单纯形法的灵敏度分析与对偶ppt课件

1、第六章* 单纯形法的灵敏度分析与对偶v单纯形表的灵敏度分析v线性规划的对偶问题v对偶单纯形法第六章* 单纯形法的灵敏度分析与对偶v如何利用最优单纯形表进展灵敏度分析。单纯形表-求解结果：迭代次数基变量CBx1X2s1s2S3b比值501000000 x1501010-150S2000-21150 x210001001250Zj5010050050Z=2750000-500-502iiabjjjzc 第1节 单纯形表的灵敏度分析一. 目的函数中变量系数 Ck灵敏度分析现要利用单纯形表法来进展Ck 的灵敏度分析。由于目的函数变量分为基与非基变量，故讨论时,分两类来讨论。1.在最终的单纯形表里, x

2、K 非基变量.2.在最终的单纯形表里, xK 基变量.第1节 单纯形表的灵敏度分析1.在最终的单纯形表里, xK 非基变量。 由于约束条件方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等变换与CK 没有任何关系，所以当CK 变为CK +CK 时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变，又由于xK 是非基变量，所以基变量的目的函数的系数不变，即CB 不变，可知ZK 也不变，只是CK 变为CK +CK 。这时K= CK ZK 变成了CK +CK ZK= K+ CK .要使得原来的最优解仍为最优解，只需K+ CK 0 即可，也就是 CK K 即可。kkc第1节 单纯形表的灵敏度分析.在最终的单纯形表里,

3、xK 为基变量。 由于约束条件方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等变换与CK 没有任何关系，所以当CK 变为CK +CK 时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变，但基变量在目的函数的系数CB变了，那么Zj 也变了， 相应地，也变了。变化规律为：0min0maxkjkjjkkjkjjaacaa一、线性规划问题解的根本概念基及根本解:表解方式的单纯形法v例子:03, 2, 1,250400230000010050max213222112132121sssxxsxsxxsxxsssxxz初始单纯形表迭代次数基变量CBx1X2s1s2S3b比值501000002x1501010-150S20

4、00-21150 x210001001250Zj5010050050Z=2750000-500-50iJiabjjjzc 先分析非基变量s1: c3 3 由于是非基变量，故套用公式1 kkc当C3 -3, 时最优解不变;知3=-50,C3 50=50；c=c+C0, 不会破坏最优解。 Baij0，要使原线性规划最优解不变条件：必需保证该非基变量的检验数仍小于0，即cj-Zj0第2节 线性规划的对偶问题某工厂在方案安排I,II两种产品,III资源限制设备A11300台时设备B21400设备C01250消费I可获得50元,II可获得100元,如何安排消费,获得MAX?模型v目的:max z=50

5、x1+100 x2vS.t. x1+x2=300v 2x1+x2=400v x2=0假设如今有一个公司要租用工厂设备，那么工厂获取利润有两种方法，一是本人消费，二是出租设备资源。本人消费已有模型。那么，假设出租，那么如何构建模型？设备价钱为Ay1,By2,Cy3;那么目的:min f=300y1+400y2+250y3 s.t. y1+2y2=50 y1+y2+y3100 y1,y2,y3 =0目的:min f=300y1+400y2+250y3 s.t. Y1+2y2=50 y1+y2+y3100 y1,y2,y3 =0v目的:max z=50 x1+100 x2vS.t.v x1+x2=3

6、00v 2x1+x2=400v x2=0原问题对偶问题1.求目的函数最大问题中有n个变量,m个约束条件,它的约束条件都是小于等于不等式;其对偶那么是m个变量,n个约束条件,并且是大于等于不等式;2.原问题的目的函数系数C是对偶问题中的约束条件B ci=bi3.原问题右边系数B成为对偶问题的目的系数C,bi=ci4. 对偶问题的约束条件系数矩阵A是原问题的ATmnmnmmnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxatsxcxcxcz221122222121112121112211.max0,3,2, 1.min221122222112112211112211mmmnmnnmmmmmmy

7、yyycyayayacyayayacyayayatsybybybg0maxXbAXCXz0minYCYAYbg原问题（max,)对偶问题(min,)技术系数矩阵A技术系数矩阵AT价值系数C右端项b右端项b价值系数C第i行约束条件为型对偶变量yi 0第i行约束条件为型对偶变量yi 0第i行约束条件为=型对偶变量yi正负不限决策量xj 0第j行约束条件为 型决策量xj 0第j行约束条件为型决策量xj正负不限第j行约束条件为=型转化例子：Max f=3x1+4x2+6x3+4x4 x1+4x2+2x3-3x435 3x1+x2+5x3+6x445 x1,x2,x3,x40 Min g(y)= 35y

8、1+45y2Y1+3y2 34y1+y2 42y1+5y2 6-3y1+6y2 4Y1,y2 0目的:min f=300y1+400y2+250y3 s.t. Y1+2y250 y1+y2+y3100 y1,y2,y3 0v目的:vmax z=50 x1+100 x2vS.t.v x1+x2300v 2x1+x2400v x2250v v x1,x20原问题对偶问题vMax -f=-300y1-400y2-250y3-Ma1v y1+2y2-s1+a1=50v y1+y2+y3-s2=100v y1,y2,y3,s1,s2,a10 对偶单纯形法求解：初始单纯形表迭代次数基变量CBy1y2y3s

9、1s2a1b比值-300-400-25000-M0a1-M120-10150y3-2501110-10100Zj-M-250-2M-250-250M250-M-50M-2500Cj-ZjM-502M-1500-M-25001100250初始单纯形表迭代次数基变量CBy1y2y3s1s2a1b比值-300-400-25000-M0y2-4001/210-1/201/225y3-2501/2011/2-1-1/275Zj-325-400-25075250-75-28750Cj-Zj2500-75-250-M+752/1752/125(1/2)初始单纯形表迭代次数基变量CBy1y2y3s1s2a1b

10、比值-300-400-25000-M0y1-300120-10150y3-2500-111-1-150Zj-300-350-25050250-50-27500Cj-Zj0-500-50-250-M+502/1752/125(1/2)最优解:y1=50,y2=0,y3=50,s1=0,s2=0,a1=0,-f的最大值为-27500,即目的f的最小值为:27500A设备租金为50元,B设备租金为0元,C设备租金为50元;v二.恣意方式的对偶问题v max Z=3x1+4x2+6x3v s.t.v 2x1+3x2+6x3440v 6x1-4x2-x3 100v 5x1-3x2+x3 = 200v x

11、1,x2,x3 0v二.恣意方式的对偶问题v max Z=3x1+4x2+6x3v s.t.v 2x1+3x2+6x3440v -6x1+4x2+x3 -100v 5x1-3x2+x3 200v 5x1-3x2+x3 200v x1,x2,x3 0 5x1-3x2+x3 = 200max Z=3x1+4x2+6x3 s.t. 2x1+3x2+6x3440 -6x1+4x2+x3 -100 5x1-3x2+x3 200 -5x1+3x2-x3 -200 x1,x2,x3 0s.t. 2y1-6y2 +5y3-5y4 3 3y1+4y2 +3y3-3y4 4 6y1+y2+y3-y4 6 y1,y

12、2,y3,y4 0min f=440y1-100y2+200y3-200y4v二.恣意方式的对偶问题v对偶问题v原问题的对偶问题为v min f=440y1-100y2+200y3-200y4v s.t.v 2y1-6y2 +5y3-5y4 3v 3y1+4y2 +3y3-3y4 4v 6y1+y2+y3-y4 6v y1,y2,y3,y4 0v原问题的对偶问题为v min f=440y1-100y2+200(y3-y4)v s.t.v 2y1-6y2 +5(y3-y4) 3v 3y1+4y2 +3(y3-y4) 4v 6y1+y2 + (y3-y4) 6v y1,y2,y3,y4 0v原问题

13、的对偶问题为v min f=440y1-100y2+200s3v s.t.v 2y1-6y2 +5s3 3v 3y1+4y2 +3s3 4v 6y1+y2 + s3 6v y1,y2 0,S3无非负限制v练习：vMax f(x)=4x1+5x2vs.t.v 3x1+2x220v 4x1-3x2 10v x1+x2 = 5v x20, x1正负不限v练习转换：vMax f(x)=4x11-4x12+5x2vs.t.v 3x11-3x12+2x220v 4x11-4x12-3x2 10v x11-x12+x2 = 5v x11,x12,x20v练习转换：vMax f(x)=4x11-4x12+5x

14、2vs.t.v 3x11-3x12+2x220v 4x11-4x12-3x2 10v x11-x12+x2 5v x11-x12+x2 5v x11,x12,x20v练习转换：vMax f(x)=4x11-4x12+5x2vs.t.v 3x11-3x12+2x220v -(4x11-4x12-3x2) -10v -(x11-x12+x2) -5v x11-x12+x2 5v x11,x12,x20v练习转换：vMax f(x)=4x11-4x12+5x2vs.t.v 3x11-3x12+2x2 20v -4x11+4x12+3x2 -10v -x11+x12-x2 -5v x11-x12+x2

15、 5v x11,x12,x20练习转换：Min f(y)=20y1-10y2-5y3+5y4s.t. 3y1-4y2-y3+y4 =4 -3y1+4y2+y3-y4 =-4 2y1+3y2-y3+y4 =5 y1,y2,y3,y4=0练习转换：Min f(y)=20y1-10y2-5(y3-y4)s.t. 3y1-4y2 - (y3-y4) = 4 -3y1+4y2+(y3-y4) =-4 2y1+3y2- (y3-y4) =5 y1,y2,y3,y4=0练习转换：Min f(y)=20y1-10y2-5y3s.t. 3y1-4y2 - y3 = 4 -3y1+4y2+y3 =-4 2y1+3

16、y2- y3 =5 y1,y2 =0，y3无限制练习转换：Min f(y)=20y1-10y2-5y3s.t. 3y1-4y2 - y3 = 4 2y1+3y2- y3 =5 y1,y2 =0，y3无限制练习转换：Min f(y)=20y1-10y2-5y3+5y4s.t. 3y1-4y2-y3+y4 =4 -3y1+4y2+y3-y4 =-4 2y1+3y2-y3+y4 =5 y1,y2,y3,y4=0v练习答案：vMin h(y)=20y1+10y2+5y3vs.t.v 3y1+4y2+y3 =4v 2y1-3y2+y3 5v y10, y20, y3不限原问题（max,)对偶问题(min

17、,)技术系数矩阵A技术系数矩阵AT价值系数C右端项b右端项b价值系数C第i行约束条件为型对偶变量yi 0第i行约束条件为型对偶变量yi 0第i行约束条件为=型对偶变量yi正负不限决策量xj 0第j行约束条件为 型决策量xj 0第j行约束条件为型决策量xj正负不限第j行约束条件为=型第3节 对偶单纯形法v对偶单纯法和单纯形法一样都是求解原线性规划问题的一种方法.v单纯形法是在坚持原问题的一切约束条件的bj都大于0的情况下,经过迭代,使得一切检验数都小于等于0,最后求得最优解;v而对偶单纯形法那么是在坚持原问题的一切检验数都小于等于0的情况下,经过迭代,使得一切约束条件的常数都大于等于0,最后求得

18、最优解。第3节 对偶单纯形法v例，用对偶单纯形法求解如下线性规划问题：vMin f=x1+5x2+3x4vs.t. v X1+2x2-x3+x46v -2x1-x2+4x3+x44v x1,x2,x3,x4 =0第3节 对偶单纯形法v例，用对偶单纯形法求解如下线性规划问题：v将上述线性规划问题变换为如下适宜对偶单纯形法的方式：v Max z=-f=-x1-5x2-3x4v s.t. v -X1-2x2+x3-x4+x5= -6v 2x1+x2-4x3-x4+x6= -4v x1,x2,x3,x4,x5,x6 =0v x5,x6为剩余变量初始单纯形表迭代次数基变量CBx1x2x3x4x5x6b比值-1-50-3000 x50-1-21-110-6x6021-4-101-4Zj0000000Cj-Zj-1-50-3001100250X=(0,0,0,0,-6,-4)是根本解，但不是根本可行解，不可行。1确定出基变量：minbi|bi0=min-6,-4=-6=b1,所以第L=1行为主行，x5出基变量。2入基变量:111111113,25,11min0minazcaazcjjjjk所以第K=1列为主列，第1列的变量X1为入基