直线夹角为。在中，有，即，易知此时三点共线，如图6所示，即当时OQ与图6图5A3A垂直时，OA3取到最大值，此时也到达了最大程度射程，其值为而此时OQ与A3Q垂直，即初、末速度互相垂直轨迹的切线方向，问题在1是上面问题的特解，规律自然一样。问题2可以看成上面问题的逆过程，如图6所示，将A3看做抛出点，O点看做落地点，那么当斜面倾角为时，最大射程即为图中的OA3的连线长度，即问题2与问题3在本质上也为同一类问题。从图6结合性质2还可以很容易看出，为何在

5、向上坡抛物体时，当方向即A3Q方向沿斜面和竖直线夹角的角平分线时，射程最大。例1 沿斜面上升方向抛物体如图1所示，用初速度在倾角为的斜面上某一处沿斜面上升方向抛物体，抛射角为抛射方向与斜面间的夹角，物体沿两方向的运动方程为式1、2联立消去t，得物体运动的轨道方程,直线OA的方程为A点是抛物线和直线的交点，其坐标值可由式3、4联立解出:所以利用式4、5可以联立解出射程最正确抛射角最大射程这种抛射，抛体所受合力即为重力，方向竖直向下. 假如我们将抛射点和落地点所在的平面叫做抛射面，在图1中，要让抛射面与抛体所受合力方向垂直，需将抛射面顺时针转角，这个角正好就是式6中的角. 亦即，当抛射面在垂直于质

6、点所受合力方向上逆时针转角时，最正确抛射角在450的根底上减小角.例2 沿斜面下降方向抛物体如图2所示，假设用初速度在倾角为的斜面上某一处沿斜面下降方向抛物体，抛射角为抛射方向与斜面间的夹角，物体沿两方向的运动方程为式8、9联立消去t，得物体运动的轨道方程直线OA的方程为A点是抛物线和直线的交点，其坐标值可由式10、11联立解出:所以经计算，物体沿斜边的射程为最正确抛射角为最大射程这种抛射，抛体所受合力也为重力，方向竖直向下.在图2中，要让抛射面与抛体所受合力方向垂直，需将抛射面逆时针转角，这个角正好就是式12中的角. 亦即，当抛射面在垂直于质点所受合力方向上顺时针转角时，最正确抛射角在450

7、的根底上增加角.例3 在程度面上“顺场抛射物体如图3所示，在竖直平面内存在程度向右的匀强电场，有一带正电小球自坐标原点以抛射角抛出，不计空气阻力. 小球抛出后，受重力和电场力两个力的作用，运动规律为为小球沿程度方向向右的加速度.将式14两边乘以，式15两边乘以，再相加，求出:将式14两边乘以，式15两边乘以，再相减，求出:结合式16、17两式得整理该式得 18式18就是复合场内带电小球作“顺场抛射时的运动轨道方程. 在式18中，假设令=0得进一步整理，其中显然，当时最大，即“顺场抛射的最大射程“顺场抛射的最正确抛射角其中这种抛射，抛体所受的力为重力与电场力的合力，方向朝右下方，与竖直方向的夹角

8、为，要让抛射面与合力方向垂直，需将抛射面逆时针转角，这个角正好就是式20中的角.亦即，当抛射面在垂直于质点所受合力方向上顺时针转角时，最正确抛射角在450的根底上增加角.例4 在程度面上“逆场抛射物体假设在竖直平面内存在程度向左的匀强电场，将带正电的小球自坐标原点以抛射角抛出，不计空气阻力，小球抛出后，受重力和电场力两个力的作用，运动规律为，用同样的方法可以求得式24就是复合场内带电小球作“逆场抛射时的运动轨道方程. 在式24中，假设令=0得进一步整理，其中显然，当时最大，即“逆场抛射的最大射程“逆场抛射的最正确抛射角其中这种抛射，抛体所受的力为重力与电场力的合力，方向朝左下方，与竖直方向的夹

9、角为，要让抛射面与合力方向垂直，需将抛射面顺时针转角，这个角正好就是式26中的角.亦即，当抛射面在垂直于质点所受合力方向上逆时针转角时，最正确抛射角在450的根底上减小角.小结：1当抛体所受合力方向发生变化时，最正确抛射角也跟着变化.物体仅受重力作用在程度面上抛射时，重力方向与抛射面垂直，最正确抛射角为450.相对于抛射面而言，当物体所受合力方向沿着抛体前进一方与竖直方向偏离角时，最正确抛射角在450的根底上增加角；当物体所受合力方向沿着抛体前进的反方向与竖直方向偏离角时，最正确抛射角在450的根底上减小角。2以上问题可转化为一簇有着一样约束的抛物线上求解两点之间间隔 的最大值问题，其本质上为

10、同一个问题，即当初、末速度互相垂直时，抛点、落点、焦点三点共线，此时的射程最大，最大射程为抛点和落点到准线的间隔 之和。第二节：抛体运动的规律研究-抛体中的与现象一 抛体运动中的几个现象1、 平抛的抛物线在某一点位移方向和末速度方向分别与初速度方向的夹角的正切值为。2、 假设在某一段时间内程度竖直两个分位移相等，那么程度初速度与竖直速度之比为。3、 假设在某一时刻程度速度与竖直速度大小相等，那么竖直分位移与程度分位移之比为。4、 在地面上任意一点沿任意方向抛出一点物体，假设物体到达某一平面的时间为，那么当物体间隔 这个平面最远的时间为，那么5、 物体由某一点平抛一个物体，某一时刻速度方向与位移

11、方向夹角正弦值的最大值为二相关证明过程性质1、2、3略去1性质4的证明过程如下如以下图所示，以某一初速度在斜面上A点以与斜面成的方向斜抛一个物体，最终物体落在倾角为的斜面上B点，设物体运动的总时间为，那么有运动的合成与分解知识可得图7联立以上式子可求得再把物体的运动沿斜面和垂直斜面进展分解，当物体离斜面最远时速度与斜面平行，得，求得注明：这里的斜面可以任意倾角的，且运动过程也具有可逆性2性质5的证明过程如下：方法一：不等式法设某一时刻瞬时速度与程度方向的夹角为，位移与程度方向的夹角为，那么速与位移的夹角为，根据性质1可知，那么有由不等式的性质可知最大值为，所以方法二：数形结合法如以下图8所示，

12、设小球从O点平抛在某一段时间内物体由O点运动到A点，由中点弦性质可知，速度方向反向延长线过OB的点，OO2=O2O1，以OO1为直径再做一个辅助圆，当CA与圆O2相切时，有最大值。物理通报2019年第12期P28图8例1 抛体过矩形障碍物的现象图 例1图如以下图所示，一个矩形障碍物的大小如下，长为，高为，在障碍物左边地面上某一点以某一初速度斜抛一个物体，为了使物体恰好掠过障碍物，求抛出点的位置和初速度的大小与方向。解析：设最高点到地面的间隔 为，最高点的速度为，落地速度为，那么由机械能守恒定律可知由抛物线的知识可知，物体运动的抛物线方程为，抛物线过障碍物那么有联立以上式子得由不等式的性质可知当

13、时，有最小值此时抛射解恰好为，抛射点到障碍物左边的间隔 为，。例2 包络面中的现象在程度地面以某一初速率沿不同方向抛一个物体，求所形成的包络面的形状。解析：设，当抛角不同时的运动轨迹如以下图所示通过分析可以看出来，这些弹道的包络面是一个抛物线，最高点是，程度射程，其中最高点与最远间隔 之比为，那么有抛物线方程，在这条抛物线的右边都是打不到的区域！方法1包络线定律法设由第二方程可得,代入原方程消去得前面形象地给出了包络的概念，下面我们给出包络的一个数学定义.对于曲线系：为参数，假如存在一曲线，使与曲线系中的每一曲线相切于点切于一点或几点，且，我们称曲线为曲线系的包络.记关于的函数的导数为.由包络

14、定义，包络存在时，曲线系：为参数的包络曲线上的每一点都属于曲线系，满足；在点中的的可表示成，由此对的全微分和包络与曲线相切时的切线方程一样，可得.因此，包络上的每一点满足：假如包络存在，那么消去12中的参数就可求到包络所满足的方程.值得注意的是，方程可能就是包络的方程，也可能不是.当可分解为两个或更多的曲线方程时，甚至一部分是包络的方程而另一部分不是包络的方程，因为是否有实数解决定了中的取值范围，因此求得方程后应进展适当的验证.方法二判别式法可以将原方程整理为这是一个关于的一元二次方程, 有唯一解那么,化简得考虑题：1图中是一个半径为的四分之一轨道与半径为的半圆形轨道相切，大致情景是一个小球从

15、四分之一圆轨道的起点由静止释放，不计摩擦，不计空气阻力。求小球砸在轨道上的位置。取小球脱离轨道位置为坐标原点建立坐标系解析：设脱离时半径与竖直方向上的夹角为，那么有联立可得以斜抛点坐标原点建立平面直角坐标系，质点做斜抛运动设经过时间落在圆面上，那么解方程得解得。2在一个半圆形坑的左端点平抛一个物体，物体能落在坑中，那么关于物体的初速度与末速度的大小变化量的关系，以下说法中正确的选项是 D A 下落间隔 越大变化量越大 B下落间隔 越大变化量越小C下落间隔 越小变化量越大 D 随着初速度的增大这个变化量先增大后减小3上题中假设是小球做斜抛运动，物体有没有可能垂直击中坑？需要满足什么条件？解析：由

16、，求得令，有圆的方程是：，设落点P点P的抛物线上，速度垂直圆周，即由上面的的方程可得由于代入得令，由软件算得，当时，当时，上式无解，即当时，小球不可能垂直击中碗面；当时，速度有两个解代入后，可解得，最后由求得。图1例3 飞机投弹问题如图1所示，斜面上、三点等距，小球从点正上方点抛出，做初速度为的平抛运动，恰落在点。假设小球初速度变为，其落点位于点，那么A B C D解析：图2 此题的参考答案为A详细分析过程略，笔者认为这个答案不准确，初速度的大小范围应为，详细分析过程如下：方法一 如图2所示，设小球第一平抛运动的下落的高度为，程度位移为其中点以下的高度为，运动时间为，由运动学公式得设小球第二平抛运动的程度位移为，下落的高度为，其中点以下的高度为，运动时间为，由运动学公式得可解得由于，所以，第二次平抛初速度，代入时间后得因为，所以方法二如图3所示，设小球斜面的倾角为，平抛运动的时间为，那么根据运动学知识得图3整理后得方程的解为小球有斜面方向上的位移设小球第二次平抛的速度为，平抛运动的时间为,斜面方向上的位移为，那么有，那么有令，那么上式可整理为当，；当时，,即，即方法三：利用极端值求范围 如图2所示，考虑到对平抛运动时间的影响当时，当然，而第二次程度位移为第一次的2倍，故，但因为，故是物体平抛直接落地的结果因为，所以即是物体在斜面上平抛的结果，即考虑题1假设上题中改成：飞机