ch1复合材料的有效性质和均质化方法

1、高等复合材料力学Advanced Mechanics of Composite Materials陈玉丽陈玉丽 航空科学与工程学院航空科学与工程学院1复合材料三大特征复合材料三大特征 各向异性各向异性（从整体材料性质来看（从整体材料性质来看, ,不是必不是必须有的性质），须有的性质），什么情况是各向同性？什么情况是各向同性？ 非均质性非均质性（本章将从细观的角度来分析）（本章将从细观的角度来分析） 界面界面2真实的复合材料真实的复合材料 实验手段可以用于研究复合材料性能（往往是材料科学家的实验手段可以用于研究复合材料性能（往往是材料科学家的工作），但工作），但不能完全或定量地研究和理解组份及结

2、构对整体不能完全或定量地研究和理解组份及结构对整体性能的影响，且必须先真实地制造出材料才能研究其性能。性能的影响，且必须先真实地制造出材料才能研究其性能。 而理论和计算研究容易预测设计方案来使材料达到所需性能，而理论和计算研究容易预测设计方案来使材料达到所需性能，当然仍需实验验证。当然仍需实验验证。3 从某种意义上复合材料是相当复杂的结构，如何研从某种意义上复合材料是相当复杂的结构，如何研究其性能？究其性能？ 精确的理论解（如弹性力学解），精确的理论解（如弹性力学解）， 不可能！不可能！ 数值求解（如有限元），计算规模受限于计算机技数值求解（如有限元），计算规模受限于计算机技术发展水平。术发展

3、水平。真实的复合材料真实的复合材料4但科学和工程问题不会等着完美的解决问但科学和工程问题不会等着完美的解决问题的方法，它们需要立刻给出答案题的方法，它们需要立刻给出答案 我们力学工作者所具有的能力，就是利用现有的研究能力和我们力学工作者所具有的能力，就是利用现有的研究能力和水平，通过对真实问题进行简化、近似、均质化来平衡准确水平，通过对真实问题进行简化、近似、均质化来平衡准确性、效率及成本之间的关系，来达到一个对问题的最佳解决性、效率及成本之间的关系，来达到一个对问题的最佳解决方案。方案。 求解并不是越准确越好，很多的随机因素会使材料行为是个求解并不是越准确越好，很多的随机因素会使材料行为是个

4、统计过程。统计过程。5本章的一个重点是，如何进行均质化本章的一个重点是，如何进行均质化/ /均匀化均匀化(homogenization) 严格地说，没有绝对的均质材料，连续的均质材料只是一种严格地说，没有绝对的均质材料，连续的均质材料只是一种抽象而形成的数学物理概念模型，但是它的输入和输出与真抽象而形成的数学物理概念模型，但是它的输入和输出与真实材料满足相应的精度需求即可。实材料满足相应的精度需求即可。 对于复合材料的均匀化近似，可以将我们研究的空间分辨率对于复合材料的均匀化近似，可以将我们研究的空间分辨率降低，从而简化计算而使之可行。降低，从而简化计算而使之可行。6尺度尺度 空间分辨率的体现

5、空间分辨率的体现 结构的特征尺度结构的特征尺度 L 材料非均质化的尺度材料非均质化的尺度/夹杂尺度夹杂尺度 A 均匀化是一个统计平均的处理均匀化是一个统计平均的处理, 要求统计样本足够要求统计样本足够多多, 所以在所以在 LA 时才可以做均匀化处理时才可以做均匀化处理7还存在一个尺度还存在一个尺度 所关心载荷或变形的特征尺度所关心载荷或变形的特征尺度Lf ，如压痕实验，所，如压痕实验，所以均匀化亦要求以均匀化亦要求Lf A才可以进行才可以进行 材料非均质化的尺度材料非均质化的尺度/夹杂尺度夹杂尺度A8代表单元（代表单元（Representative Volume Element）用细观力学理论

6、研究非均匀材料的均匀化问题，首先用细观力学理论研究非均匀材料的均匀化问题，首先要确定均匀化方法中的基本单元，此基本单元被称为非均要确定均匀化方法中的基本单元，此基本单元被称为非均匀材料的代表性体积单元。对代表性体积单元的选择和研匀材料的代表性体积单元。对代表性体积单元的选择和研究课按照以下三个步骤进行：究课按照以下三个步骤进行：1）非均匀材料集合体由哪些材料组成？那些组成是均）非均匀材料集合体由哪些材料组成？那些组成是均匀的？是如何分布的？具有哪些力学特征？是以什么方式匀的？是如何分布的？具有哪些力学特征？是以什么方式集合的？通过对以上问题的研究确定代表性体积单元的尺集合的？通过对以上问题的研

7、究确定代表性体积单元的尺寸。寸。2）在不同载荷作用下，分析代表性体积单元的力学响）在不同载荷作用下，分析代表性体积单元的力学响应，确定边界条件及细观应力场和应变场，用均匀化方法应，确定边界条件及细观应力场和应变场，用均匀化方法寻找宏观均匀材料的性能，即有效材料的性能。寻找宏观均匀材料的性能，即有效材料的性能。3）根据前面得到的结果，对结构进行整体分析，将研）根据前面得到的结果，对结构进行整体分析，将研究结果作为工程设计的依据。究结果作为工程设计的依据。9代表单元（代表单元（Representative Volume Element） 均匀化处理是认为复合材料可以近似视作均均匀化处理是认为复合材

8、料可以近似视作均质材料。而均质是指材料处处一样，在被均质材料。而均质是指材料处处一样，在被均匀化处理的复合材料中，这里的匀化处理的复合材料中，这里的“处处”不是不是指几何尺度为零的点，而是采用一个尺度为指几何尺度为零的点，而是采用一个尺度为l 的视窗观察材料，看不出明显区别，或做实的视窗观察材料，看不出明显区别，或做实验没有明显区别，这个尺度称为验没有明显区别，这个尺度称为代表单元的尺度代表单元的尺度l ，所以所以要求要求l A（夹杂尺度）。（夹杂尺度）。 一般情况下，还要求结构的特征尺度一般情况下，还要求结构的特征尺度L l A l 可以理解为是进行均匀化的最小尺度（均载下）可以理解为是进行

9、均匀化的最小尺度（均载下） 所以代表单元相对结构可以看作一个点，所以代表单元相对结构可以看作一个点， 以保证均载，另以保证均载，另外相对夹杂的尺度要充分大，含有足够多的夹杂，它的平均外相对夹杂的尺度要充分大，含有足够多的夹杂，它的平均性质能够描述宏观有效性质。性质能够描述宏观有效性质。10对于真实材料的微结构分布，要想在充分大对于真实材料的微结构分布，要想在充分大的参考体积中分析细观场的空间变化，显然超出的参考体积中分析细观场的空间变化，显然超出了当今的计算机能力，因此要采用近似方法。了当今的计算机能力，因此要采用近似方法。这些近似的方法可以分为两大类：这些近似的方法可以分为两大类：11平均场

10、方法（平均场方法（Mean Field Approaches）在每一个组分（相）中的细观场中，其中各相的应力和应变在每一个组分（相）中的细观场中，其中各相的应力和应变特征值用对应的平均值代替。采用微尺度拓扑、夹杂的形特征值用对应的平均值代替。采用微尺度拓扑、夹杂的形状、方向和相分布的统计信息描述材料的微观结构形态和状、方向和相分布的统计信息描述材料的微观结构形态和分布，例如，分布，例如，Mori-Tanaka方法、自洽方法、广义自洽方方法、自洽方法、广义自洽方法和微分方法等的细观力学的经典理论。法和微分方法等的细观力学的经典理论。变分方法（变分方法（Variational Bounding M

11、ethods）变分原理被应用于求有效弹性张量、弹性模量、割线模量和变分原理被应用于求有效弹性张量、弹性模量、割线模量和其它非均匀材料物理性能的上限和下限，如其它非均匀材料物理性能的上限和下限，如Voigt界限、界限、Reuss界限、界限、hashin-Shtrikman界限和界限和Milton界限等。在无界限等。在无精确解的情况下，界限方法可以提供相关性能的可能范围，精确解的情况下，界限方法可以提供相关性能的可能范围，可以用来评估各种理论和模型。可以用来评估各种理论和模型。1.基于有限的统计信息描述非均匀材料细观特性基于有限的统计信息描述非均匀材料细观特性122. 基于离散微观结构的研究方法基

12、于离散微观结构的研究方法周期性微观场方法周期性微观场方法(periodic micro-field approaches) 材料模型：真实的非均匀材料被近似为各组分周期材料模型：真实的非均匀材料被近似为各组分周期性排列、无限延伸；性排列、无限延伸； 适用范围：研究非均匀材料的非线性特性和本构模适用范围：研究非均匀材料的非线性特性和本构模型，给出胞元内局部应力应变微观场；型，给出胞元内局部应力应变微观场； 局局 限限 性：不适合研究宏观裂纹与微结构之间的相性：不适合研究宏观裂纹与微结构之间的相互作用，计算费用高。互作用，计算费用高。13周期性微观场方法周期性微观场方法(periodic micr

13、o-field approaches)142. 基于离散微观结构的研究方法基于离散微观结构的研究方法深埋胞元方法深埋胞元方法(embedded cell approaches) 材料模型：将真实的非均匀材料近似为由一个材料模型：将真实的非均匀材料近似为由一个“核核”和包围它的外部区域所组成，和包围它的外部区域所组成，“核核”是局部非均匀是局部非均匀区，该核深埋于受远场载荷或位移作用的外部区域区，该核深埋于受远场载荷或位移作用的外部区域之中；之中； 适用范围：可采用更加复杂的微观几何核，不要求适用范围：可采用更加复杂的微观几何核，不要求几何和微观场的周期性；几何和微观场的周期性； 局局 限限 性

14、：计算费用高。性：计算费用高。152. 基于离散微观结构的研究方法基于离散微观结构的研究方法深埋胞元方法深埋胞元方法(embedded cell approaches)162. 基于离散微观结构的研究方法基于离散微观结构的研究方法窗口方法窗口方法(windowing approaches) 材料模型：选取正方体或者六面体子区域材料模型：选取正方体或者六面体子区域“窗口窗口”，采用宏观均匀的应力或应变边界条件；采用宏观均匀的应力或应变边界条件； 适用范围：求得材料有效力学性能的上限和下限，适用范围：求得材料有效力学性能的上限和下限，评估代表性体积单元的尺寸是否合适。评估代表性体积单元的尺寸是否合

15、适。172. 基于离散微观结构的研究方法基于离散微观结构的研究方法窗口方法窗口方法(windowing approaches)182. 基于离散微观结构的研究方法基于离散微观结构的研究方法可以用代表单元研究等效均质材料的力学性能可以用代表单元研究等效均质材料的力学性能 实验方法实验方法 计算方法：代表单元计算计算方法：代表单元计算l 单元越大越好，单元越大越好，l 也可以一个中等大小单元，多种分布也可以一个中等大小单元，多种分布l需注意如何加边界条件，可以考虑对称需注意如何加边界条件，可以考虑对称性和周期性性和周期性我们之后主要讲授细观力学的理论分析方法我们之后主要讲授细观力学的理论分析方法1

16、9应该指出，除了周期排布的材料，用代表性应该指出，除了周期排布的材料，用代表性体积单元完整地描述微观结构的统计特征实际上体积单元完整地描述微观结构的统计特征实际上是不可能的，通常不能得到精确的有效弹性特征。是不可能的，通常不能得到精确的有效弹性特征。因此，用一些假定代替那些未知信息，从而因此，用一些假定代替那些未知信息，从而预测材料的宏观统计性质。预测材料的宏观统计性质。20如何在研究石墨平面的二维本构时选取代表单元21先讨论一般情形下细观力学的先讨论一般情形下细观力学的一些基本知识和理论一些基本知识和理论局部化局部化 均匀化均匀化2223 由各种力学和几何特征所集合的非均匀材料构成由各种力学

17、和几何特征所集合的非均匀材料构成了代表性体积单元（了代表性体积单元（RVE）。）。RVE是一个宏观是一个宏观的颗粒，但是当它表现为细观结构时，作用在的颗粒，但是当它表现为细观结构时，作用在RVE上的载荷产生复杂的局部应力和应变，并上的载荷产生复杂的局部应力和应变，并通过宏观量（应力或应变）表现出来。通过宏观量（应力或应变）表现出来。 局部化（局部化（Localization）就是建立这种局部量和）就是建立这种局部量和宏观量之间的关系。宏观量之间的关系。局部化（局部化（Localization）24 均匀化（均匀化（Homogenization）的目的是确定非均匀）的目的是确定非均匀材料的等效均

18、匀介质的特征，根据局部本构关系材料的等效均匀介质的特征，根据局部本构关系和相关的局部变量表达式，得到描述和相关的局部变量表达式，得到描述RVE整体整体特征的宏观量。特征的宏观量。均匀化（均匀化（Homogenization）细观力学的理论分析主要解决两个问题细观力学的理论分析主要解决两个问题 代表单元所对应的均质化等效介质的代表单元所对应的均质化等效介质的等效模量等效模量 均质化等效介质的均质化等效介质的等效强度等效强度模量和强度都要涉及应力和应变模量和强度都要涉及应力和应变25代表单元上的代表单元上的平均应力平均应力和和平均应变平均应变 两种应力：两种应力： 1. 1. 平均应力或等效均质上

19、的应力平均应力或等效均质上的应力 2. 2. 真实复合材料各点的应力真实复合材料各点的应力 应变也有两种。应变也有两种。平均应力平均应力可以从应力的定义理解或证明可以从应力的定义理解或证明平均应变平均应变可以从应变的定义理解或证明可以从应变的定义理解或证明1VdVV 1VdVV准确的！准确的！准确的！准确的！261VdVV ij均匀应力边界条件作用下，在整个代表单元边界上满足：证明：证明：ijjijjnn,11111jijijikkjikkVVVikjik kjkVikkjVikjkikkjijVxdVdVdVVVVxxxdVVn x dSVx n dSV （分部积分）（分部积分）（高斯公式、

20、平衡方程）（高斯公式、平衡方程）27（高斯公式）（高斯公式）1VdVV证明：证明：,1112121212ijiji jj iVVijjiVikkjjkkiVikkjjkkiijVdVuudVVVu nu n dSVx nx n dSVdVV ij均匀应变边界条件作用下，在整个代表单元边界上满足：iijjux（高斯公式）（高斯公式）2829 两点说明：两点说明：通常由于夹杂的存在，通常由于夹杂的存在，RVE边界上并不是均匀边界上并不是均匀应力或均匀应变。但是，只要在边界上的波动相应力或均匀应变。但是，只要在边界上的波动相对于对于RVE的尺寸很小，就可以忽略这种影响。的尺寸很小，就可以忽略这种影响

21、。满足满足l A时，该影响可忽略。时，该影响可忽略。在周期介质的情况下，当非均匀介质在周期介质的情况下，当非均匀介质A和代表性和代表性体积单元尺寸体积单元尺寸l量级相当时，还需要知道介质的量级相当时，还需要知道介质的周期特征。在周期特征。在RVE边界上，应力和应变是周期边界上，应力和应变是周期性的。性的。1VdVV 1VdVV等效模量等效模量就是建立平均应力和平均应变之间的关系就是建立平均应力和平均应变之间的关系平均应力平均应力 1VdVVx细观本构细观本构 : xS xx:eff S等效柔度等效柔度即即:effSN相材料组成的复合材料，令第r相材料的平均应力和宏观应力满足第r相材料的体积百分

22、比为cr ，则有效柔度满足rrijijklklA110001NNeffrrrrrrijmnijklklmnijmnijklijklklmnrrSc SAScSSA请证明30线弹性线弹性31均匀应力边界条件下的均匀化过程:effS F xF : xS xx x x局部化局部化均匀化均匀化等效模量等效模量就是建立平均应力和平均应变之间的关系就是建立平均应力和平均应变之间的关系平均应变平均应变细观本构细观本构 : xC xx:effC等效刚度等效刚度即即:effCN相材料组成的复合材料，令第r相材料的平均应力和宏观应力满足第r相材料的体积百分比为c r ，则有效刚度满足rrijijklklB1100

23、01NNeffrrrrrrijmnijklklmnijmnijklijklklmnrrCc CBCcCCB 1VdVV x请证明32线弹性线弹性33均匀应变边界条件下的均匀化过程:effC R xR : xC xx x x局部化局部化均匀化均匀化34 注意：注意： 均匀化的结果取决于所考虑的限制条件（如：均匀化的结果取决于所考虑的限制条件（如：均匀应力边界条件还是均匀应变边界条件）。均匀应力边界条件还是均匀应变边界条件）。 可以推论：不能保证均匀化的张量函数可以推论：不能保证均匀化的张量函数Ceff和和Seff互逆。互逆。 仅当满足条件仅当满足条件l A时，张量函数时，张量函数Ceff和和Se

24、ff互逆。互逆。计算复合材料等效模量的关键在于计算局部化关计算复合材料等效模量的关键在于计算局部化关系中的集中系数张量系中的集中系数张量 或或 。rrijklijklAB35对于一般情形，也许能通过显微观察知道材料组对于一般情形，也许能通过显微观察知道材料组份分布，即知道份分布，即知道 ，但，但 和和 的分布很复杂，的分布很复杂，很难理论预测等效模量。很难理论预测等效模量。但有两种简单情形或近似假设可以补充方程使等但有两种简单情形或近似假设可以补充方程使等效问题有简单的理论解，分别为效问题有简单的理论解，分别为Reuss近似近似和和Voigt近近似似。 C x x x36Reuss近似近似/串

25、联模型串联模型?Reuss近似假设复合材料代表单元中各组分的近似假设复合材料代表单元中各组分的应力应力等于代表单元的等于代表单元的应力应力，即，即应力是均匀的应力是均匀的 x : xS x 111:VVVdVdVdVVVV xS xS x 1effVdVVSSS x（一般情形不成立）（一般情形不成立）即等效柔度等于各组分即等效柔度等于各组分柔度按体积加权平均柔度按体积加权平均37 1 1 1111EE 2 2 2222EE 1E 2E 11221212ccccEE等效模量等效模量 11212effccEEE 12121effccEEE即38为什么为什么Reuss近似有时称作串联模型近似有时称作

26、串联模型?为什么为什么Reuss近似有时称作串联模型近似有时称作串联模型?Reuss近似假设复合材料代表单元中各组近似假设复合材料代表单元中各组分的应力等于代表单元的应力，即应力分的应力等于代表单元的应力，即应力是均匀的是均匀的 最本质的定义最本质的定义 可以用串联弹簧来理解，可以用串联弹簧来理解， 但复合材料以串联方但复合材料以串联方式排布，不一定就能用式排布，不一定就能用Reuss近似来预测其性近似来预测其性能，因此建议采用本质定义来判断能，因此建议采用本质定义来判断 1E 2E39Voigt近似近似/并联模型并联模型?Voigt近似假设复合材料代表单元中各组分的近似假设复合材料代表单元中

27、各组分的应变应变等于代表单元的等于代表单元的应变应变，即，即应变是均匀的应变是均匀的 x :xC x 111:VVVdVdVdVVVV xC xC x 1effVdVVCCC x即等效刚度等于各组分即等效刚度等于各组分刚度按体积加权平均刚度按体积加权平均（一般情形不成立）（一般情形不成立）40为什么为什么Voigt近似有时称作并联模型近似有时称作并联模型? 1E 2E 1 1111EE 11221122ccc EcE等效模量等效模量 1122effEc EcE 1 2 2222EE 241 1 1 2 2为什么为什么Voigt近似有时称作并联模型近似有时称作并联模型?Voigt近似假设复合材料代表单元中各组近似假设复合材料代表单元中各组分的分的应