第二章行波波动方程

1、tox63m/246s/1x1、写出上图简谐振动的函数表达式、写出上图简谐振动的函数表达式2、画出振动在、画出振动在t=0 s时的旋转矢量图时的旋转矢量图 2.1 行波行波 一机械波的产生一机械波的产生 二描述波的物理量二描述波的物理量 2 .2 平面简谐波平面简谐波 一波函数一波函数 二波动曲线二波动曲线 2 .3 波动方程波动方程第二章第二章 波动学基础波动学基础作业：作业：21.3，21.6，21.7， 振动在空间的传播过程叫做振动在空间的传播过程叫做波动波动第二章第二章 波动学基础波动学基础 机械振动在媒质中的传播称为机械振动在媒质中的传播称为机械波机械波。如声波、水波、地震波等如声波

2、、水波、地震波等变化电场或变化磁场在空间的传播称为变化电场或变化磁场在空间的传播称为电磁波。电磁波。如无线电波、光波、等如无线电波、光波、等虽然各类波的本质不同，各有其特殊的性质和规律，虽然各类波的本质不同，各有其特殊的性质和规律，但在形式上它们也具有许多共同的特征。但在形式上它们也具有许多共同的特征。如都具有一定的传播速度，都伴随着能量的传播，如都具有一定的传播速度，都伴随着能量的传播，都能产生反射、折射、干涉或衍射等现象。都能产生反射、折射、干涉或衍射等现象。一一. . 机械波的产生机械波的产生2.1 行波行波1. 机械波产生的条件机械波产生的条件振源振源作机械振动的物体作机械振动的物体波

3、源波源媒媒质质传播机械振动的物体传播机械振动的物体在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的，在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的，因此这样的媒质又称因此这样的媒质又称弹性媒质。弹性媒质。什么是物质的弹性？什么是物质的弹性？2.3 物体的弹性变形物体的弹性变形物体包括固体、液体和气体，在受到外力作用时，物体包括固体、液体和气体，在受到外力作用时，形状或体积都会发生或大或小的变化。形状或体积都会发生或大或小的变化。这种变化统称为这种变化统称为形变形变当外力不太大因而引起的形变也不太大时，当外力不太大因而引起的形变也不太大时，去掉外力，形状或体积仍能复原。去掉外力，形状或体积仍能复原。这

4、个外力的限度称作这个外力的限度称作弹性限度。弹性限度。在弹性限度内，外力和形变具有简单的关系，在弹性限度内，外力和形变具有简单的关系，由于由于 外力施加的方式不同，形变可以有以下外力施加的方式不同，形变可以有以下几种基本方式：几种基本方式：线变线变切变切变体变体变 线变线变一段固体棒，当在其两端沿轴的方向一段固体棒，当在其两端沿轴的方向加以方向相反大小相等的外力时，加以方向相反大小相等的外力时，其长度会发生改变，伸长或压缩视二者方向而定。其长度会发生改变，伸长或压缩视二者方向而定。以以F 表示力的大小，以表示力的大小，以S 表示棒的横截面积，表示棒的横截面积，则叫则叫FS 叫做叫做应力应力，以

5、，以 l 表示棒的长度，表示棒的长度，llFFS实验表明：实验表明：在弹性限度内，应力和应变成正比。在弹性限度内，应力和应变成正比。以以 l 表示在外力表示在外力 F 作用下的长度变化。作用下的长度变化。则则 ll 叫相对长度变化，又叫叫相对长度变化，又叫应变应变 线变线变llESFllFFS胡克定律胡克定律在弹性限度内，应力和应变成正比。在弹性限度内，应力和应变成正比。为关于长度的比例系数，它随材料不同而不同，为关于长度的比例系数，它随材料不同而不同，叫叫杨氏模量。杨氏模量。E 切变切变一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平行的一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平行的大小相等方向相反的

6、力作用时，形状就要发生改变，大小相等方向相反的力作用时，形状就要发生改变，如图，如图，FFS外力外力F 和施力面积和施力面积 S 之比，为切变的之比，为切变的应力应力施力面积相互错开而引起的材料角度的变化施力面积相互错开而引起的材料角度的变化 ，叫切变的叫切变的应变。应变。FFSDd dD这种形式的形变叫这种形式的形变叫切变切变。 切变切变在弹性限度内，切变的应力也和应变成正比。在弹性限度内，切变的应力也和应变成正比。FFSFFdDSDdGGSF称作称作切变弹性模量。由材料的性质决定。切变弹性模量。由材料的性质决定。G 体变体变一块物质周围受到的压强改变时，一块物质周围受到的压强改变时，其体积

7、也会发生改变，如图，其体积也会发生改变，如图，以以 V 表示原体积，表示原体积，P 表示压强的改变，表示压强的改变，以以 V V 表示相应体积的相对变化，表示相应体积的相对变化，即即应变应变，则有，则有VVKPVP叫体变弹性模量叫体变弹性模量,它由物质的性质决定它由物质的性质决定,K“”表示压强的增大总导致体积的减表示压强的增大总导致体积的减小小一一. . 机械波的产生机械波的产生2.1 行波行波1. 机械波产生的条件机械波产生的条件振源振源作机械振动的物体作机械振动的物体波源波源媒媒质质传播机械振动的物体传播机械振动的物体在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的，在物体内部传播的机械波，

8、是靠物体的弹性形成的，因此这样的媒质又称因此这样的媒质又称弹性媒质。弹性媒质。机械振动是如何靠弹性来传播呢？机械振动是如何靠弹性来传播呢？2. 机械波的传播机械波的传播3. 纵波和横波纵波和横波按质元振动方向与波传播的方向之间的关系波划分为按质元振动方向与波传播的方向之间的关系波划分为横波横波纵波纵波振动方向与波传播方向垂直的波。振动方向与波传播方向垂直的波。振动方向与波传播方向在一条直线上的波。振动方向与波传播方向在一条直线上的波。如如弹簧中传播的波以及声波弹簧中传播的波以及声波如如细绳中传播的波细绳中传播的波波传播是由于质元的形变，波传播是由于质元的形变，对横波、纵波来说，对横波、纵波来说

9、，质元发生形变情形是什么样的呢？质元发生形变情形是什么样的呢？横波横波从图上可以明显看出在横波中各质元发生从图上可以明显看出在横波中各质元发生切变切变，外形有波峰波谷之分外形有波峰波谷之分横波只能在弹性固体中传播横波只能在弹性固体中传播纵波纵波在纵波中，各质元发生在纵波中，各质元发生长变或体变长变或体变，因而媒质的密度发生改变，各处疏密不同，因而媒质的密度发生改变，各处疏密不同，所以纵波也叫疏密波。所以纵波也叫疏密波。纵波在气体、液体、固体媒质中都可以传播纵波在气体、液体、固体媒质中都可以传播4. 波的特征波的特征(1)(1) 不管是横波还是纵波，在波传播的过程中，不管是横波还是纵波，在波传播

10、的过程中， 媒质中各质元均在各自的平衡位置附近振动，媒质中各质元均在各自的平衡位置附近振动， 质元本身并不迁移，质元并未质元本身并不迁移，质元并未“随波逐流随波逐流” 。(2) “上游上游”的质元依次带动的质元依次带动“下游下游”的质元振的质元振动。动。(3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻 于于“下游下游”某处出现某处出现-波是振动状态的传播波是振动状态的传播 (4) (4) 在媒质中沿波传播方向，相隔一定距离在媒质中沿波传播方向，相隔一定距离 存在同相质元存在同相质元-质元的振动状态相同质元的振动状态相同5. 波的几何描述波的几何描述波的传播是振动的传

11、播而非质元的迁移，波的传播是振动的传播而非质元的迁移，由于振动状态常用位相来表示，由于振动状态常用位相来表示，所以振动状态的传播也可以用位相的传播来说明。所以振动状态的传播也可以用位相的传播来说明。为了形象直观地表示媒质中各质元的位相的关系为了形象直观地表示媒质中各质元的位相的关系以及波传播的方向，常用几何图形加以描述。以及波传播的方向，常用几何图形加以描述。波线：波线： 用带箭头的线表示波传播的方向。用带箭头的线表示波传播的方向。波面：波面： 媒质中振动位相相同的质元组成的曲面。媒质中振动位相相同的质元组成的曲面。波前：波前：波源开始振动后，在同一时刻，振动到达的波源开始振动后，在同一时刻，

12、振动到达的各点构成的面各点构成的面,显然是一个同位相面，显然是一个同位相面，由于这一波面在波传播方向的最前方，由于这一波面在波传播方向的最前方，所以又叫做所以又叫做波前波前或或波阵面波阵面。根据波前的形状不同，根据波前的形状不同，波可分为波可分为平面波平面波，球面波球面波，柱面波柱面波。球面波球面波平面波平面波波波线线 波面波面二描述波的物理量二描述波的物理量1. 周期周期 T、频率、频率 波是机械振动的传播，在传播的过程中，波是机械振动的传播，在传播的过程中，媒质的各个质元都在平衡位置附近作机械振动。媒质的各个质元都在平衡位置附近作机械振动。由于振动具有时间上的周期性，由于振动具有时间上的周

13、期性，所以波也具有时间上的周期性，所以波也具有时间上的周期性，即每隔一定的时间，媒质中各质元的即每隔一定的时间，媒质中各质元的振动状态都将复原。振动状态都将复原。媒质中振动状态复原时所需的最短时间，媒质中振动状态复原时所需的最短时间，也即质元完成一次全振动的时间叫波的也即质元完成一次全振动的时间叫波的周期周期，周期的倒数叫周期的倒数叫频率频率。在媒质中沿波传播方向，每隔一定距离，在媒质中沿波传播方向，每隔一定距离，媒质的质元的振动状态在各时刻都相同媒质的质元的振动状态在各时刻都相同 -质元的振动同相质元的振动同相表明波具有表明波具有空间上的周期性。空间上的周期性。引入引入波长波长的概念来描述波

14、在空间上的周期性。的概念来描述波在空间上的周期性。2. 波长波长 在波的传播方向上两个相邻的同相质元之间在波的传播方向上两个相邻的同相质元之间的距离叫做的距离叫做波长波长。记作记作 从外形上看，从外形上看，横波的一个波长中有一个波峰和一个波谷，横波的一个波长中有一个波峰和一个波谷，相邻两个波峰或波谷之间的距离等于一个波长相邻两个波峰或波谷之间的距离等于一个波长2. 波长波长 在波的传播方向上两个相邻的同相质在波的传播方向上两个相邻的同相质元之间的距离叫做元之间的距离叫做波长波长。记作记作 纵波的一个波长内有一个疏部和一个密部。纵波的一个波长内有一个疏部和一个密部。相邻两个密部或疏部之间的距离等

15、于一个波长相邻两个密部或疏部之间的距离等于一个波长横波中的一峰一谷和纵波的一疏一密构成了横波中的一峰一谷和纵波的一疏一密构成了一个一个“完整波完整波”包含了全部振动状态，包含了全部振动状态，因此因此 一个波长就是一个一个波长就是一个“完整波完整波”的长度。的长度。3. 周期周期 T、频率、频率 与波长与波长 的关系的关系波的时间上的周期性和空间上的周期性波的时间上的周期性和空间上的周期性是密切联系的，这种联系就表现在：是密切联系的，这种联系就表现在：在一个周期的时间内，某一确定的振动状态，也即在一个周期的时间内，某一确定的振动状态，也即某一确定的位相，所传播的距离正好是一个波长。某一确定的位相

16、，所传播的距离正好是一个波长。如果以如果以 u 表示振动状态或振动相的传播的速度，表示振动状态或振动相的传播的速度，则这一联系可用公式表示为则这一联系可用公式表示为这是表示波的基本特征的重要公式这是表示波的基本特征的重要公式 Tu将上式改写将上式改写 Tuu 表明：表明：波的频率等于单位时间内通过媒质波的频率等于单位时间内通过媒质 某一点的某一点的“完整波完整波”的个数。的个数。4. 波速波速 u 波速的大小决定于媒质的性质，波速的大小决定于媒质的性质，振动状态或振动位相的传播速度，也称振动状态或振动位相的传播速度，也称相速度相速度E E 杨氏弹性模量杨氏弹性模量 体密度体密度Eu (2)(2

17、) 固体棒中的纵波固体棒中的纵波(1)(1) 固体中的横波固体中的横波Gu G G 切变模量切变模量G G E E, , 固体中固体中 横波横波 纵波纵波(3)(3) 弹性绳上的横波弹性绳上的横波 Tu T T 绳的初始张力绳的初始张力, , 绳的线密度绳的线密度(4)(4) 流体中的声波流体中的声波k k体积模量体积模量, , 0 0 无声波时的流体密度无声波时的流体密度g= = CpCp/ /CvCv , , 摩尔质量摩尔质量gRTu 理想气体理想气体: :0ku 2.2 简谐波简谐波如果媒质中所传播的是简谐振动，如果媒质中所传播的是简谐振动，则媒质中各质元均作简谐振动，则媒质中各质元均作

18、简谐振动，则相应的波称作则相应的波称作简谐波简谐波，又叫，又叫正弦波。正弦波。平面简谐波：平面简谐波：波面是平面的简谐波。波面是平面的简谐波。球面简谐波：球面简谐波：波面是球面的简谐波。波面是球面的简谐波。一平面简谐波的波函数（波的表达式）一平面简谐波的波函数（波的表达式）波函数的含义：波函数的含义：与简谐振动表达式对比说明与简谐振动表达式对比说明x =Acos ( t o )是简谐振动质点的运动方程是简谐振动质点的运动方程表示时刻表示时刻 t 质点离开平衡位置质点离开平衡位置的位移，取决于位相的位移，取决于位相 t o 一平面简谐波的波函数（波的表达式）一平面简谐波的波函数（波的表达式） 波

19、函数波函数波的表达式波的表达式给出一个能够描述媒质中所有质元的给出一个能够描述媒质中所有质元的运动状态的方程，即振动表达式运动状态的方程，即振动表达式应表示出所有质元在时刻应表示出所有质元在时刻 t 的位移，的位移，除了取决除了取决 t o 外，外，还应与质元的位置坐标有关还应与质元的位置坐标有关下面来写出平面简谐波的表达式下面来写出平面简谐波的表达式假设一平面简谐波在理想的、不吸收振动能量的假设一平面简谐波在理想的、不吸收振动能量的均匀无限大媒质中传播。均匀无限大媒质中传播。u波传播的速度为波传播的速度为 ，方向如图，方向如图u选择平行波线方向的直线为选择平行波线方向的直线为 x 轴。轴。x

20、ou在垂直在垂直 x 轴的平面上的各质元（振动状态相同），轴的平面上的各质元（振动状态相同），它们在同一时刻对各自的平衡位置有相同的位移。它们在同一时刻对各自的平衡位置有相同的位移。因此，对于平面波来说只需知道因此，对于平面波来说只需知道 x 轴上各质元的轴上各质元的振动状态就可以了。振动状态就可以了。xo即即:平面波的波函数给出的是平面波的波函数给出的是 x 轴上各质元轴上各质元的振动表达式的振动表达式u已知平面简谐波沿已知平面简谐波沿 x 轴正向传播，轴正向传播， x 轴上质元离开平衡位置的位移用轴上质元离开平衡位置的位移用 y 表示表示xo)cos(atAy 0y设设 t 时刻位于原点时

21、刻位于原点 o 的质元的振动表达式为：的质元的振动表达式为：0 xu由假设，在振动传播过程中，媒质并不吸收由假设，在振动传播过程中，媒质并不吸收振动的能量，所以各质元的振动的振幅相等。振动的能量，所以各质元的振动的振幅相等。则当则当 o 点质元的振动以波速点质元的振动以波速 u 传到任一点传到任一点P 时时P)cos(atAy 0 xoy0 xu P 点质元将以相同的振幅和频率，点质元将以相同的振幅和频率，重复重复 o 点质元的振动，点质元的振动，但但 P 点振动的位相要比点振动的位相要比 o 点落后。点落后。由于沿波传播方向每隔一个波长由于沿波传播方向每隔一个波长 ，位相就要落后位相就要落后

22、 2 ，每隔单位长度位相落后，每隔单位长度位相落后 2 设设 P 点距点距 o 点的距离为点的距离为 x，P 点振动的位相要比点振动的位相要比 o 点落后点落后 x 2 )cos(atAy 0 xoy0 xPuxP 点振动的位相要比点振动的位相要比 o 点落后点落后 x2 )cos(atAy 0 xoy0 xPuxat t 时刻时刻o 点质元的振动位相：点质元的振动位相：t 时刻时刻 P 点质元的振动位相：点质元的振动位相：xta2 )cos(atAy 0 xoy0 xPux结果：结果：xta2 t 时刻时刻 P点质元振动的振幅和频率与点质元振动的振幅和频率与o 点相同，点相同， P 点振动的

23、位相点振动的位相t 时刻时刻 P点质元振动的表达式：点质元振动的表达式：)cos(axtAy 2xoyPux)cos(axtAy 2因为因为P点是任选的，上式就是点是任选的，上式就是 x 轴上任意质元轴上任意质元的振动表达式，即平面简谐波的的振动表达式，即平面简谐波的波函数波函数利用关系利用关系 TuT，2波函数波函数还有其它形式还有其它形式)cos(axtAy 2 TuT，2)(cos(axtAy 2)(cos(axTtAy 2)(cos(auxtAy 令令uk 2波数波数)cos(akxtAy )2cos(axtAy讨论讨论1. 平面简谐波波函数的物理意义平面简谐波波函数的物理意义1) 当

24、当 x 一定时，一定时， 即对于某一确定位置（即对于某一确定位置（ xx0 ）的质元。）的质元。)cos(axtAy 02波函数波函数给出了给出了xx0 处质元作简谐振动的表达式处质元作简谐振动的表达式)cos(axtAy 22) 当当 t 一定时，即对于某一确定时刻（一定时，即对于某一确定时刻（ t t0 ）。）。)cos(axtAy 20波函数波函数给出了给出了t0 时刻各个质元离开平衡位置的位移时刻各个质元离开平衡位置的位移3) 当当x、t 变化时，变化时，波函数波函数给出了任意给出了任意 x 处质元在任意处质元在任意 t 时刻时刻离开平衡位置的位移离开平衡位置的位移)cos(axtAy

25、 22. 表达式也表达式也反映了波是振动状态的传播反映了波是振动状态的传播 )(ttxxy，tux xoyuxxx tu),(txyt)cos(axtAy 23. 沿负向传播的平面简谐波的表达式沿负向传播的平面简谐波的表达式xoyuxP)cos(axtAy 2二波动曲线二波动曲线)cos(axtAy 2根据波动表达式根据波动表达式以以 t 时刻，质元的平衡位置时刻，质元的平衡位置 x 为横坐标，为横坐标，以质元离开平衡位置的位移以质元离开平衡位置的位移y 为纵坐标，为纵坐标，画出的曲线，叫画出的曲线，叫t 时刻波形曲线。时刻波形曲线。xyo u t)cos(axtAy 2xyo t u 波形曲

26、线上两相邻波峰或波谷之间的距离波形曲线上两相邻波峰或波谷之间的距离 等于一个波长，表示一个周期内波传播的距离。等于一个波长，表示一个周期内波传播的距离。 波形曲线上波峰或波谷的纵坐标的绝对值波形曲线上波峰或波谷的纵坐标的绝对值等于波的振幅，表示质元离开平衡位置的最大位移。等于波的振幅，表示质元离开平衡位置的最大位移。-AA )cos(axtAy 2xyo t u tto-AA 不同时刻对应有不同的波形曲线不同时刻对应有不同的波形曲线 )cos(axtAy 2将平面简谐波的波函数分别对将平面简谐波的波函数分别对 t 及及 x 求两次偏导数求两次偏导数)cos(axtAty 2222)cos()(

27、axtAxy 22222比较两式比较两式22222212tyxy )(1. 波动方程的运动学推导波动方程的运动学推导2.4 波动方程波动方程22222212tyxy )(TuT ，221 u222221tyuxy 波动方程波动方程注意：注意：波动方程是由平面简谐波推导出的，波动方程是由平面简谐波推导出的，但对其它平面波仍然成立，但对其它平面波仍然成立，从数学上，平面简谐波波函数从数学上，平面简谐波波函数只是上述波动方程的一个特解。只是上述波动方程的一个特解。222221tyuxy 波动方程波动方程2. 波动方程的动力学推导波动方程的动力学推导以平面波在固体细长棒中的传播为例以平面波在固体细长棒

28、中的传播为例以上是按运动学的观点来讨论波动过程的传播规律，以上是按运动学的观点来讨论波动过程的传播规律，还可以进一步从动力学的观点，更本质地分析还可以进一步从动力学的观点，更本质地分析波动方程的意义波动方程的意义.设有一截面积为设有一截面积为S ，密度为，密度为 的固体细棒，的固体细棒，一平面一平面纵纵波沿棒长方向传播。波沿棒长方向传播。Su当有纵波传播时，该体积元发生线变，当有纵波传播时，该体积元发生线变，设设 t 时刻体积元正被拉长时刻体积元正被拉长(先做力分析先做力分析应力分析）：应力分析）：这一体积元的长度为这一体积元的长度为 dx，体积，体积 uS选棒长的方向为选棒长的方向为 x 轴

29、，在棒上距轴，在棒上距 o 点点 x 处附近处附近取一体积元取一体积元 ab ， SdxdV aboxxdxx d 左端受到应力为左端受到应力为，方向向左；，方向向左；右端受到应力为右端受到应力为 d ，方向向右；，方向向右；abuSoxxdxx d 应力是应力是 x 和和 t 的函数的函数)(tx， dxxd t 时刻体积元所受合力时刻体积元所受合力SdSdS )(dxSx 体积元质量为体积元质量为SdxdV 根据牛顿第二定律有根据牛顿第二定律有tvSdxdxSx abuSoxxdxx d uoxabydyy 在应力作用下体积元发生线变（分析长度在应力作用下体积元发生线变（分析长度方向的变化

30、方向的变化应变分析）：应变分析）：a 端发生的位移为端发生的位移为 y ， b 端发生的位移为端发生的位移为 y dy 由图上几何关系，体积元长度变化为由图上几何关系，体积元长度变化为 dy t 时时刻刻由图上几何关系，体积元长度变化为由图上几何关系，体积元长度变化为 dy abuSoxxdxx d uoxabydyy t 时刻时刻体积元的原长体积元的原长dx体积元的应变为体积元的应变为xy 由由胡克定律胡克定律xyE 杨氏模量。杨氏模量。ExyEtvSdxdxSx tyv abuSoxxdxx d uoxabydyy t 时刻时刻牛顿第二定律牛顿第二定律应力公式应力公式速度公式速度公式222

31、21tyExyEu 例例1. o 点振动表达式；点振动表达式； P 点振动表达式；点振动表达式； Q，P 点的位相差点的位相差 波函数波函数 Q 点振动方向点振动方向 P 点振动方向；点振动方向；xyo1080 msu.220.40.QP0 tmm o 点振动表达式；点振动表达式；解：解：设设 o 点振动表达式点振动表达式xyo1080 msu.220.40.QP0 t)cos(00 tAymmA402. ，由波形图由波形图TuT2 ，u2 140 s. o 点振动表达式；点振动表达式；解：解：xyo1080 msu.220.40.QP0 t)cos(00 tAy1402 radsmA.，000 yt，20 ).cos(.240400 ty00 v20 解：解：xyo1080 msu.220.40.QP0 t 波函数波函数)cos(02 xtAymmA402. ，140 s.20 ).cos(.254040 xty解：解：xyo1080 msu.220.40.QP0 t).cos(.054040 xty P 点振动表达式；点振动表达式；40. x).cos(.224040 tyP).cos(.234040 tyP解：解：xyo1080 msu.220.40.QP0 t Q，P 点的位